精品解析：江西省临川第一中学2026年初中学业水平考试一模数学试卷

临川一中2026年初中学业水平考试一模数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 3. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相除，同底数幂相乘，幂的乘方，和完全平方公式，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 4. 形状相同、大小相等的两个小木块放置于桌面，其俯视图如下图所示，则其主视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由实物结合它的俯视图，还原它的具体形状和位置，再判断主视图． 试题解析：由实物结合它的俯视图可得该物体是由两个长方体木块一个横放一个竖放组合而成，由此得到它的主视图应为选项D． 故选D． 考点：简单组合体的三视图． 5. 已知（，为常数）满足表格中的信息则的值为（ ） x的取值 1 2 3 4 5 的值 1 无意义 1 m A. B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂的意义确定的值，再代入已知点求出的值，最后计算时的即可. 【详解】解：∵当时，无意义，根据零指数幂和负整数指数幂的定义，底数为0时表达式无意义， ∴，解得， 把，，代入表达式，得 ， ∴， 当时，. 6. 七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中六边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图1，在图2中即可画出七巧板中的七块，再根据七巧板的特征，依次得到各块的边长，再相加即可求解． 【详解】∵图1的总面积为16， ∴正方形的边长为4， ∴①、②的直角边长为，斜边长为4， ④的短边长为，长边长为2， ③的直角边长为，长边长为2， ⑤为正方形，边长为， ⑥的斜边长为2，直角边长为， ⑦的直角边长为， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图-七巧板，正方形的性质，解决本题的关键是准确画图，利用勾股定理解决问题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8. “跳皮筋”是我们小时候常玩的游戏，如图，执皮筋的两个小朋友分别用，表示，皮筋用折线表示，若，，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】过E作，根据平行线的性质求出，则，根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过E作， ∴， 又， ， ∵，， ∴， ∴． 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 可得慢马的速度为， 快马的速度为， ∵快马速度是慢马速度的倍， 可得方程， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为，，．将矩形先向下平移个单位长度，得到矩形，再将矩形沿轴翻折得到矩形，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到点的坐标，再根据平移的坐标变化规律得到的坐标，最后根据沿轴翻折的坐标变化规律求出的坐标. 【详解】解：四边形是矩形，顶点坐标为，，， 根据矩形对边平行于坐标轴的性质，点的横坐标与点相同，纵坐标与点相同，可得， 将矩形向下平移个单位长度，根据平移的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标减，得的坐标为，即， 将矩形沿轴翻折，翻折后点关于轴对称，关于轴对称的点坐标特征为：横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此的坐标为. 11. 把两个同样大小含角的直角三角形纸板，与两个同样大小含角的直角三角形纸板进行拼接，拼出了如图所示的四边形．若，阴影部分是一个正方形，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，，由含30度直角三角形的性质得出，，由勾股定理得出，设正方形的边长为x，则，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步即可求出答案． 【详解】解：如下图， 根据题意可知，，， ∵， ∴，， ∴， 设正方形的边长为x， 则，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，矩形中，，，点为边上一点，且．沿过点的直线折叠矩形，使点落在矩形的边上（点除外）．设直线与边所夹的锐角为，则的值为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论：直线l与相交（设交点为O），点落在上；直线l与相交（设交点为O），点落在上；直线l与相交（设交点为O），点落在上，根据折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质以及正切的定义等求解即可． 【详解】解：设点A的对应点为 当直线l与相交（设交点为O），点落在上，过E作于F， 则四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， 又， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当直线l与相交（设交点为O），点落在上，过E作于F，过O作于G， 由折叠知， 同理可求，，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； 当直线l与相交（设交点为O），点落在上，过O作于G， 由题意可求， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 又， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上，的值为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 如图，在中，延长到点E，使得，连接，，若．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 先根据四边形是平行四边形，得到，，进而可得，证明 ，据此即可证明． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 15. 在翻纸牌游戏中，小赵和小李各有三张正面分别写有数字，，的纸牌（如图，背面完全相同），每张纸牌被翻开的可能性相等．游戏规则：每次两人各翻开自己的一张纸牌，数字大的一方获胜．已知第一次游戏中，小赵翻开的纸牌上的数字为． （1）在第一次游戏中小赵获胜的概率是________； （2）若第一次游戏小赵获胜，且每张纸牌只可翻开一次，用列表或画树状图的方法，求第二次游戏小赵仍能获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）小赵固定翻出4，小李会随机翻出3、4、5三种等可能情况，逐一判断每种情况小赵是否获胜，再用获胜情况数总情况数计算概率； （2）由第一次小赵翻4、小赵获胜推出小李第一次翻的是3，同时纸牌不可重复翻开，梳理两人剩余纸牌，用列表法列出第二次两人翻牌的全部等可能组合，筛选出小赵数字更大的组合，结合概率公式计算． 【小问1详解】 解：小李翻开纸牌的数字有3、4、5三种等可能结果： 小李翻3：，小赵获胜； 小李翻4：，平局，小赵不获胜； 小李翻5：，小李获胜，小赵不获胜， 总共有3种等可能结果，其中小赵获胜的结果只有1种， 小赵获胜的概率． 【小问2详解】 解：第一次小赵翻出4且获胜，说明小李第一次翻出3，纸牌每张仅能翻一次， 因此，小赵剩余纸牌3、5，小李剩余纸牌4、5， 列表列举第二次所有等可能翻牌组合： 小赵 小李 4 5 3 5 总共有4种等可能结果，其中小赵获胜的结果只有1种， 小赵获胜的概率． 16. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，已知格点，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图（1）中，以为边，作一个面积为的菱形； （2）在图（2）中，以为对角线，作一个面积为的矩形． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理，结合菱形的判定和性质，进行作图即可； （2）由勾股定理及其逆定理，结合矩形的判定和性质，进行作图即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是菱形， 又∵，， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ． 17. 如图，点在反比例函数的图象上，且点的横坐标满足，以为边在的下方作正方形，直线与交于点，将沿折叠，点的对应点为．连接，并延长交于点，连接． （1）求的度数． （2）若的面积是，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用折叠性质得、垂直平分，结合正方形得,推出 ,通过角度等量代换，结合等腰三角形内角关系推导 ； （2）设，构造全等，利用正方形坐标变换得坐标，根据垂直平分线段求坐标，结合已知条件求解． 【小问1详解】 解：折叠性质：沿折叠得到 ， ，垂直平分线段，即 ， 四边形是正方形， ，， 由、，得 ， 为等腰三角形，， 设 ，则 ， 在等腰 中：， 由折叠，平分， ， ， ， ， 代入： ． 【小问2详解】 解：设点坐标：设， 过点作轴，过点作轴， ， ， 又， ， ， ， 设， 又垂直平分线段，直线与交于点， 则中点在上， 有，解得满足要求的为， 则，， 即轴， ， 又的面积是， ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 景德镇瓷器以白瓷闻名，素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”之称，品种齐全，曾达三千多种品名．五一假期期间，某陶瓷专卖店为了满足广大游客的需求，计划购进，两种陶瓷餐具进行销售．据了解，件种陶瓷餐具和件种陶瓷餐具的进价共计元；件种陶瓷餐具和件种陶瓷餐具的进价共计元． （1）求，两种陶瓷餐具每件的进价分别为多少元？ （2）该店计划购进、两种陶瓷餐具共件．已知种陶瓷餐具每件售价为元，种陶瓷餐具每件售价为元．为了保证全部售出后至少获利元，该店至少购进种陶瓷餐具多少件？ 【答案】（1） 种陶瓷餐具每件进价60元，种陶瓷餐具每件进价80元. （2） 至少购进种陶瓷餐具50件. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设购进种陶瓷餐具件，根据“全部售出后至少获利元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设种陶瓷餐具每件进价为元，种陶瓷餐具每件进价为元， 则，解得 ∴种陶瓷餐具每件进价60元，种陶瓷餐具每件进价80元； 【小问2详解】 解：设购进种陶瓷餐具件，则购进种陶瓷餐具件， 根据题意，得 ， 解得， ∴最小整数的值为50， ∴至少购进种陶瓷餐具50件. 19. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（参考数据：，，，）． （1）求图②点到支撑脚的垂直距离．（结果精确到） （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点到点的水平距离为，求背垫旋转的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过作交延长线于，先算出长度，再用得到总垂直距离；利用求出，在中用正弦函数求； （2）过作延长线于，在中利用余弦求出，再结合原图计算旋转角度． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点， ， ， 在中， ， ， ， 代入数据： ， 由题意，座面高 ， 点到的垂直距离． 【小问2详解】 解：过点作直线，垂足为， 已知点到点的水平距离为， ， 在中，， ， 由参考数据，得， 图②中，图③中， 旋转的度数． 20. 追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，并完成变式训练题（2）． （1）如图1，与相切于点．若的直径为，求的长． （2）如图2，与相切于点．若的直径为，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形． （1）连接，利用切线的性质求得，利用等腰三角形的性质求得，最后利用勾股定理求解即可； （2）连接，作于点，利用等腰三角形的性质求得，得到，求得，利用勾股定理求得，利用等腰三角形的性质求得，再由，结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，作于点， ∵的直径为， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校为了解七、八年级学生对“人工智能”通识知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取名学生进行测试．将成绩（百分制）分成组：，，，，，并进行整理、描述和分析，部分信息如下． 信息一：七年级抽取的名学生的成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 信息二：八年级抽取的名学生成绩在这一组的为，，，，，． 信息三：绘制的统计图如下（尚不完整）． 八年级名学生成绩频数分布直方图 七、八年级共名学生成绩扇形统计图 七、八年级成绩的平均数与中位数 平均数 中位数 七年级 八年级 （1）补全八年级名学生成绩频数分布直方图，以上图表中________°，________，________． （2）在这次测试中，某学生的成绩为75分，在本年级属于中上游，请你判断该学生可能所在的年级，并说明理由． （3）该校七、八年级共有学生人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数75分的人数． 【答案】（1）补全八年级名学生成绩频数分布直方图如下： ， 81，12.5，74.5 （2）该学生可能所在的年级是八年级 ∵该学生的成绩为75分大于八年级学生成绩的中位数74.5分，小于七年级学生成绩的中位数75.5分， ∴该学生可能所在的年级是八年级； （3）570人 【解析】 【分析】（1）求出八年级成绩在的人数即可补图，根据直方图及成绩在这一组的数据即可求出；用减去其余各组百分比即可求出；根据中位数的定义即可求出； （2）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案； （3）用总人数乘以样本中七、八年级成绩超过平均数75分的人数所占比例可得． 【小问1详解】 解：八年级成绩在的人数为 ， 补图略， ， ， ∴ ， ∵八年级成绩在的人数为人，在的人数为人，在的人数为6人， ∴八年级20人成绩的中位数是第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为74、75， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， 答：估计成绩超过平均数75分的人数为570人． 22. 【问题背景】新定义：若二次函数的图象上存在点，满足（为抛物线顶点的横坐标），则称该点为这个函数图象的聚合点．例如：函数图象的顶点的横坐标为，取一点，满足，即点为函数图象的一个聚合点． 【探究】 （1）判断下列二次函数的图象是否存在聚合点，若存在，求出所有聚合点的坐标；若不存在，请说明理由． ①； ②． （2）已知二次函数图象的顶点坐标为，请用含，，的式子表示出聚合点存在时，应满足的方程． （3）已知二次函数，若该函数图象的聚合点中有一个点的纵坐标为，求的值及此时函数图象所有聚合点的坐标． 【答案】（1）①存在，聚合点坐标为，； ②不存在聚合点， 的顶点的横坐标为， ∵是聚合点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴函数的图象上不存在聚合点； （2） （3），所有聚合点坐标为， 【解析】 【分析】（1）①先求出h的值，然后根据聚合点的定义可得出，然后代入，求出x的值，即可求解； ②先求出h的值，然后根据聚合点的定义可得出，然后代入，再判断方程无解，即可求解； （2）根据聚合点的定义可得出，然后代入，化简即可得出结果； （3）根据聚合点的定义可得出，结合聚合点的纵坐标为，求出，然后把，代入，求出，则，设满足条件的聚合点的坐标为，根据聚合点的定义可得出，然后代入，求出m的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①的顶点的横坐标为， ∵是聚合点， ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，； 当时，， ∴函数的图象上存在聚合点，坐标为和； ②略； 【小问2详解】 解：∵二次函数图象的顶点坐标为，聚合点为， ∴，， ∴， 代入，得， 化简得； 【小问3详解】 解：的顶点的横坐标为， ∵聚合点的纵坐标为， ∴， ∴， 把，代入， 得， 解得， ∴， 设满足条件的聚合点的坐标为， 则， ∴ 代入，得， 解得，， 当时，； 当时，， ∴聚合点的坐标为，． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. 【特例感知】 在正方形中，点，分别在边，上，与相交于点．         （1）如图，若点，分别是，的中点，则______； 如图，若点是的中点，，则______． 【类比探究】 在菱形中，，点，分别在，上，对角线，相交于点，与相交于点，连接交于点． AI    （2）如图，若，分别是，的中点，求的值； 如图，若，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图，在四边形中，，且，点为的中点．若，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②；（2）①；②见解析；（3） 【解析】 【分析】（）设与交于点，由四边形是正方形，得，，，，又点，分别是，的中点，则，，，设，则，则，然后通过即可求解； 由四边形是正方形，则，，然后证明，故，又点是的中点，所以，最后代入求值即可； （）由四边形是菱形，得，，，又，分别是，的中点，故有，，由勾股定理得，证明是等边三角形，是等边三角形，设，则，所以，，，由勾股定理得：，则，求出，再代入即可； 在的延长线上找一点，连接，使得，证明，则，再证明为等边三角形，则，所以，从而求证； （）过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，证明，所以，设，，则，，又点为的中点，所以，则，整理得：，即，解出的值即可． 【详解】解：（）如图，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵点，分别是，的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理是等边三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 在的延长线上找一点，连接，使得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即； （）如图，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，， 则，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川一中2026年初中学业水平考试一模数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 4. 形状相同、大小相等的两个小木块放置于桌面，其俯视图如下图所示，则其主视图是(　　) A. B. C. D. 5. 已知（，为常数）满足表格中的信息则的值为（ ） x的取值 1 2 3 4 5 的值 1 无意义 1 m A. B. 9 C. D. 6. 七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中六边形的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：______． 8. “跳皮筋”是我们小时候常玩的游戏，如图，执皮筋的两个小朋友分别用，表示，皮筋用折线表示，若，，，则____． 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 10. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为，，．将矩形先向下平移个单位长度，得到矩形，再将矩形沿轴翻折得到矩形，则点的坐标为______． 11. 把两个同样大小含角的直角三角形纸板，与两个同样大小含角的直角三角形纸板进行拼接，拼出了如图所示的四边形．若，阴影部分是一个正方形，则_____． 12. 如图，矩形中，，，点为边上一点，且．沿过点的直线折叠矩形，使点落在矩形的边上（点除外）．设直线与边所夹的锐角为，则的值为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 如图，在中，延长到点E，使得，连接，，若．求证：． 15. 在翻纸牌游戏中，小赵和小李各有三张正面分别写有数字，，的纸牌（如图，背面完全相同），每张纸牌被翻开的可能性相等．游戏规则：每次两人各翻开自己的一张纸牌，数字大的一方获胜．已知第一次游戏中，小赵翻开的纸牌上的数字为． （1）在第一次游戏中小赵获胜的概率是________； （2）若第一次游戏小赵获胜，且每张纸牌只可翻开一次，用列表或画树状图的方法，求第二次游戏小赵仍能获胜的概率． 16. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，已知格点，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图（1）中，以为边，作一个面积为的菱形； （2）在图（2）中，以为对角线，作一个面积为的矩形． 17. 如图，点在反比例函数的图象上，且点的横坐标满足，以为边在的下方作正方形，直线与交于点，将沿折叠，点的对应点为．连接，并延长交于点，连接． （1）求的度数． （2）若的面积是，求的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 景德镇瓷器以白瓷闻名，素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”之称，品种齐全，曾达三千多种品名．五一假期期间，某陶瓷专卖店为了满足广大游客的需求，计划购进，两种陶瓷餐具进行销售．据了解，件种陶瓷餐具和件种陶瓷餐具的进价共计元；件种陶瓷餐具和件种陶瓷餐具的进价共计元． （1）求，两种陶瓷餐具每件的进价分别为多少元？ （2）该店计划购进、两种陶瓷餐具共件．已知种陶瓷餐具每件售价为元，种陶瓷餐具每件售价为元．为了保证全部售出后至少获利元，该店至少购进种陶瓷餐具多少件？ 19. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（参考数据：，，，）． （1）求图②点到支撑脚的垂直距离．（结果精确到） （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点到点的水平距离为，求背垫旋转的度数． 20. 追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，并完成变式训练题（2）． （1）如图1，与相切于点．若的直径为，求的长． （2）如图2，与相切于点．若的直径为，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校为了解七、八年级学生对“人工智能”通识知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取名学生进行测试．将成绩（百分制）分成组：，，，，，并进行整理、描述和分析，部分信息如下． 信息一：七年级抽取的名学生的成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 信息二：八年级抽取的名学生成绩在这一组的为，，，，，． 信息三：绘制的统计图如下（尚不完整）． 八年级名学生成绩频数分布直方图 七、八年级共名学生成绩扇形统计图 七、八年级成绩的平均数与中位数 平均数 中位数 七年级 八年级 （1）补全八年级名学生成绩频数分布直方图，以上图表中________°，________，________． （2）在这次测试中，某学生的成绩为75分，在本年级属于中上游，请你判断该学生可能所在的年级，并说明理由． （3）该校七、八年级共有学生人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数75分的人数． 22. 【问题背景】新定义：若二次函数的图象上存在点，满足（为抛物线顶点的横坐标），则称该点为这个函数图象的聚合点．例如：函数图象的顶点的横坐标为，取一点，满足，即点为函数图象的一个聚合点． 【探究】 （1）判断下列二次函数的图象是否存在聚合点，若存在，求出所有聚合点的坐标；若不存在，请说明理由． ①； ②． （2）已知二次函数图象的顶点坐标为，请用含，，的式子表示出聚合点存在时，应满足的方程． （3）已知二次函数，若该函数图象的聚合点中有一个点的纵坐标为，求的值及此时函数图象所有聚合点的坐标． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. 【特例感知】 在正方形中，点，分别在边，上，与相交于点．         （1）如图，若点，分别是，的中点，则______； 如图，若点是的中点，，则______． 【类比探究】 在菱形中，，点，分别在，上，对角线，相交于点，与相交于点，连接交于点． AI    （2）如图，若，分别是，的中点，求的值； 如图，若，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图，在四边形中，，且，点为的中点．若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $