精品解析：四川绵阳南山中学实验学校2026年高三下学期数学周练试卷（三）

绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（三） 数 学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4． 考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. -10 C. 40 D. -40 3. 某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的平均数为8 B. 这组数据的众数为7 C. 这组数据的极差为4 D. 这组数据的第80百分位数为9 4. 在中，若的面积，则（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线的两条渐近线夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，均不为0，以下等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 三棱锥的体积为 C. 圆柱的外接球的表面积为 D. 平面 11. 已知为抛物线的焦点，为的准线与轴的交点，点在抛物线上（不与原点重合），设，则下列结论正确的是（ ） A. 以为直径的圆与轴相切 B. 的最大值为 C. D. 存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为______. 13. 若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是_____. 14. 在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于，两点，的中点为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足公差． （1）求； （2）记数列的前项和为，若，求数列中的最小项． 16. 如图，在三棱台中，平面，． （1）证明：． （2）为的中点，是上一点，若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． （1）若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． （2）若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． （3）已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 18. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 19. 已知函数，． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点； （3）在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（三） 数 学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4． 考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由命题的否定的概念选择即可. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题的否定为“，”. 故选：A． 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. -10 C. 40 D. -40 【答案】D 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】通项公式， 令，得，所以的系数为， 故选：D 3. 某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的平均数为8 B. 这组数据的众数为7 C. 这组数据的极差为4 D. 这组数据的第80百分位数为9 【答案】D 【解析】 【分析】利用众数、中位数、极差、百分位数的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果. 【详解】这组数据的平均数为，故A正确； 这组数据的众数为7，故B正确； 这组数据的极差为，故C正确； 将这组数据按照从小到大的顺序排列为， 因为， 所以这组数据的第80百分位数为，故D错误. 故选：D. 4. 在中，若的面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出，代入求解. 【详解】由，得， 又由余弦定理， 所以， 所以， 故选：D. 5. 双曲线的两条渐近线夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求渐近线的斜率，再代入两直线的夹角公式，即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，所以两条渐近线的斜率， 记所求角为，则. 故选：B 6. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取为空间向量基底，用空间向量求异面直线的夹角的余弦. 【详解】以为空间向量基底，不妨设， 则，. 又，， ，， 所以 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦为. 故选：B 7. 若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合参数讨论，即可判断最小值，从而可求参数范围. 【详解】当时，单调递增，所以， 当时，， 显然当时，在上单调递增， 因此有， 此时函数没有最小值，不合题意； 当时，函数，存在最小值，符合题意； 当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值， 则只需要. 综上可得：实数a的取值范围为， 故选：B 8. 已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求导，确定函数的单调区间，和极值，进而可求解. 【详解】由，求导可得：， 由，得或，由，得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，极大值为4， 即当时，， 又当时，极小值为0，当时，， 且函数在单调递减，在单调递增， 即当时，，当时，， 综上可知不等式的解集为， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，均不为0，以下等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由共轭复数定义和模长公式即可逐项分析计算求解判断； 【详解】设，则， 所以，所以，故A正确； ，， 所以，所以，故B正确； 左边，右边，所以，故C正确； ， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以，故D不正确， 故选：ABC. 10. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 三棱锥的体积为 C. 圆柱的外接球的表面积为 D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入圆柱侧面积的公式，判断A，将三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积，判断B，首先确定是圆柱外接球的直径，根据勾股定理求半径，再代入球的表面积公式，判断C，构造平行四边形，得到线线平行，再结合线面平行的判断定理，即可判断D. 【详解】对于A，圆柱的侧面积，故A错误； 对于B，由题意得，且 所以，故B正确； 对于C，取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为，故C正确； 对于D，取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面，故D正确． 故选：BCD． ， 11. 已知为抛物线的焦点，为的准线与轴的交点，点在抛物线上（不与原点重合），设，则下列结论正确的是（ ） A. 以为直径的圆与轴相切 B. 的最大值为 C. D. 存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，利用抛物线定义求出半径判断选项A；利用基本不等式计算判断选项B；求出，从而判断选项C；利用三角形内角和为，结合已知条件求出，再利用零点存在定理得出结论，判断选项D． 【详解】 抛物线的焦点为，准线，故点， 设点， 选项A：以为直径的圆，圆心为，半径为， 由抛物线定义可知，，即半径为， 圆心纵坐标与半径相等，故圆与轴相切，故A正确； 选项B：，在中，， 令，则， 由基本不等式，当且仅当，即时等号成立， 所以，又，故，最大值为，故B错误； 选项C：，则，， ，，故C正确； 选项D：在中，，若，则， ，， ， 令， ， ， 根据零点存在定理，在内函数从正变负，必存在零点， 存在点，使得，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算律及投影向量的意义求解. 【详解】由，得，而向量是单位向量，则， 由，得，所以在上的投影向量为. 故答案为： 13. 若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过当和两类情况讨论，结合对数函数、正切函数的单调性即可求解. 【详解】当时，对任意，，此时，舍去； 当，此时在单调递减， 在单调递增，且， 若满足不等式对任意均成立， 需满足， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于，两点，的中点为，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，求得线段的最大值； 【详解】直线：过定点， 因为为中点，所以，即， 所以点在为直径的圆上， 即点轨迹方程为圆：． 所以， 当点，，共线时取等，故的最大值为． 故答案为：. 【点睛】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足公差． （1）求； （2）记数列的前项和为，若，求数列中的最小项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出数列的首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）先求出，进而可求出数列的通项，再根据函数性质即可得解. 【小问1详解】 为等差数列， ， 又， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， 当时，， 当时，， 所以当时，最小， 即数列中的最小项为． 16. 如图，在三棱台中，平面，． （1）证明：． （2）为的中点，是上一点，若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直判定定理得到平面，所以．再结合得到． （2）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法公式即可求得正弦值. 【小问1详解】 ∵平面，平面，∴， ∵，平面， ∴平面， 因为平面，∴， ∵，∴； 【小问2详解】 由（1）可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 所以，， 设，， 则，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 由题意，即，令，则， 又，解得，所以． 设直线与平面所成的角为， 则． 17. 某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． （1）若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． （2）若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． （3）已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 【答案】（1）0.028. （2）0.7224. （3）该工厂不会停止生产该零件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连续检测3次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，再结合二项分布的概率公式，即可求解； （2）通过由全概率公式得出即可； （3）的所有可能取值为，60，，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【小问1详解】 设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中， “合格”的次数不低于2才能被误判为合格品， 所以， 所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028. 【小问2详解】 设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件， 被检测的零件最终被判定为合格品是事件， 则． 由（1）知，又因为，， 所以由全概率公式得 ， 故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224. 【小问3详解】 的所有可能取值为，60，． ， ， ， 则． 因为，所以该工厂不会停止生产该零件． 18. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程. （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到，再由斜率公式计算可得； ②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【小问1详解】 由，， 所以点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为， 焦距为，则，， 所以， 所以C的方程为. 【小问2详解】 ①由，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以， 又因为，所以，， 所以， . ②由①可知，，所以， 作关于轴的对称点，则，，三点共线， 又，，设， 则直线方程即为直线方程， 又直线方程为， 作差可得， 所以， 所以，， 又，得出， 又因为， 所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动， 所以. 19. 已知函数，． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点； （3）在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导判断函数在上单调性，结合求解不等式； （2）分和讨论，利用导数判断单调性进而判断零点个数； （3）由（2）知，，，在上单调递增，利用分析法要证，只要证，即证，结合，即证，构造函数，利用导数证明. 【小问1详解】 由题知的定义域为，且， 若，则,又,故恒成立，在上单调递增， 又，故不等式的解集为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递增，没有极值点； 当时，，由函数，（）的图象知， 当时，存在唯一的，使， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故只有1个极值点， 因为，且，故1是在区间上唯一的零点，且， 又时，，故存在唯一的，使得， 所以有两个零点. 【小问3详解】 由（2）知，，，， 当时，，时，， 又在上单调递增， 要证，只要证，即证， 由，得，即要证， 因为，则，所以只需证，（*） 设（），则，令， 则，显然在上单调递增，且， 所以在上恒成立，故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 所以在上单调递增，又，故， 故，得到，即（*）式成立， 故，从而，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $