第二章　2.3　函数的奇偶性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数奇偶性专题，覆盖定义辨析、图象特征、性质应用等核心考点，对接高考评价体系，梳理出奇偶性判断、解析式求解、不等式求解等常考题型，融入2023全国乙卷、2022全国乙卷等真题实例，明确定义理解占30%、性质应用占50%的考点权重，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题训练+微点警示+思维提升”，如以2025广西名校调研奇偶性不等式题为例，运用数学思维分析偶函数单调性与绝对值转化的逻辑关系，培养推理能力。微点提醒中强调定义域对称、f(0)=0等易误点，结合分段函数奇偶性判断实例，帮助学生用数学语言规范表达解题过程。教师可通过课时精练精准定位学生薄弱环节，助力高效备考。

函数的奇偶性 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0.(　　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　　) (3)对于函数y=f(x)，若f(-2)=-f(2)，则函数y=f(x)是奇函数.(　　) (4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)是奇函数.(　　) 自主诊断 × × × √ 2.下列函数中是偶函数的是 A.f(x)=x+1　　　 B.f(x)= C.f(x)=()2　　　 D.f(x)=sin x √ 解析　对于A，f(x)=x+1的定义域为R，且f(-x)=-x+1，所以f(-x)≠f(x)，f(-x) ≠-f(x)，故f(x)=x+1为非奇非偶函数； 对于B，f(x)=的定义域为{x|x≠0}，且f(-x)===f(x)，故f(x)=为偶函数； 对于C，f(x)=()2的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，故f(x)=()2为非奇非偶函数； 对于D，f(x)=sin x的定义域为全体实数，且f(-x)=sin(-x)=-sin x≠f(x)，故f(x)=sin x不为偶函数. 3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是 A.f(x)+f(-x)=0 B.f(0)=0 C.f(x)·f(-x)≤0 D.=-1 √ √ √ 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)+f(-x)=0，且f(0)=0，A，B正确； 因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0，当x=0时，等号成立，C正确； 当x=0时，f(-x)=0，此时无意义，D错误. 4.(2025·湛江期末)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x-，则f(2)=　　　.  解析　因为f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x-， 则f(-2)=2×(-2)-=-4-9=-13，故f(2)=-f(-2)=13. 13 1.理解函数奇偶性的常用结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0. ②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 微点提醒 2.灵活应用奇函数的两个特殊性质 (1)若f(x)为奇函数，则f(x)+f(-x)=0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min+f(x)max=0. (2)若F(x)=f(x)+c，f(x)为奇函数，则F(-x)+F(x)=2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min+F(x)max=2c. 微点提醒 3.谨防两个易误点 (1)求奇函数的解析式时，忽略x=0会造成解析式缺失，特别地，奇函数要么在x=0处没有定义，要么在x=0处的函数值为0，即f(0)=0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件. 微点提醒 返回 探究核心题型 例1　(1)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)=+； 题型一　函数奇偶性的判断 解　由得x2=3，解得x=±， 即函数f(x)的定义域为{-，}， 从而f(x)=+=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 例1　(1)判断下列函数的奇偶性： ②f(x)=ex+e-x； 解　显然函数f(x)的定义域为R，f(-x)=e-x+ex=f(x)，∴函数f(x)为偶函数. 例1　(1)判断下列函数的奇偶性： ③f(x)= 解　显然函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称. ∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)； 当x>0时，-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)，∴函数f(x)为奇函数. 例1　(1)判断下列函数的奇偶性： ④f(x)=log2(x+). 解　∵x2+1>x2，∴+x>0恒成立， 即f(x)的定义域为R， f(-x)=log2[-x+] =log2(-x)=log2(+x)-1 =-log2(+x)=-f(x)， 故f(x)为奇函数. (2)(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有 A.函数f(-|x|)是奇函数 B.若恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)为奇函数 C.若恒有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)为偶函数 D.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)，且f(0)≠1，则y=f(x)为奇函数 √ √ √ 解析　对于A，令g(x)=f(-|x|)，则g(x)的定义域为R， 又g(-x)=f(-|-x|)=f(-|x|)=g(x)，所以g(x)为偶函数，故A错误； 对于B，令x=y=0，有f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0， 令y=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)， 即f(-x)+f(x)=0，所以f(x)为奇函数，B正确； 对于C，令y=-1，有f(-x)=f(x)+f(-1)， 令x=y=1，有f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0， 令x=y=-1，所以f(1)=f(-1)+f(-1)⇒f(-1)=0， 所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，C正确； 解析　对于D，在2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得2[f(0)]2=2f(0)， 因为f(0)≠1，所以f(0)=0，令y=-x，得2f(0)f(2x)=f(x)+f(-x)，即0=f(x)+f(-x)， 所以f(x)是奇函数，故D正确. 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0 (偶函数))是否成立. 思维升华 跟踪训练1　(1)(2024·天津)下列函数是偶函数的是 A.f(x)=　　　 B.f(x)= C.f(x)=　　　 D.f(x)= √ 解析　对于A，函数定义域为R， f(-x)==≠f(x)， 故f(x)不是偶函数，故A错误； 对于B，函数定义域为R， f(-x)===f(x)， 故f(x)为偶函数，故B正确； 对于C，函数定义域为{x|x≠-1}， 不关于原点对称， 故f(x)不是偶函数，故C错误； 解析　对于D，函数定义域为R， f(-x)== =-=-f(x)， 故f(x)不是偶函数，故D错误. (2)若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是 A.f(x)为奇函数　　　 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数　　　 D.f(x)+1为偶函数 √ 解析　令x1=x2=0，则f(0)=f(0)+f(0)+1，所以f(0)=-1，则f(x)不为奇函数，故A错误； 令x1=x，x2=-x， 则f(0)=f(x)+f(-x)+1， 所以f(x)+1+f(-x)+1=0， 即f(x)+1=-[f(-x)+1]，所以f(x)+1为奇函数，故B，D错误，C正确. 例2　(1)(人教A版必修第一册P86习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)，则函数的解析式为 　　　　　 　　　　　.  题型二　函数的奇偶性的应用 命题点1　利用奇偶性求解析式 f(x)= 解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x). 因为当x≥0时，f(x)=x(1+x)， 所以当x<0时，-x>0， 所以f(-x)=(-x)(1-x)=-x(1-x)， 所以f(x)=-f(-x)=x(1-x). 所以f(x)= (2)已知定义域为R的函数f(x)和g(x)，函数f(x)的图象关于原点对称，函数g(x)满足g(x)-g(-x)=0，若f(x)+g(x)=2x+x3-1，则f(1)与g(-2)的大小关系为 A.f(1)>g(-2)　　　 B.f(1)<g(-2) C.f(1)=g(-2)　　　 D.不确定 √ 解析　由函数f(x)的图象关于原点对称，得f(x)+f(-x)=0， 又g(x)-g(-x)=0，f(x)+g(x)=2x+x3-1， ① 则f(-x)+g(-x)=2-x-x3-1， 即-f(x)+g(x)=2-x-x3-1， ② 由①②得f(x)=， g(x)=， 因此f(1)=，g(-2)=， 所以f(1)>g(-2). 例3　(1)(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则a等于 A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2 命题点2　利用奇偶性求值 √ 解析　方法一　因为f(x)=为偶函数， 则f(x)-f(-x)=- ==0， 又因为x≠0，可得ex-e(a-1)x=0， 即ex=e(a-1)x， 则x=(a-1)x，即1=a-1，解得a=2. 解析　方法二　因为f(x)为偶函数，所以f(-1)=f(1)， 所以=， 即=， 所以a-1=1，所以a=2. 经检验，符合题意. (2)(人教B版必修第一册P115练习BT2改编)已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2) =10，则f(2)=　　　.  -26 解析　方法一　令g(x)=x5+ax3+bx， 易知g(x)是R上的奇函数，从而g(-2)=-g(2)，又f(x)=g(x)-8， ∴f(-2)=g(-2)-8=10， ∴g(-2)=18， ∴g(2)=-g(-2)=-18， ∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 解析　方法二　由已知条件，得 ①+②得f(2)+f(-2)=-16. 又f(-2)=10，∴f(2)=-26. 例4　(2025·广西名校调研)设函数f(x)=ln(1+x4)-，则不等式f(2x)>f(x+1)的解集为 A. B.∪(1，+∞) C. D.∪ 命题点3　利用奇偶性解不等式 √ 解析　函数f(x)=ln(1+x4)-的定义域为R，且f(-x)=ln(1+x4)-=f(x)，即f(x)为偶函数， 当x>0时，y=ln(1+x4)与y=-均单调递增， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减，则不等式f(2x)>f(x+1)等价于|2x|>|x+1|， 即(2x)2>(x+1)2，解得x>1或x<-， 即不等式f(2x)>f(x+1)的解集为∪(1，+∞). (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 思维升华 跟踪训练2　(1)若函数f(x)=(x2+ax)lg为奇函数，则a的值为 A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2 √ 解析　令>0，解得-2<x<2，可知函数f(x)的定义域为(-2，2)， 若函数f(x)为奇函数，则f(1)+f(-1)=0， 可得(1+a)lg 3+(1-a)lg=2a·lg 3=0，即a=0，则f(x)=x2lg， 可得f(x)+f(-x)=x2lg+(-x)2lg=x2=0， 即f(x)=-f(-x)，可知函数f(x)为奇函数， 所以a=0. (2)(2025·湖北联考)定义在R上的奇函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有<0，f(3)=0，则满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为 A.(-∞，-3)∪(3，+∞) B.(-3，0)∪(3，+∞) C.(-∞，-3)∪(0，3) D.(-3，0)∪(0，3) √ 解析　因为∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有<0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，又f(3)=0，所以f(-3)=-f(3)=0， 所以当x<-3或0<x<3时，f(x)>0，当-3<x<0或x>3时，f(x)<0， 不等式xf(x)>0，即或 解得0<x<3或-3<x<0， 所以满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为(-3，0)∪(0，3). 返回 课时精练 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C C B D AD ABD 题号 9 10 13 14 答案 -10 (-2，0)∪(2，+∞) (1，2] 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. (1)因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3， 当x=0时，f(0)=0； 当x<0时，-x>0， 所以f(x)=-f(-x)=-3-x+3， 综上，f(x)= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. (2)函数f(x)的图象如图所示， 所以-2<2a+3<2且2a+3≠0， 解得-<a<-或-<a<-， 故实数a的取值范围是∪. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. (1)由性质③f(x)+g(x)=ex， 则f(-x)+g(-x)=e-x， 由性质②知f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，故-f(x)+g(x)=e-x. 则 解得f(x)=，g(x)=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. (2)由(1)可得[g(x)]2-[f(x)]2 =- =-=1， 故对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2为定值，定值为1. 一、单项选择题 1.(2025·北京模拟)下列函数中，既是奇函数又在区间(-∞，+∞)上单调递增的是 A.f(x)=-x3　　　 B.f(x)=2x C.f(x)=ex-e-x　　　 D.f(x)=lg x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于A，显然函数f(x)=-x3为奇函数，且在(-∞，+∞)上单调递减，故A不符合题意； 对于B，f(-x)=2-x，显然函数f(x)是非奇非偶函数，故B不符合题意； 对于C，由函数f(x)=ex-e-x的定义域为R，f(-x)=e-x-ex=-f(x)，则函数f(x)是奇函数，由函数y=ex在R上单调递增，函数y=-e-x在R上单调递增，则函数f(x)在R上单调递增，故C符合题意； 对于D，由函数f(x)=lg x的定义域为(0，+∞)，则函数f(x)是非奇非偶函数，故D不符合题意. 2.(2026·柳州模拟)设偶函数f(x)的定义域为R，在区间[0，4]上单调递减，则 A.f(π)<f(-3)<f(-2) B.f(π)<f(-2)<f(-3) C.f(-2)<f(-3)<f(π) D.f(-3)<f(-2)<f(π) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为f(x)为偶函数， 则f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)， 又因为f(x)在区间[0，4]上单调递减， 0<2<3<π<4， 则f(2)>f(3)>f(π)， 即f(π)<f(-3)<f(-2). 3.(2025·赤峰模拟)若函数f(x)=a-是奇函数，则实数a的值为 A.　　　B.1　　　C.　　　D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为函数f(x)=a-是奇函数，定义域为R， 所以f(0)=a-=a-=0，解得a=， 当a=时，f(x)=-=， f(-x)===-f(x)， 所以函数f(x)=-是奇函数，则a=. 4.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=x3-sin x+2在[-2，2]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于 A.8　　　B.0　　　C.4　　　D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　设g(x)=x3-sin x，易知定义域为R，又g(-x)=(-x)3-sin(-x)=-x3+sin x=-g(x)，故函数g(x)为奇函数， 所以当x∈[-2，2]时，g(x)max+g(x)min=0， 又f(x)=g(x)+2，所以M+m=f(x)max+f(x)min=[g(x)max+2]+[g(x)min+2]=4. 5.(2021·全国乙卷)设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是 A.f(x-1)-1　　　 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1　　　 D.f(x+1)+1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法一　因为f(x)=，所以f(x-1)==，f(x+1)==. 对于A，令F(x)=f(x-1)-1=-1=，定义域关于原点对称，但不满足F(x)=-F(-x)，即f(x-1)-1不是奇函数； 对于B，令G(x)=f(x-1)+1=+1=，定义域关于原点对称，且满足G(x)=-G(-x)，即f(x-1)+1是奇函数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于C，f(x+1)-1=-1==-，定义域不关于原点对称，即f(x+1)-1为非奇非偶函数； 对于D，f(x+1)+1=+1==，定义域不关于原点对称，即f(x+1)+1为非奇非偶函数. 方法二　f(x)===-1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y=f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y=f(x-1)+1. 6.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(ln 3)的值为 A.　　　B.3　　　C.　　　D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为函数y=f(x)+ex为偶函数， 则f(-x)+e-x=f(x)+ex， 即f(x)-f(-x)=e-x-ex， ① 又因为函数y=f(x)-3ex为奇函数， 则f(-x)-3e-x=-f(x)+3ex， 即f(x)+f(-x)=3ex+3e-x， ② 联立①②可得f(x)=ex+2e-x， 所以f(ln 3)=eln 3+2e-ln 3=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 二、多项选择题 7.(2025·毕节模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，则 A.f(x)g(x)是奇函数　　　 B.f(g(x))是奇函数 C.f(x)-g(x)是奇函数　　　 D.g(f(x))是偶函数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)； g(x)是定义在R上的偶函数，所以g(-x)=g(x)， 则f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，故A正确； f(g(-x))=f(g(x))，所以f(g(x))为偶函数，故B错误； f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)，则f(x)-g(x)为非奇非偶函数，故C错误； g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x))，故g(f(x))为偶函数，故D正确. 8.(2025·湖北重点学校开学联考)已知函数f(x)的定义域为R，∀x，y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)，则 A.f(0)=0 B.xf+f(x)=2(x≠0) C.f(x)为减函数 D.f(x)为奇函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为∀x，y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)， 令x=y=1，可得f(1)+1=f(1)+f(1)，则f(1)=1， 令x=y=-1，可得f(1)+1=-f(-1)-f(-1)，则f(-1)=-1. 对于A，令x=y=0，可得f(0)=0，所以A正确； 对于B，令y=(x≠0)，可得f(1)+1=xf+f(x)=2，所以B正确； 对于C，因为f(-1)=-1，f(1)=1，所以f(x)不可能为R上的减函数，故C错误； 对于D，函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称， 令y=-1，可得f(-x)-x=xf(-1)-f(x)， 所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 三、填空题 9.(2026·绵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x +m，则f(-3)=　　 　.  解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=20+m=0， 解得m=-1，则当x≥0时，f(x)=2x+x-1， 故f(-3)=-f(3)=-10. -10 10.若函数f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，又f(-2)=0，则xf(x)>0的解集为　　　　 　　　.  (-2，0)∪(2，+∞) 解析　因为函数f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，f(-2)=0， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，f(2)=f(-2)=0， 则xf(x)>0可化为或 所以或 即x>2或-2<x<0， 所以原不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 四、解答题 11.(2025·湖南省名校联盟开学考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3. (1)求函数f(x)的解析式； 解　因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3， 当x=0时，f(0)=0； 当x<0时，-x>0， 所以f(x)=-f(-x)=-3-x+3， 综上，f(x)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11.(2025·湖南省名校联盟开学考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3. (2)若关于x的方程f(x)=2a+3恰有两个实数根，求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解　函数f(x)的图象如图所示， 所以-2<2a+3<2且2a+3≠0， 解得-<a<-或-<a<-， 故实数a的取值范围是∪. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数). (1)求函数f(x)和g(x)的解析式； 解　由性质③f(x)+g(x)=ex， 则f(-x)+g(-x)=e-x， 由性质②知f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，故-f(x)+g(x)=e-x. 则 解得f(x)=，g(x)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数). (2)对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 解　由(1)可得[g(x)]2-[f(x)]2 =- =-=1， 故对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2为定值，定值为1. 13.(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=的定义域为[-4，4]，且满足f(m2)+ f(m-2)>0，则实数m的取值范围是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 能力拓展 (1，2] 解析　因为f(-x)===-f(x)，所以f(x)为奇函数， 又因为f(x)==1-， 所以f(x)为[-4，4]上的增函数. 因为f(m2)+f(m-2)>0，f(x)为奇函数， 所以f(m2)>-f(m-2)=f(2-m)， 又f(x)为[-4，4]上的增函数，所以 解得1<m≤2， 所以实数m的取值范围为(1，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 14.(2022·全国乙卷)若f(x)=ln+b是奇函数，则a=　　，b=　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 - ln 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　f(x)=ln+b=ln+ln eb=ln. ∵f(x)为奇函数， ∴f(-x)+f(x) =ln=0， ∴=|1-x2|. 当(a+1)2e2b-a2e2bx2=1-x2时， [(a+1)2e2b-1]+(1-a2e2b)x2=0对任意的x恒成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　则解得 当(a+1)2e2b-a2e2bx2=x2-1时， [(a+1)2e2b+1]-(a2e2b+1)x2=0对任意的x恒成立， 则无解. 综上，a=-，b=ln 2. 返回 $