安徽合肥市第八中学2026届高三考前保温训练数学试题

2026届合肥八中保温卷 命题、审题：高三数学组 亲爱的同学们： 青春是一个向量，模长是努力，方向是梦想； 青春是一个含参方程，三年来你们始终用勤奋求解； 青春是一个递推数列，每一次迭代都写满了坚持与成长…… 三年时光，如函数般跌宕起伏，如今终于收敛到最美的“高考”点．愿你们以自信为定义域，以拼搏为法则，解出青春的最优解． 点动成线，线动成面，面动成体，这三年，你们用每一天的位移，构筑了立体的自己．人生不是欧几里得几何，没有永远的平行线，所有的努力终会在某个闪亮的时刻相交． 祝金榜题名，前程可导，未来可期！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则中元素个数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知向量，，若，则x的值为（ ） A．1 B． C．4 D． 3．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．下面四幅频率分布直方图中，最能说明平均数大于中位数的是（ ） A． B． C． D． 4．在的展开式中常数项为6，则（ ） A． B．1 C． D．6 5．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则（ ） A．4 B．7 C． D．8 6．已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（ ） A． B． C． D． 7．某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过（ ）（参考数据：） A．10年 B．12年 C．23年 D．24年 8．已知O为坐标原点，点，动点A、B在抛物线上，满足．若点O关于直线的对称点为P，则的最大值是（ ） A． B．9 C． D．8 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知是等差数列的前n项和，d为公差，且，，则下列说法正确的是（ ） A． B．当时，取最小值 C． D． 10．已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A．事件A，B相互独立 B． C．若，则 D．若，则 11．设复数z满足，则（ ） A． B． C．关于z的方程（）有解 D．若复数w满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等比数列的前n项之积为，若，则_______． 13．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于y轴对称．若，则_______． 14．过正四面体的一条棱作截面将其分为两个三棱锥，则这两个三棱锥外接球半径之比的范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）求函数的最小正周期，以及在区间上的最小值； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，求a的长． 16．（本小题满分15分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的图象经过点，且椭圆C的右焦点F的坐标为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F作倾斜角为的直线和椭圆C交于A，B两点，求的值． 17．（本小题满分15分） 如图，三棱柱的所有棱长均为2，且． （1）证明：； （2）若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 已知函数（）． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在R上单调递增，求a的值； （3）若存在极小值点且，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等．一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式，其中，，，，且，，如，所以在三进制下可写为；如，所以在五进制下可写为． （1）将五进制数转化成三进制数． （2）对于任意两个不同的位二进制数，，，记． ①若，求随机变量X的分布列与数学期望； ②证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届合肥八中保温卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 6．D 7．A 8．B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．AD 10．ACD 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．18 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）， （2） 【详解】（1） ，即 最小正周期为， 当时， 当时，即时取得最小值， （2），， ，即， （）解得：（） 又，故， ， ， ， ， 由余弦定理得： ， 故． 16．【答案】（1）； （2）． 【详解】（1）依题意，椭圆的右焦点为，则左焦点为，设， 由椭圆的定义可知， 所以，可得， 所以椭圆的方程为． （2）依题可设过点F的直线方程为， 将其与椭圆方程联立，消元得， 设，，则得，（）， 于是 将（）代入，得． 17．【答案】（1）证明见解析 （2） 【详解】（1）取中点M，连接，， 又因为是等边三角形，所以， 又因为，，所以是等边三角形，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又平面，所以． （2）由三棱柱的体积为3．可知三棱锥的体积为1． 即， 解得，即，所以，又， 所以以M为原点．以方向为x轴，以方向为y轴，以方向为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得，， 所以平面的一个法向量为， 又， 设平面的法向量为， 则，令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为， ． 即平面与平面所成角的余弦值为． 18．【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）当时，，． ，， 曲线在处的切线方程为， 即． （2）设，则． ①时，，在R上单调递增． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，不符合题意． ②时，令，得， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 故． 设，则， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则． 当且仅当时，即时，，在R上单调递增， 综上，． （3）由（2）知，当时，存在极小值点且，不符合题意． 当时，在R上单调递增，不存在极小值点，不符合题意． 当且时，， 又当时，；当时，． 当时，此时，且， 结合（2）中单调性和零点存在性定理知有且仅有两个零点，使得， 且，， 又因为，，则，， 当时，，当时，， 则此时为极大值点，显然不合题意，舍去， 当时，此时，且， 结合（2）中单调性和零点存在性定理知有且仅有两个零点，使得， 且， 结合，，则，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 0为极大值点，为极小值点，符合题意， 而； 又，，， 令，得， 当时，原式化简得，显然恒成立，则． 当时，原式化简得，显然不成立，无解， 当时，原式化简得，显然不成立，无解． 综上，的取值范围是． 19．（1） （2）①分布列见解析，；②证明见解析 【详解】（1）由题意得，将五进制数转化为十进制数为， ， 五进制数转化成三进制数为． （2）①若，则位的二进制数有，，，，，，，，共8个，从8个数中任选2个，共有种情况． ，X的所有可能取值为1，2，3． 当时，若选择，可以从，，中任选1个，共有3种情况， 若选择，可以从，，中任选1个，共有3种情况， 若选择，可以从，中任选1个，共有2种情况， 若选择，可以从，中任选1个，共有2种情况， 若选择，可以从，中任选1个，共有2种情况， 共有种情况，故． 当时，和，和，和，和满足要求，共有4种情况，故， ， 随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P ． ②位二进制数的， 根据二进制数中0的个数可得，位二进制数一共有个， ，X的可能取值为1，2，3，…，n． 当（）时，二进制数，有m位取值不同，有位取值相同， 除去，从剩余的n位中选择m位，二进制数，在这m位上数字不同，其余位，两者均在同一位置数字相同， 由于，故共有种情况， （）， 随机变量X的分布列为 X 1 2 3 … n P … （，） ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $■ 2026届合肥八中保温卷 数学 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准 考证号填写清楚。 客观题答题，必须使用2B铅笔填 (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 涂，修改时用橡皮擦干净。 必须在题号对应的答题区域内作 正确填涂 缺考标记 答，超出答题区域书写无效。 选择题(18为单选题，911为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 囚囚■ 16. 囚囚■ ■ ■ ■ 18. I 囚■囚 囚■囚 6I ■ 口 ■