湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

荆州中学2025～2026学年高一下学期5月月考 数学试题 （全卷满分150分考试用时120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.已知2i-3是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则（ ） A.4 B.13 C.12 D.5 2.一圆台的上下底面的半径分别为1和2，高为，则其侧面积为（ ） A． B． C． D． 3.下列说法正确的是（ ） A.有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台 B.直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积 C.空间中，过三点有且只有一个平面 D.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 4.已知P，Q，M，N分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，若，，则的值是（ ） A.20 B.10 C.5 D.不能确定 5.复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（ ） A. B. C. D. 6.如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A． B． C．4 D． 7.在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（ ）. A. B. C. D. 8.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.下列说法不正确的是（ ） A.与共线的单位向量是 B.在中，是为等腰或直角三角形的充要条件 C.存在唯一使是的充分不必要条件 D.在上投影向量的模为 10.已知直线l、m、a、b均不重合，平面α、β为不同平面，下列命题不正确的是（ ） A.若直线a与l所成的角等于b与l所成的角，则 B.若，，则 C.若，则 D.若，，则 11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.与垂直的单位向量的坐标是___________. 13.已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为___________. 14.如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为θ，则的取值范围是___________. 四、解答题（请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.如图，正方体中，，点分别是棱的中点. （1）根据多面体的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明； （2）求多面体的表面积和体积. 16.在三角形ABC中，角，B，的对边分别为a，，c，已知，. （1）若为锐角三角形，求其周长的取值范围； （2）若角的角平分线交于，满足，求的长. 17．如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求的余弦值． （2）以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，求点坐标； （3）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 18.如图，在正三棱柱中，为的中点，. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19.如图正方体棱长为4，，分别是，上的点，且，. （1）求直线与所成角的余弦值. （2）设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 荆州中学2025级高一下学期数学五月月考2026.5.27 CBBA CADA ABD ABC ABD 或 15.（1）几何体是三棱台，证明如下： 因为点E，F分别是棱，的中点，连接，所以， 且，因此四边形是梯形. 延长，相交于点G，因为，平面， 所以平面，又因为，平面，所以平面. 因为平面平面，所以， 所以直线，，相交于同一个点G.所以几何体是三棱锥， 由于平面平面，因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.所以几何体是三棱台. （2）因为，所以，， 在等腰梯形中，，，高， 所以. 又因为，，， 所以三棱台的表面积是. 因为三棱台的高， 所以棱台的体积. 16.（1）因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. 因为，由正弦定理得， 可得，，因为， 所以， 则， 又，则，， ，则周长的取值范围是， （2）因为，由角平分线性质定理得，即， 在三角形中，，由余弦定理得，，； 因为，所以，得， 所以 17．（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系． 则，，，，∴，． 由于就是，的夹角．∴， ∴的余弦值为． （2）设，∴，∵，∴，∴①． ∵，，，∴，②． 联立①②得，∴，∴． （3）由题得，． ①当点P在上时，设（），∴， ∴，∴，∴，∴． ②当P在上时，设，（），∴，∴，∴舍． 综上，存在，． 18.（1）在等边中，因为D为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，，则，， ，，所以，可得， 因，，平面，故平面. （3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 19.（1）过点E作交于M，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）（i）三棱锥的体积不是定值. 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面，则平面，而，，平面，则平面平面，又平面，因此平面，取中点，连接， 显然M为的中点，则，又与平面交于点， 于是与平面相交，两者矛盾，假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值，由图，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，F到平面的距离最小，则当G与F重合时，三棱锥的体积最小， 且，所以三棱锥体积的最小值为 （ii）由，且平面，则平面，同理平面， 而，，平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设E，F到平面的距离分别为，，则. 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $