上海市延安中学2025-2026学年高三下学期5月适应性考试数学试卷

市延安中学2025学年第二学期适应性考试 高三年级 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．已知全集，集合，，则________． 2．椭圆的离心率为________． 3．已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 4．已知服从二项分布，则________． 5．若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为________． 6．已知，则________． 7．已知空间向量，，共面，则实数________． 8．为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型（）去拟合与的关系，设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则________． 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 9．在的展开式中，项的系数为________． 10．某校篮球队的成员是来自学校高一10个班的12位同学，其中高一（3）班、高一（7）班各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人作为主力队员，则这6名主力队员来自不同的班级的概率为________． 11．设复数，（为虚数单位），复数满足，则的最小值是________． 12．在平面上，，，，若，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 14．某社区通过公益讲座宣传交通法规，为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分，他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（ ） A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C．讲座后答卷得分的第80百分位数为95 D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差 15．数学家欧拉发现简单凸多面体的顶点数、棱数及面数之间有固定的关系，即多面体的欧拉定理：．如图所示为上世纪八十年代科学家首次发现的碳60的电子显微镜图，它是由五边形和六边形面构成的凸多面体，共有60个顶点，每个顶点均为碳原子，且每个顶点引出三条棱，形似足球，根据以上信息，碳60的所有面中六边形的个数是（ ） A．12 B．20 C．32 D．40 16．对于无穷数列和正整数，若存在，，…，满足且，则称数列具有性质．给出以下两个命题： ①存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质； ②若数列和均具有性质，则具有性质； 则下列判断正确的是（ ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①与②均为真命题 D．①与②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）下列各题必须在答题纸相应的位置作答． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在中，角、、所对的边分别为、、． （1）若、、成等比数列，求证：； （2）若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 18．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 如图，在四棱锥中，是等边三角形，且，，，，为的中点，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成的角的大小． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． （1）当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由，并求该方案下乙队最终获胜的概率； （2）当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知抛物线，为第一象限内上的一点，直线经过点． （1）设，若经过的焦点，求与的准线的交点的坐标； （2）设，已知与轴负半轴相交于点，与有、两个交点，若，求直线的方程； （3）设，已知是在点处的切线，过点作直线使得，是与的另一个交点，试将表示为的函数，并求的最小值． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意都成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断是否为上的函数，并说明理由； （2）若实数满足：为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值．对于 ：对任意，与都恒成立． ：对任意正整数，都是上的函数． 判断是否为的充分条件？是否为的必要条件？并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $