安徽合肥市第八中学2026届高三考前自测卷数学试题

合肥八中2026届高三最后一卷 数学试题 命（审）题人：金启富罗风云刘攀何振华 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题 卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡 上各题的答题区域内作答，超出答题区城书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答 无效。 4本卷命题范围：高考范围。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A=xx2-x-6≤0，B={xy=V1-x,则AnB=() A.[-1,1] B.[-2,1] C.(-1,1) D.[0,1] 2.已知复数21=2+，在复平面内，复数21与22对应的点关于直线y=x对称，则互=() 1.3 4.3 43 A.0 B.+-i 22 C. D 55 3.两个粒子A,B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为S=(4,3), S=(-2,6),则S。在S4-Sa上的投影向量的长度为) A. 3v10 2 B.10V⑧5 c.2W5 D.2 17 4,意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所 形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线 函数，其函数表达式为o=+ec二，相应的双曲正弦函数的表达式为sihx=-e.设 2 2 函数f(x)=sinhx 若实数a满足不等式∫(a+2)+∫(-a2)>0,则a的取值范围为() coshx A.(-1,2) B.（-2,1) C.（-o,-1)u(2,+∞) D.（-o,-2U(1,+o∞) 5.设函数f()=-sinox--5 Beoswx((@>0),若点写0]为函数()图象的一个对称中心， 且在0， 上的最大值为2，则ω的最小值为() A.4 B.5 C.7 D.10 6.如图，正三棱台ABC-ABC的上、下底面边长分别为1和3，平面ABC将 棱台分成两部分，则三棱锥A-ABC和四棱锥A-BCCB的体积比是() B. c.7 D.2 双曲线E:二-1么，6>0的左、右焦点为R、乃，么B为双曲线E右文上两点且清 足AR/1BR,若AF,⊥BF时，BF=3a,则双曲线E的离心率为() A.32 B.√3 C.23 D.3 8.若实数x,y,z满足√：=2'=-l0g2z,则x,y,z的大小关系不可能是() A.z>x>y B.z>y>x C.y>x>z D.y>z>x 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。 9.已知数列[an)是首项为1，公差为d的等差数列，数列b]是首项为2，公比为q的等比数列， 且a2=b2,as=b3+5,则() A.d=3,q=2 B.数列(aJ的前50项中，有7项在数列{bn}中 C.数列(an+bnJ的前n项和为3n2-n-4+2n+1 2 D.数列[anbn)的前5项和为650 10.在篮球训练课上，A,B两位同学进行“定点投篮”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮 比赛中，两人各定点投篮一次，投中得1分，投不中得0分.已知A,B每次定点投篮投中的概 率分别为PA,Pa,(P,PB∈(0,1)，若5轮比赛后A,B的总得分分别为XA,Xa,则下列结论 正确的是() A.若E(XA)<E(XB),则PA<PB B.若0<P4<P<则D(A)<D(Xa) C.P(XA=XB =3)P(XA:XB=2:3) D.若当且仅当k=2时，P(X=k)k=0,12,3,45)取得最大值，则时<P< 三棱锥P-ABC中，PB=AB=BC=2,PBC=PBA=Q且a≤7，LABC=,PB与平 面ABC所成角为O,下列说法中正确的有() A,当0=时a= 4 3 B.当日=严时三棱锥P-ABC的外接球半径为√万 d C.三棱锥P-ABC的外接球半径为2时B= 6 D.三棱锥P-ABC的外接球半径最小时，三棱锥P-ABC的体积为2y互 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.圆C:(x-1)+(（y-1)2=9与直线1：cos0x+si0y=V2(0∈R)交于A、B两点，则弦长 AB的最小值为 13.己知数列[anJ,令bk为a1,a2,,ak中的最大值(k=1,2,,n),则称数列[bnJ为(an的 “控制数列，bn}中不同数的个数称为“控制数列”(bn}的“阶数”，例如：anJ为1,3,4,2， 则控制数列”bn}为1,3,4,4，其“阶数”为3，若(an}由1,2,3,4任意顺序构成，则使“控 制数列bn的阶数”为2的所有(a}的个数为· 14若函数y=F(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则称函数y=F()具有W性质若函数f(x)=ax+号sin2x+cos2x具有W性质，其中a,b, c为实数，且满足b2+c2=1,则实数a+b+c的最大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。 15.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2-sin2C=sinAsinB+cos2A+ cos2B. (1)求C: (2)若△ABC为锐角三角形，且b=4,求△ABC面积的取值范围 16某中学举办校园文化节，设置了“数智达人”和“英语秀达人”两项特色活动，两项活动前10 名得分统计如下： 数智达人前10名分数 148,146,144,142,140,140,138,136,134,132 英语秀达人前10名分数144,143,142,141,140,140,139,138,137,136 (1)求出数智达人前10名分数的平均数、标准差： (2)经检查发现：有一名同学的数智达人与英语秀达人得分均在前10名，但是老师却将其数 智达人与英语秀达人得分统计反了，已知正确的数智达人前10名分数的平均分为141，标准 差为W17. ①求该生正确的数智达人得分是多少？并说明理由： ②为了便于成绩分析，对数智达人前10名的正确分数进行“M分数”转换，要求如下：转化 前后名次不变，且10个“M分数”的平均分为50、标准差为10.请你给出一个满足要求的线性 转换公式：y=bx+a(其中，x表示数智达人分数，y表示数智达人分数对应的“M分数”，b, a为常数)，并证明， (x1 -x2 -nx (参考公式： 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=4, CD=V15,AD=5,侧面PAB为正三角形，且平面PAB⊥平面 PBC. (1)求三棱锥P-ABC的体积 (2)求二面角P-DC-A的正弦值， B D 18,已知椭圆C:+上=1，直线，：y=+mk≠0)与椭圆C 42 有且仅有一个公共点P,过点P且与垂直的直线1分别交x轴、y轴于A(x,O),B(O,y)两 点.当点P运动时，记点(x,y)的轨迹为曲线E, (1)求k,m之间的关系： (2)求曲线E的轨迹方程： (3)若P点在第一象限，直线I和曲线E交于M、V,且MW=3,求P点坐标 19.记4，=442…a,己知函数f(x)和g(幻的定义域都为D,若存在x1,2,,xm∈D, 使得[/)-g6x-)50,当且仅当x=,【=1,2,m时等号成立，则称f以 和g(x)在D上“m次缠绕”. (1)判断f(x)=x和g(x)=x3在R上“几次缠绕'，并说明理由； (2)设f()=lnx+2,若f(x)和f白在(0，+o)上“3次缠绕”，求a的取值范围： (3)记所有定义在区间(a,b)上的函数组成集合A,证明：给定m∈N°，对任意F(x)∈A,都 存在f(x),g(x)∈A,使得F(x)=f(x)+g(x),且f(x)和g(x)在(a,b)上m次缠绕”.合肥八中2026届高三最后一卷 数学试题 命（审）题人：金启富罗风云刘攀何振华 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题 卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡 上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答 无效。 4本卷命题范围：高考范围。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx2-x-6≤0}，B={xy=V1-x,则AnB=() A.[-1,1] B.-2,1] C.(-1,1) D.[0,1] 2.已知复数21=2+i,在复平面内，复数2，与2对应的点关于直线y=x对称，则互=() 13 43 43 A.0 B. D 22 55 55 3.两个粒子A,B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为S4=(4,3), S月=(-2,6)，则SB在54-S上的投影向量的长度为() 3V10 A. B.1085 c.25 D.2 2 17 4.意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所 形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线 函数，其函数表达式为cosh二。，，相应的双曲正弦函数的表达式为sihx=。二。设 2 函数f(x)=sinhx 若实数a满足不等式f(a+2)+f(-)>0,则a的取值范围为() coshx A.（-1,2) B.(-2,1) C.（-0,-1)U(2,+∞) D.（-0,-2)U1,+0) 2 5.设函数/)-sm-V5cosa@>0),若点〔0为函数y图象的一个对称中心， 且fx)在0， A 上的最大值为2，则ω的最小值为() 6 A.4 B.5 C.7 D.10 6.如图，正三棱台ABC-AB,C的上、下底面边长分别为1和3，平面ABC将 棱台分成两部分，则三棱锥A-ABC和四棱锥A-BCCB,的体积比是() R C.4 7 9 D. 4 7双曲线B:x2少2 京方=1a,b>0)的左、右焦点为R、乃，A、B为双曲线B右支上两点且满 足AF/1BE,若AE⊥BF时，BF=3a,则双曲线E的离心率为() A.3√2 B.3 C.2√3 D.3 8.若实数x,y,z满足√=2y=-log2z,则x,y,z的大小关系不可能是() A.z>x>y B.z>y>x C.y>x>z D.y>z>x 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。 9.已知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{bn是首项为2，公比为q的等比数列， 且a2=b2,a5=b3+5,则() A.d=3,q=2 B.数列{an的前50项中，有7项在数列bn}中 C.数列a+b,的前n项和为m2+21 D.数列{anbn}的前5项和为650 10.在篮球训练课上，A,B两位同学进行“定点投篮比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮 比赛中，两人各定点投篮一次，投中得1分，投不中得0分.己知A,B每次定点投篮投中的概 率分别为P4,PB,(PA,PB∈(0,1)，若5轮比赛后A,B的总得分分别为X4,XB,则下列结论 正确的是() A.若E(X4)<E(XB),则PA<PB B.若0<PA<PB<,则D(XA)<D(X) C.P(XA=XB=3)P(XA:XB=2:3) D.若当且仅当k=2时，PK=)k=0,123,45)取得最大值，则号<Pg<2 11.三棱锥P-ABC中，PB=AB=BC=2,∠PBC=∠PBA=&且a≤T,∠ABC=T,PB与平 2 2 面ABC所成角为日，下列说法中正确的有() A.当0=元时a 4 3 B.当日=严时三棱锥P-ABC的外接球半径为5 棱锥P-4BC的外接球半径为2时 D.三棱锥P-ABC的外接球半径最小时，三棱锥P-ABC的体积为2 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.圆C:(x-1)+(y-1)}=9与直线1：cos6.x+sin0.y=√2(0eR)交于AB两点，则弦长 AB的最小值为 13.已知数列{an,令bx为a1,a2,,ak中的最大值(k=1,2,,m),则称数列bn}为{an的 “控制数列'，{bn}中不同数的个数称为控制数列'bn的“阶数”，例如：{an}为1,3,4,2， 则控制数列bn}为1,3,4,4，其“阶数为3，若{an}由1,2,3,4任意顺序构成，则使“控 制数列{bn的阶数”为2的所有{an的个数为 14若函数y=F(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则称函数y=F(x)具有W性质.若函数f(x)=ax+sin2x+cos2x具有W性质，其中a,b, c为实数，且满足b2+c2=1,则实数a+b+c的最大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。 15.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2-sin2C=sinAsinB+cos2A+ cos2B. (1)求C: (2)若△ABC为锐角三角形，且b=4,求△ABC面积的取值范围， 16.某中学举办校园文化节，设置了“数智达人”和“英语秀达人”两项特色活动，两项活动前10 名得分统计如下： 数智达人前10名分数 148,146,144,142,140,140,138,136,134,132 英语秀达人前10名分数144,143,142,141,140,140,139,138,137,136 (1)求出数智达人前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数智达人与英语秀达人得分均在前10名，但是老师却将其数 智达人与英语秀达人得分统计反了，已知正确的数智达人前10名分数的平均分为141，标准 差为V17, ①求该生正确的数智达人得分是多少？并说明理由： ②为了便于成绩分析，对数智达人前10名的正确分数进行“M分数转换，要求如下：转化 前后名次不变，且10个“M分数”的平均分为50、标准差为10.请你给出一个满足要求的线性 转换公式：y=bx+a(其中，x表示数智达人分数，y表示数智达人分数对应的“M分数”，b, a为常数)，并证明. (参考公式： 2 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=4, CD=√5，AD=5,侧面PAB为正三角形，且平面PAB⊥平面 PBC (1)求三棱锥P-ABC的体积： (2)求二面角P-DC-A的正弦值. 18已知椭圆c:二+上-1，直线6：y=c+mk≠0)与椭圆C 4+2 有且仅有一个公共点P,过点P且与垂直的直线I分别交x轴、y轴于A(x,0),B(0,)两 点.当点P运动时，记点Q(x,y)的轨迹为曲线E, (1)求k,m之间的关系： (2)求曲线E的轨迹方程； （3)若P点在第一象限，直线1和曲线日交于MN,且0-3 ,求P点坐标 2 19.记4=aaa,已知函数f(x)和g(x)的定义域都为D,若存在x1,x2,…,xm∈D, 使得[U)-g(]x-x)≤0，当且仅当x=,i=1,2,,m时等号成立，则称f) 和g(x)在D上“m次缠绕. (1)判断f(x)=x和g(x)=x3在R上“几次缠绕”，并说明理由： (2)设f(x)=lx+是，若f()和f白在(0，+o)上“3次缠绕”，求a的取值范围； (3)记所有定义在区间(a,b)上的函数组成集合A,证明：给定m∈N*,对任意F(x)∈A,都 存在f(x),g(x)EA,使得F(x)=f(x)+g(x),且f(x)和g(x)在(a,b)上“m次缠绕”.合肥八中2026届高三最后一卷 数学试题 命（审）题人：金启富罗风云刘攀等 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.己知集合A={xx2-x-6≤0，B={xy=V1-x,则AnB=() A.[-1,1] B.[-2,1] C.(-1,1) D.[0,1] 【答案】B 解：集合A={x|-2≤x≤3}，B={xly=V1-x={x1-x>0}={xx<1}, 则A∩B=[-2,1] 故选：B. 2.己知复数2=2+i,在复平面内，复数乙与z2对应的点关于直线y=x对称，则三=() 1,3 43 43 A.0 B.-+-i 22 D53 【答案】D 解：在复平面内，21=2+对应的点为(2,1)， 而(2,1关于直线y=x对称的点为(1,2)，则22=1+2，所以三=4_3 . 22551 故选：D 3.两个粒子A,B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为=(4,3)，s= (-2,6),则s在54-5B上的投影向量的长度为() 3v10 A. B.10V⑧ 2 C.25 D.2 17 【答案】C 解：因为S4-5B=(6,-3)则5B(54-5)广-30， 所以sB在54-5B上的投影向量长为2W5 故选：C. 4.意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所 2 形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线 函数，其函数表达式为cohx=C+二，相应的双曲正弦函数的表达式为sihx=e-e.设 2 2 函数f(x)= sinhx 若实数a满足不等式f(a+2)+f(-a2)>0,则a的取值范围为() coshx A.（-1,2） B.(-2,1) C.（-w,-1)U(2,+∞) D.(-0,-2)U(1,+0) 【答案】A 解：由题意可知：f)=e的定义域为R, e*te-x 因为)名=网，所以到数刚为奇正数 又因为f=ec-e-11-2 ete-x e2x+1 e21'且g)=2 在R上为减函数， 由复合函数的单调性可知：)-1。号在R上为帽函数。 因为f(a+2)+f(-2)>0,所以f(a+2)>-f(-a2)=f(a2), 所以a+2>a,解得：-1<a<2,所以实数a的取值范围为(1,2)， 故选：A. 5.设函数f(x)=sinwx-√3 cos@x((w>0),若点 为函数f(x)图象的一个对称中心， 且f倒在08 上的最大值为2，则ω的最小值为() A.4 B.5 C.7 D.10 【答案】C 解：f(x)=sin cox-√3 cos@x= i-5cm 2 点气（后0是7）的对将中心，因t/写-0，代入得2sm@昏哥到引0， 即o-1)五=kxk∈Z),整理得@=3+1keN,0>0): 3 6 3363 而根据解析式可知f(x)最大值为2， 说明区间必须包合5因此了行，解得@≥5； π 结合0=3k+1且0≥5， 2 k=1时，0=4<5，不满足；k=2时，0=7≥5，满足条件.因此w的最小值为7 故选：C 2 6.如图，正三棱台ABC-AB,C的上、下底面边长分别为1和3，平面ABC将 A 棱台分成两部分，则三棱锥A-ABC和四棱锥A-BCCB,的体积比是() 7 9 B. C. D. 4 4 【答案】D 解：由正棱台上、下底面边长分别为1和3，知S48G:SBc=1:9, 4 又4-sea=V4-r+4sg=4P4-a=4s-49g4-®c V4=9 所以VA-CG84,故选D. Q双由线E式1Qb>0的左、石焦点为R、R,本B为双两线五右支上两点组器 足AE/B耳，若AE⊥BF时，BE=3a,则双曲线E的离心率为() A.32 B.V13 C.2N3 D.3 【答案】B 解：设A耳交双曲线的左支于点D,由对称性知D耳=3a,则DE=5a, 设AF,=,则AF=m+2a,AD=m-a利用AD+AE2=DE解得： D F4a,又A+AR-R,解得：日 8.若实数x,y,z满足√=2y=-log2z,则x,y,z的大小 关系不可能是() A.z>x>y B.z>y>x C.y>x>z D.y>z>x 【答案】C 解：由√=2y=-log2z可得x2 2 log:z=t, t t=X t=log1x与t= 1 ·互为反函数，故其交点C在直线t=x上，且交点横坐 t=x2 标小于1， 而t=√x与t=x交点的横坐标等于1， 从而1=G,13:,1-在月-直角丝标系中的大致图象如图所 示：1与1=店的图像交点为：，1e;”与1=G的图像交点为A,且<< 当直线y=m位于点A的上方时，此时直线y=m与三个函数的交点横坐标满足x>二>y, 当直线y=m位于点B的上方，A的下方时，此时直线y=与三个函数的交点横坐标满足 Z>X>y. 当直线y=m位于C点的上方，B的下方时，此时直线y=m与三个函数的交点横坐标满足 z>y>x, 当直线y=m位于C点的下方时，此时直线y=m与三个函数的交点横坐标满足y>2>x. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{bn是首项为2，公比为q的等比数列， 且a2=b2,a5=b3+5,则() A.d=3,q=2 B.数列{an的前50项中，有7项在数列{bn}中 C.数列{an+b,n的前n项和为3n2-n-4+2n+1 2 D.数列{anb的前5项和为650 【答案】ACD 解：对于A.斑a,的公比为g由时o=r=b+5,明1+d解得日-子 所以A正确： 对于B,可知am=1+3(m-1)=3m-2,bn=2m,令am=bn,即3m-2=2”,存在m= 2,6,22,使得am=bn,所以B错误： 对于C,an+bn=(3n-2)+2m,设数列{an+bn的前n项和为Tn则Tn=[1+4+7+…+ (3n-2+(2+22+…+2”)=1+m-2+21-2四=3n--4+2+1,所以C正确： 2 1-2 2 对于D,am=3n-2,b,n=2m,则anbm=(3n-2)·2m,故Sm=1×2+4×22+…+(3n 2)·2m,2Sm=1×22+4×23+…+(3n-2)·2n+1,两式相减得：-Sm=2+3×22+ 3×23++3×2”-(8m-2)-21=2+3()-(8m-2)-21=-10-(3n- 5)·2n+1,故Sm=10+(3n-5)2m+1,则S5=650,所以D正确： 故选：ACD 10在篮球训练课上，A,B两位同学进行“定点投篮比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮 比赛中，两人各定点投篮一次，投中得1分，投不中得0分.已知A,B每次定点投篮投中的概 率分别为PA,PB,(P4,PB∈(O,1),若5轮比赛后A,B的总得分分别为XA,XB,则下列结论 正确的是() A.若E(X4)<E(XB),则PA<PB B.若0<PA<PB<,则D(XA)<D(K) C.P(XA=XB=3)P(XA:XB=2:3) D.若当且仅当k=2时，P(K=)(k=01,23,45)取得最大值，则5<Pa<号 【答案】ABD 解：由题得，随机变量X4~B(5,P4),XB~B(5,P): 对于A,E(XA)=5PA,E(XB)=5PB,若E(XA)<E(XB),则PA<PB,故A正确： 对于B,由题意得， D(XA)=5PA(1-PA),D(XB)=5PB(1-PB), 所以D(XA)-D(XB)=5(PA-PB)[1-(PA+PB]: 若0<PA<PB<,则PA-P<0,1-(PA+PB)>0, 所以D(XA)-D(XB)<O,即D(XA)<D(XB),故B正确； 对于C,假设P(X4=XB=3)=P(X4:XB=2:3), C3P (1-PA)2CP(1-PB)2=C2PR(1-PA)3C3P(1-PB)2, 化简整理得PA=1-PA,即PA= 所以当且仅当PA=时，P(XA=X。=3)=P(XA:X=2:3),故C错误 对于D,由题意得， P(XB=k)=C5P(1-PB)5-k,若当且仅当k=2时，P(Xg=k)(k=0,1,2,3,4,5)取得 最大值， 刘得般之8款保<路<分故D疏 故选ABD. D 11.三棱锥P-ABC中，PB=AB=BC=2,∠PBC=∠PBA= 且a≤行∠ABC=子，PB与平面ABC所成角为6，下列该法中 2 正确的有() A.当0=T时a= 4 3 B.当0=T时三棱锥P-ABC的外接球半径为V5 4 C. 三棱锥P-ABC的外接球半径为2时日= 6 D.三棱锥P-ABC的外接球半径最小时，三棱锥P-ABC的体积为2 3 【答案】AD 解：由影意，建系如图：则P2cos05cos0,2血6，由∠A5C=分可设三棱锥P-ABC 的外接球球心为O(,1,),则外接球球半径R满足 R2=(√2cos6-1)2+(W2cos0-1)2+(2sin0-m)2-2+m2, 所以4-4√2cos0-4sin0.m=0. 对选项A:当日=时PL1,V), BP=4,1V),BA=(0,2,0),C0S<BP,BA>- 2,所以 <B驴BA胥同选项A正痛： 对选项B:当日=T时m=0,所以三棱锥P-ABC的外接球半径为V2,即选项B错误： 4 对选项C:三棱锥P-ABC的外接球半径为2时m=±√2，m=√2解得0= 2>2故舍 7π、π 去；m=-√2解得日=刀 即选项C错误 对选项D:三棱锥P-ABC的外接球半径最小时m=0,此时P1,L,√2)，所以三棱锥P-ABC 的体积为2W2 即选项D正确 3 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.圆C:(x-1)}+(y-1)2=9与直线1：cos0.x+sin0y=√2(8∈R)交于AB两点，则弦长 AB的最小值为 【答案】2 解：圆心到直线的距离d= cos0+sin6-√ 1≤2√2，所以AB≥2√9-8=2. 1 6 13.己知数列{an},令bk为a1,a2,,ak中的最大值(k=1,2,,n),则称数列{bn}为{an的 控制数列，{bn中不同数的个数称为控制数列bn}的“阶数”，例如：{an}为1,3,4,2， 则控制数列b为1,3,4,4，其“阶数为3，若{an由1,2,3,4任意顺序构成，则使“控 制数列'bn}的阶数为2的所有{an的个数为一 【答案】11 解：当bn}由1,4构成时，则a1=1,a2=4,a3,a4为2,3的一个排列，故满足条件的数 列{an有A经=2（个）：当bn由2,4构成时，则a1=2,a2=4,a3,a4为1,3的一个排列， 或a1=2,a2=1,a3=4,a4=3,故满足条件的数列{an有A3+1=3(个)：当bn由3， 4构成时，则a1=3,a2,a3,a4为1,2,4的一个排列，故满足条件的数列{a}有A=6 (个)，由分类加法计数原理可得满足条件的数列{an共有11个. 14若函数y=F(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则称函数y=F(x)具有W性质若函数f()=ax+sin2x+cos2x具有W性质，其中a,b, c为实数，且满足b2+c2=1,则实数a+b+c的最大值是。 【答案】V2 解：由题意可得.f)=ax+V平sn(2十). 于是，f'(x)=a+Vb2+c2cos(2x+p)=a+cos(2x+p). 设切点分别为P(x1,y1),P2(x2,y2),则由函数y=f(x)具有W性质，可得f(x1)f'(x2)=-1, 即[a+cos(2x1+p)][a+cos(2x2+p)]=-1, 整理得a2+[cos(2x1+p)+cos(2x2+p)]a+cos(2x1+p)cos(2x2+p)+1=0, 将上式视为关于a的方程，则其判别式： △=[cos(2x1+p)+cos(2x2+p)]2-4[cos(2x1+p)cos(2x2+p)+1]≥0， 即A=[cos(2x1+p)-c0s(2x2+p)]2-4≥0，注意到-1≤c0s(2x1+p)≤1， -1≤c0s(2x2+p)≤1，则-2≤cos(2x1+p)-cos(2x2+p)≤2， 故4=[cos(2x1+p)-cos(2x2+p)]2-4=0, 地以2+b- 代入方程可得a2=0,因此，a=0. 另一方面，由b2+c2=1,可设b=cos0,c=sim6,其中0∈R, 则b+c=lcos6+sin8l=N2sim(6+)≤V2,即-√2≤b+c≤√2. 因此，a+b+ce[-√2，V②.实数a+b+c的最大值是V2. 故答案为：√2， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2-sinC=sinAsinB+cos2A+ cos2B. (1)求C: (2)若△ABC为锐角三角形，且b=4,求△ABC面积的取值范围 【答案】解：(1)因为2-sin2C=sinAsinB+cos2A+cos2B, 所以2-sin2C=sinAsinB+(1-sin2A)+(1-sin2B), sin2A+sin2B-sin2C sinAsinB, 由正弦定理得a2十b2-c2=ab,由余弦定理知，c0sC=2-品- 2ab 因为C∈(O,D,所以C=子 (2)油(1知，C=子所以A+B= 0<B< 又△ABC是锐角三角形，可得 <Ξ-B<g解得<B< 2 3 品一c又b=4,可得c=e=得 由正弦定理知· sinB sinB 5aAc=bcsinA-×4x2×sing-B)=4W3×g-,总+23， sinB sinB tanB 因为号<B<,所以tanB>,所以2V3<SAac<83, 故△ABC面积的取值范围为(2V3,8V3), 16.某中学举办校园文化节，设置了“数智达人”和英语秀达人”两项特色活动，两项活动前10 名得分统计如下： 数智达人前10名分数 148,146,144,142,140,140,138,136,134,132 英语秀达人前10名分数144,143,142,141,140,140,139,138,137,136 (1)求出数智达人前10名分数的平均数、标准差： (2)经检查发现：有一名同学的数智达人与英语秀达人得分均在前10名，但是老师却将其数 智达人与英语秀达人得分统计反了，已知正确的数智达人前10名分数的平均分为141，标准 差为V17. ①求该生正确的数智达人得分是多少？并说明理由： ②为了便于成绩分析，对数智达人前10名的正确分数进行“M分数”转换，要求如下：转化 前后名次不变，且10个“M分数”的平均分为50、标准差为10.请你给出一个满足要求的线性 转换公式：y=bx+a(其中，x表示数智达人分数，y表示数智达人分数对应的“M分数”，b, a为常数)，并证明 (参考公式： 【答案】(1)数智达人前10名学生分数的平均数分别为140；标准差分别为2√6， (2①正确的英语秀达人前10名分数的标准若为五，②b=9,a=50-“0巴 ，证 17 明见详解 解：(1)设数智达人前10名学生分数的平均分为x,,标准差分别为$1， 则=0(140+140+142+144+146+148+132+134+136+138)=140， S1= √元0+0+4+16+36+64+64+36+16+利=V24-2V6. (2)因为该同学数智达人得分与英语秀达人得分相差10分，由题表知，可能是英语秀达人132 分与数智达人142分统计反了；也可能是英语秀达人134分与数智达人144分统计反了. 若英语秀达人132分与数智达人142分统计反了，则s1= √合1+1+1+9+25+49+1+49+25+9=V17 若英语秀达人134分、数智达人144分，则s1= √信1+1+1+9+25+49+81+9+25+9)=V2元 所以是英语秀达人132分与数智达人142分统计反了. 所以正确的数智达人得分为142分. ②设转换公式为y=bx+a,则50=141b+a, 0 所以10 (bx,+a-50)2,将a=50-141b代入， 10 10 得10= 2k-141)2=7b,所以b=1,a=50-14o画 V10 17 17 即满足要求的线性转换公式为y=10四x+50-1410画 ,下面证明：因为M分数”转换之 17 17 前的10个正确分数的平均分是x=141,标准差为s1=√17，则转换后的平均分y= 10四×141+50-410厘=50.因为0-50)2=0四x+50-410厘-50)2= 17 17 17 17 曾c-1412,所以转换后的标准差8= 100 V17 ×17=10,即转换公式y= 19x+50-40严满足条件得证。 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=4, CD=√5，AD=5,侧面PAB为正三角形，且平面PAB⊥平面PBC. (1)求三棱锥P-ABC的体积： P (2)求二面角P-DC-A的正弦值： 【答案】(1)8；(2)2四 19 解：(1)记PB的中点为H,连接AH,HC,AC,由题可得 AB=4,AH=25,AC=2√10且AH⊥PB,因为平面PAB1平 面PBC,由面面平行的性质定理知：AH⊥面PBC,所以AH⊥HC, ,所 所以HC=2V7.在三角形HBC中由余弦定理可得∠HBC-2π 以SBc=4V3,所以三棱锥P-ABC的体积 人ec B 5×4W3x2V3=8: (2)由.c8=××4x5×h解得四棱雏P-ABCD的高 32 h=4w5 5 以D为原点建系如图，则46Q0,C05,08正，0设西.白 HB4得0m矿智0侧a时智16解得m3n2我者 5 m、35,由(1)中∠PBC=3且BC二=4得C2=4W3,经拉得：m=6n=V5了 5 5 即P63545,因为DP=63545,DC=(0,5,0), 5,5 5’5 设平面PDC的法向量为n=(x,y,), DP=0 6+3y+4 -V+ 则 即 nDC=0' 5 5 2=0,令2，y y=0 10 则n=(2,0,-15): 设平面ABCD的法向量为=(0,0，)，设二面角P-DC-A=6, 故lcoscosm.m上m1-1 ，所以sin0= 2219 mn 19 1919 18已知椭圆C:+上=1，直线：y=c+m(k≠0)与椭圆C有且仅有一个公共点P,过 42 点P且与垂直的直线1分别交x轴、y轴于A(x,O),B(0,y)两点.当点P运动时，记点Q(x,y) 的轨迹为曲线E, (1)求k,m之间的关系； (2)求曲线E的轨迹方程： (3)若P点在第一象限，直线1和曲线E交于M、N,N=3W ,求P点坐标 2 (xy 解：(1)联立方程千+21可得1+2)x+4物x+2-4=0, y=kx+m 因为有且仅有一个公共点，则△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=0, 整理得m2=4k2+2(k≠0) (2)由(1)可解得点P坐标为 （-2am） 1+2F'1+2k2 即42 其中k≠0 ' 于是，过点P且与垂直的直线1为y- m(+m即直线1：y= 21.4k x 可得400引0 s、2 ,即x=-2k 则x2= m 所以点C(,)的轨迹方程是x+父=1(，y≠0). y=-1x-2 (3)联立方程 可2-+2=0，设，N)利 1 2 2+ k2 11 1 m2=4k2+2,带入整理得 1+ 得：r=4,P 3W2 ,2 （2k2+1 点在第一象限知k= √ ,m=2,且此时P(V2,1): 19.记4=a4a,已知函数f(x)和g(x)的定义域都为D,若存在x1,x2,,xm∈D, i-1 使得[f()-g(]r-x)≤0，当且仅当x=,i=1,2,…,m时等号成立，则称f) 和g(x)在D上“m次缠绕. (1)判断f(x)=x和g(x)=x3在R上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设f()=lx+是，若f)和f白在(0，+∞)上“3次缠绕，求a的取值范围： (3)记所有定义在区间(a,b)上的函数组成集合A,证明：给定m∈N*,对任意F(x)∈A,都 存在f(x),g(x)EA,使得F(x)=f(x)+g(x),且f(x)和g(x)在(a,b)上“m次缠绕”. 【答案】解：(1)函数f(x)=x和g(x)=x3在R上“3次缠绕”， 理由如下： h(x)=f(x)-g(x)=x-x3=x(1-x)(1+x),h(x)的零点为-1,0,1. 令P)=T-x)=(x-1)x+1) [f(x)-g(x)]·P(x)=-P(x)2≤0，当且仅当P(x)=0,即x=x,i=1,2,3时等号成立. 所以函数f(x)=x和g(x)=x3在R上“3次缠绕' (2)设c(,)=f)-f约=2nx+是-ax2, 因为f()和f白在(0，+∞)上“3次缠绕”， 所以存在互异的三个正数x1,x2,x3,使得G(x)x-x)≤0， 当且仅当x=x,i=1,2,3时等号成立，所以x1,x2,x3是G(x)的三个零点. 注意到G(1)=0,所以1是G(x)的一个零点. G'(=-2ar4-2+a」 x3 ①当a≤0时，G'(x)≥0，G(x)在(0，+o)上递增，1是G(x)的唯一零点，不合题意： ②当a≥时，G'()≤0，G(x)在(0，+∞)上递减，1是G(x)的唯一零点，不合题意： 12 ③当0<a<时，令G'()=0,即ax4-x2+a=0, 可知方程ax4一x2+a=0存在两根t1,t2,且0<t1<1<t2, 当x∈(0，t)时，G'(x)<0,G(x)递减： 当x∈(t1,t2)时，G'(x)>0,G(x)递增， 当x∈(t2,+o)时，G'(x)<0,G(x)递减， 所以G(t1)<G(1)=0, 因为c(@=21a+日a2>2lna+日-a, 设H(回)=2na+日a,0<a<1, 因为Ha=-a=<0,所以H@在(0,1上递减，所以H(a>H(①=0，即G(a>, a2 所以存在x1∈(0,1)，G(x1)=0, 又G(t2)>G(1)=0,G(分=-G(a)<0, 所以存在x2∈(t2,+∞)，G(x2)=0,所以(x-x1)(x-1)(x-x2)[f(x)-f白】≤0恒成立， 即0<Q<时，f()和f白在(0，+∞)上“3次缠绕”， 综上，Q的取值范围是(0，为， (3)取a<X1<x2<…<xm<b, 设p(x)=(x-x1)x-x2)…(x-xm), 令f(x)=2[F(-p(],9()=[F(x)+p(],x∈(a,b), 显然F(x)=f(x)+g(x),且[f(x)-g(x)]Π1(x-x)=-Π1(x-x)2≤0， 当且仅当x=xk,k=1,2,…,m时，等号成立. 所以对任意F(x)EA, 存在fx)=[F()-9(9()=2[F(x)+p(x,xE(a,b), 其中p(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xm), 使得F(x)=f(x)+g(x),且f(x)和g(x)在(a,b)上“m次缠绕”. 13