湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

荆州中学2025～2026学年高一下学期5月月考数学试题 （全卷满分150分考试用时120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则（ ） A. 4 B. 13 C. 12 D. 5 2. 一圆台的上下底面的半径分别为1和2，高为，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台 B. 直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积 C. 空间中，过三点有且只有一个平面 D. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 4. 已知P，Q，M，N分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，若，，则的值是（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 不能确定 5. 复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 7. 在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（ ）. A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 与共线的单位向量是 B. 在中，是为等腰或直角三角形的充要条件 C. 存在唯一使是的充分不必要条件 D. 在上投影向量的模为 10. 已知直线l、m、a、b均不重合，平面α、β为不同平面，下列命题为假命题的有（ ） A. 若直线a与l所成的角等于b与l所成的角，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 的最小值为 D. 点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 与垂直的单位向量的坐标是_____． 13. 已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为________. 14. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是_______． 四、解答题（请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，正方体中，，点分别是棱的中点. （1）根据多面体的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明； （2）求多面体的表面积和体积. 16. 在中，角的对边分别为，已知，． （1）若为锐角三角形，求其周长的取值范围； （2）若角的角平分线交于，满足，求的长． 17. 如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求的余弦值． （2）以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，求点坐标； （3）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 18. 如图，在正三棱柱中，为的中点，. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. （1）求直线与所成角的余弦值. （2）设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 荆州中学2025～2026学年高一下学期5月月考数学试题 （全卷满分150分考试用时120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题（每小题6分，共18分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】或 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） 几何体是三棱台，证明如下： 因为点分别是棱的中点，连接，所以， 且，因此四边形是梯形. 延长相交于点，因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面. 因为平面平面，所以， 所以直线相交于同一个点. 所以几何体是三棱锥， 由于平面平面，因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.所以几何体是三棱台. （2）表面积为，体积为 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）存在， 【18题答案】 【答案】（1） 在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2） 由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，所以，可得， 因平面，故平面. （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）不是，体积最小值为；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $