精品解析：湖北襄阳市第四中学2025-2026学年2026级高一卓越班5月月考数学试题

襄阳四中2026级高一卓越班5月月考 数学试题 命题人：陈祥丽 审题人：高江涛 一、单选题 1. 已知集合，，若，则a的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解 【详解】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件. 3. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】A 【解析】 【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断， 所以命题“，使”的否定是“，使”. 4. 比较三个数的大小：，，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将利用指数函数、对数函数的性质进行判断即可. 【详解】因为函数 在 为增函数，因为，所以，即， 因为函数 在上为减函数，，即， 因为，因为，则，又因为， 则，所以，即， 所以. 故选：A. 5. 医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（ ） 参考数据：，， A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立不等式，结合对数的运算法则，代入参考数据后即可求解. 【详解】由题意得，血液中药物浓度不超过时，可正常驾驶机动车， 设患者服药后经过小时可正常驾驶，由题意得， 即，两边同时取对数得， 即，， ，代入参考数据得， 整理得，故至少经过小时后可正常驾驶. 6. 已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 7. 已知函数，若，且 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，作出图像分析时，有，化简，从而得到答案. 【详解】由题可得：，作出的图像如下： 由，且，则，，即，解得：， 所以 由，则， 所以，故当，即时，取最小值为. 故选：B 8. 已知函数则方程的实数个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的部分图象，利用整体法求出或，再根据图象观察交点个数即可. 【详解】函数的部分图象如图所示. 由方程，解得或. 当时，有5个实根，当时，有6个实根， 故方程的实根个数为11. 故选：C. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，，则的最小值为7 B. 当时，的最小值是4 C. 设，，且，则的最小值是 D. 当时，的最小值是3 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，由，得 ，当且仅当，即时取等号，A错误； 对于B，当时，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，，得， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，当时，，则， 当且仅当，即时取等号，D错误. 10. 已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设条件依次判断函数的奇偶性和单调性，结合选项要求利用函数的单调性、图象对称性和最值分析逐一判断即可. 【详解】定义在上函数的图象是连续的，且满足以下条件： ①，，说明函数是偶函数；②，当时，都有，则函数在上是增函数；③. 对于A，成立，故A正确； 对于B，因 ，解得，故B正确； 对于C，由①得是定义在上的偶函数，则，又函数在是增函数， 所以当或时，；当时，， 则等价于或可得，故C错误； 对于D，因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数， 即是函数的最小值，则，，使得，故D正确. 11. 已知函数，则以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则 C. 若，且关于x的方程有3个不等实数根，则实数m的范围为 D. 若，且存在四个不等的实数使得，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据解析式，代入计算，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，根据函数的单调性，分析判断，可求得a的范围，即可判断B的正误；将关于x的方程有3个不等实数根，转化为与图象有3个不同交点，作出图象，可得m的范围，即可判断C的正误；设，将条件转化为所以与图象有4个不同交点，作出图象，根据韦达定理，可得，的表达式，代入所求，根据t的范围，即可判断D的正误. 【详解】选项A：若，则， 所以，故A正确； 选项B：当时，在上单调递增，符合题意， 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增，所以，解得， 综上a的取值范围是，故B错误； 选项C：若，则，则， 当时，，所以当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 因为关于x的方程有3个不等实数根， 所以与图象有3个不同交点，作出与图象，如图所示： 由图象可得或，故C错误； 选项D：若时，设， 即有4个不同的实根， 所以与图象有4个不同交点，作出与图象，如图所示： 因为为方程，即的根，所以， 为方程，即的根，所以， 所以， 根据C中结论及图象可得， 所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题 12. 当，时，则= ____；=___. 【答案】 ①. 24 ②. 104 【解析】 【分析】（1）使用指数幂运算性质求解； （2）使用指数幂运算性质与对数运算性质求解. 【详解】（1） ； （2）当，时，； 则 . 13. 已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．则函数的单调递增区间为______ 【答案】 【解析】 【分析】由奇偶性的定义解出与的函数解析式，再使用复合函数的单调性求解． 【详解】由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. 则，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. 14. 已知实数，满足，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】同构：把化为与同构，由函数的单调性得，从而可得结论． 【详解】由题意，而 易知函数为单调增函数， 因为，所以，从而， 所以， 故答案为：2. 四、解答题 15. 设集合，. （1）若，求的值及集合； （2）若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【小问1详解】 ，. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. 【小问2详解】 若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 16. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 【小问2详解】 解：， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 17. 某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m. （1）试用表示矩形花坛的面积； （2）若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ （3）若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 【答案】（1） （2）最长为25米，最短为米 （3）的长为米时，总费用最少，最少为元 【解析】 【分析】（1）根据给定图形，借助相似求出，进而求出矩形面积. （2）由（1）列出不等式，求解不等式即可得解. （3）求出总费用的函数关系，再利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由的长为m，得m， 而与相似，则，于是， 所以矩形花坛的面积. 【小问2详解】 依题意，，则，而，整理得，解得， 函数在上随增大而减小，于是， 所以最长为25米，最短为米. 【小问3详解】 矩形花坛的装饰费用， 新扩建部分的修建费用， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的长为米时，总费用最少，最少为元. 18. 设 （1）求函数的最大值. （2）当不等式在上有解时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用换元法将问题转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题； （2）将不等式化简并换元，转化为关于的一次不等式在上有解的问题，可构造一次函数或分离参数求解. 【小问1详解】 ， 令， 因为对称轴为，则函数在上单调递增，上单调递减， 所以当时，. 【小问2详解】 由题可知，不等式 在上有解， 即，化简得， 令，则在上有解. 解法1：令 ，则在上有解， 即有 ，即. 解法2：当时，，无解； 当时，在上单调增， ∴当时，，只需， 综上：. 19. 记函数的定义域为，如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”；如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”． （1）判断函数是“型函数”还是“型函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“型函数”； （3）若函数定义域为，既是“型函数”又是“型函数”，当时，，试问是否存在整数，使得当时，不等式有解？证明你的结论． 【答案】（1）函数是“型函数”，理由见解析 （2）证明见解析 （3）存在整数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中定义逐一判断即可. （2）根据题中定义进行运算证明即可； （3）根据题中定义，结合周期的定义、二次函数的性质、结合对数的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 若函数是“型函数”， 则在实数对，使得对任意满足且的恒成立， ， 所以当时，存在实数对，所以函数是“型函数”； 假设为“型函数”， 则存在实数对，使得对任意满足且的恒成立， 所以由， 显然不是任意性，只有当时，方程才有解. 所以函数是“型函数”，不是“型函数. 【小问2详解】 ， 令， 所以存在实数对，使得成立， 所以函数是“型函数”. 【小问3详解】 因为是“型函数”， 所以. 因为是“型函数”， 所以， 所以有 ， 所以函数的周期为， 当时，， 当时，，所以， 当时，， 所以， 则当时，， 由， 二次函数的对称轴为，且开口向上， 当时，当时， 此时函数单调递增，， 要想有解，只需， 所以， 当时， 此时函数单调递减，， 要想有解，只需，显然不存在负整数使该不等式成立. 综上所述：存在整数，当时，不等式有解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2026级高一卓越班5月月考 数学试题 命题人：陈祥丽 审题人：高江涛 一、单选题 1. 已知集合，，若，则a的取值集合是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 4. 比较三个数的大小：，，（ ） A. B. C. D. 5. 医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（ ） 参考数据：，， A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 7. 已知函数，若，且 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数则方程的实数个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，，则的最小值为7 B. 当时，的最小值是4 C. 设，，且，则的最小值是 D. 当时，的最小值是3 10. 已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，使得 11. 已知函数，则以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则 C. 若，且关于x的方程有3个不等实数根，则实数m的范围为 D. 若，且存在四个不等的实数使得，则的取值范围是 三、填空题 12. 当，时，则= ____；=___. 13. 已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．则函数的单调递增区间为______ 14. 已知实数，满足，，则______. 四、解答题 15. 设集合，. （1）若，求的值及集合； （2）若为实数集，且，求实数的取值范围. 16. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 17. 某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m. （1）试用表示矩形花坛的面积； （2）若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ （3）若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 18. 设 （1）求函数的最大值. （2）当不等式在上有解时，求的取值范围. 19. 记函数的定义域为，如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”；如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”． （1）判断函数是“型函数”还是“型函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“型函数”； （3）若函数定义域为，既是“型函数”又是“型函数”，当时，，试问是否存在整数，使得当时，不等式有解？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $