精品解析：四川绵阳南山中学实验学校2026届高三下学期考前自测数学试题

绵阳南山中学实验学校高2023级高三高考冲刺试题（三） 数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 所以. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 复数的分子分母同乘进行化简，得. ∴ 该复数对应的点的坐标为. 3. 5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】应用捆绑法计算求解. 【详解】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为. 由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：. 4. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ， ， 故“”是“”的必要条件， 当，假设时，， 此时，则， 故“”是“”的不充分条件， 综上： “”是“”的必要不充分条件． 5. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用抛物线得到焦点坐标，再通过抛物线的定义得到点的横坐标，进而求出纵坐标，最后利用三角形的面积公式算出答案 【详解】由可得焦点坐标为， 所以，所以代入抛物线可得， 因此的面积为. 6. 有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率为（ ） A. 0.0545 B. 0.0535 C. 0.0515 D. 0.0525 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件，根据全概率公式求解. 【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工分别为事件A，B，C， 该零件为次品为事件D，则，，， 故，． 任取一个零件是次品的概率． 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和的正切公式可得， 根据齐次式问题运算求解； 【详解】因为，所以， 所以. 8. 设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数的运算性质易得时，进而根据偶函数的性质和函数在上的单调性，将不等式很成立问题转化对任意的恒成立，若，易于得出矛盾，在时利用不等式恒成立的意义不难求得的最大值. 【详解】当时， 若对任意的，均有即为， 由于,当时，为单调递增函数， 又∵函数为偶函数， ∴等价于，即（∵）, 由区间的定义可知,若，于是,即， 由于的最大值为，故显然不可能恒成立； ,即,∴,即, 故的最大值为, 故选：B. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及指数函数，函数的奇偶性，分类讨论思想，关键是时，化归为，再利用偶函数和单调性转化为对任意的恒成立，注意对的符号的分类讨论. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用辅助角公式求得，然后利用余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】， 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，的最大值为，故B正确； 对于C，当时，，又不关于对称，故C错误； 对于D，当时，，又在单调递减，单调递增，所以在区间上不单调，故D错误. 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 三棱锥的外接球表面积为 C. 的面积的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，求出圆锥高，底面圆半径，利用体积公式计算判断A，求出圆锥外接球的半径，根据球的表面积公式计算判断B，利用三角形面积公式判断C，根据棱锥的体积公式判断D. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，所以， 在直角三角形中，可得， 所以圆锥的体积为，故A正确； 延长交球面于点，连接， 如图， 作出符合题意的图形， 则球心在PQ上，且为球的直径，所以，所以，即， 所以三棱锥的外接球表面积为，故B正确； 设，由题意可知，， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 设到的距离为，因为C在底面圆周上，所以, 所以， 当时，即时等号成立，故D正确. 故选：ABD． 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，斜率为k的直线过点与双曲线的右支交于两点，与y轴交于点A，M为C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的周长为20 B. k的取值范围是 C. 若，则 D. 当时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线的定义可判断A；取，可判断B；设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理及已知条件，求出的值，即可得的值，从而判断C；设，将表示成关于的二次函数，根据二次函数的性质，即可判断D. 【详解】设双曲线的焦距为， 因为实半轴长为，虚半轴长为， 则， 所以， 所以. 对于A，若， 则的周长为，所以A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为. 当直线的斜率为时，直线与渐近线平行， 此时直线与双曲线有且只有一个交点，不合题意，所以B不正确. 对于C，设直线的方程为，联立双曲线的方程， 得. . ①；②， 又，所以③ 联立①②③解得， 所以，所以C正确； 对于D，易知，设，则； 所以； 当时，最小，最小值为，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】， 又，为单位向量， 故，解得， 又， 所以. 13. 函数的定义域和值域都为，则实数a的值为______. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意可知，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减，又， 所以要使函数的定义域和值域都为， 只需，解得：. 14. 在△ABC中，已知M、N分别是AC、BC的中点，且，则______；若△ABC的面积为3，则AB的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，角A，B，C的对边分别为a，b，c，通过已知条件得，再通过正弦定理即可求出的值；过A作AH垂直于BC与，通过△ABC的面积为3得到，再把代入即可求出. 【详解】设，角A，B，C的对边分别为a，b，c 因为M、N分别是AC、BC的中点，所以，又； 所以，化简得：，即（C为锐角） 由正弦定理可得：，又， 所以，所以，即； 如图，过A作AH垂直于BC于H. 因为，所以 ，则； 又△ABC的面积为3，所以； 所以，即，所以AB的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年世界人工智能大会于2025年7月26日至28日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”.某企业的AI产品销售部门统计了1～5月份的销售量（单位：万件）： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y 3 5 6 9 12 （1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）该企业科研部门从1月份与4月份的客户中分别随机抽取2位客户和6位客户进行电话回访，科研部门的工作人员甲从这8位客户中随机抽取2位进行回访，记甲回访客户中1月份的客户人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法可求回归直线方程； （2）根据超几何分布可求的分布列，再根据期望公式可求数学期望. 【小问1详解】 ，，， ， ， 故y关于x的经验回归方程为 . 【小问2详解】 X的取值可能为， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 则. 16. 已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，． （1）求数列和数列的通项公式； （2）数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列和等差数列通项公式可求答案； （2）列举部分项，得出数列的前30项的组成，利用求和公式可得答案. 【小问1详解】 因为数列为等比数列，且， 所以. 又因为，所以， 又，则， 故等差数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，， 所以， 而. 因为在数列前30项内，不在数列前30项内， 即为的前30项，其集合为 则数列前30项和为：=1203. 17. 已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． （1）求椭圆C和圆M的标准方程； （2）设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 【答案】（1）椭圆C的标准方程为，圆M的标准方程为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的离心率及点的坐标求出即可得椭圆C标准方程，再写出圆M的标准方程. （2）利用点差法及向量垂直的坐标表示求出. 【小问1详解】 由椭圆的离心率，得，则， 由点在椭圆C上，得，联立解得，， 所以椭圆C的标准方程为；圆M的标准方程为. 【小问2详解】 设，中点， 由在椭圆上，得， 则， 又，于是， 而，由，得， 由在圆M上，得，联立解得，， 由，得点在椭圆内，即存在满足条件的点N， 当点时，，不符合题意，当点时，，符合题意， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，点分别在棱上，且. （1）在图中作出平面与平面的交线，并写出作图过程； （2）证明：平面； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先作直线与平面的公共点，同理作出直线与平面的公共点，进而可得两平面的交线； （2）以为基底向量，通过向量的加减法运算可得，所以向量与向量共面，再由平面可得线面平行. （3）建立空间直角坐标系，用向量的方法求平面与平面的夹角余弦值可得. 【小问1详解】 作图过程：①延长，交的延长线于点；②延长，交的延长线于点；③连接. 则直线即平面与平面的交线.如图： 【小问2详解】 由题意，，因此， 设，则， 所以，. 又因为， 而，， 因此，即，而向量不共线， 所以向量与向量共面，且平面，故平面. 【小问3详解】 因为， 所以点在底面的投影为菱形的外接圆圆心，且， 所以底面为边长为的正方形，，. 故分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 所以， ， . 设平面的法向量为， 则，得，令，得，. 设平面的法向量为，， 则，得，令，则，. 设平面与平面夹角为， . 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知为坐标原点，点的坐标为，以为圆心的单位圆的上半部分（含端点）记为曲线是上异于的任意一点.设，弦的长与的长的比值记为. （1）求的最小值； （2）令，讨论的零点个数； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导数，再根据导函数正负得出单调性进而得出最值； （2）先把零点转化为直线与函数的图象的交点，再求出导函数得出函数最值判断零点个数； （3）先移项构造函数，再求出导函数得出函数单调性，最后分，及计算求解参数. 【小问1详解】 由题意可得. 令， 则当时，，从而在上单调递减. 于是，进而可得在上单调递减. 因此在区间的最小值为. 【小问2详解】 ， 函数的零点个数等于直线与函数的图象的交点个数. 设. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又当时，， 所以当时，直线与函数的图象无交点，函数无零点； 同理，当，或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. 【小问3详解】 由题意，， 不等式  可化为 ， 即  由已知不等式恒成立， 可化为恒成立， 令. 又设，当时，. 设，则当时，. 所以在上单调递增，. 所以当时，在上单调递增. ①当时，对于，有， 即，所以在上单调递增.因此，时，恒成立，符合题意. ②当时，对于，有， 即，所以在上单调递减.因此，时，，不符合题意. ③当时，因为，所以存在，使得. 当时，，即，所以在上单调递减.因此，当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学实验学校高2023级高三高考冲刺试题（三） 数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 4. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率为（ ） A. 0.0545 B. 0.0535 C. 0.0515 D. 0.0525 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递减 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 三棱锥的外接球表面积为 C. 的面积的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为1 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，斜率为k的直线过点与双曲线的右支交于两点，与y轴交于点A，M为C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的周长为20 B. k的取值范围是 C. 若，则 D. 当时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则______. 13. 函数的定义域和值域都为，则实数a的值为______. 14. 在△ABC中，已知M、N分别是AC、BC的中点，且，则______；若△ABC的面积为3，则AB的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年世界人工智能大会于2025年7月26日至28日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”.某企业的AI产品销售部门统计了1～5月份的销售量（单位：万件）： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y 3 5 6 9 12 （1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）该企业科研部门从1月份与4月份的客户中分别随机抽取2位客户和6位客户进行电话回访，科研部门的工作人员甲从这8位客户中随机抽取2位进行回访，记甲回访客户中1月份的客户人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，. 16. 已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，． （1）求数列和数列的通项公式； （2）数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和. 17. 已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． （1）求椭圆C和圆M的标准方程； （2）设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，点分别在棱上，且. （1）在图中作出平面与平面的交线，并写出作图过程； （2）证明：平面； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知为坐标原点，点的坐标为，以为圆心的单位圆的上半部分（含端点）记为曲线是上异于的任意一点.设，弦的长与的长的比值记为. （1）求的最小值； （2）令，讨论的零点个数； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $