18.1.2 矩形的判定 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 以矩形判定定理和直角三角形中线性质为核心，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到逻辑推理再到创新应用的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|矩形定义、判定定理及直角三角形中线性质|填空题直接考查概念，选择题辨析判定条件，培养抽象能力与几何直观| |综合应用|矩形判定与平行四边形性质综合|解答题结合图形变换证明矩形，如第5题利用对角线关系求证，发展推理能力| |拓展探究|实际情境与易错点分析|游戏路径最小值问题（第10题）体现应用意识，作图题（第9题）强化空间观念，培养创新意识|

18.1.2矩形的判定 1．有一个角是 的平行四边形叫做矩形． 2．有三个角是 的四边形是矩形． 3．对角线 的平行四边形是矩形． 4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ． 5．一个三角形一边上的中线等于该边的 ，那么这个三角形是一个直角三角形． 考点　矩形的判定 【典例】依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( A ) 矩形的判定方法共有三种：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形，本题的解答关键是勾股定理逆定理的应用． 【变式训练】　 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是( ) A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 知识点1　矩形的判定 1．下列条件中能判定一个平行四边形为矩形的是( ) ①对角线互相平分　②对角线互相垂直　③对角线相等　④一组邻边相等　⑤一个角为直角 A．①④ B．②④ C．①② D．③⑤ 2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC.下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4.其中正确的有( ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 . (填上你认为正确的一个答案即可) 4．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且AO＝BO. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AD＝2，∠AOD＝60°，求矩形ABCD的面积． 知识点2　直角三角形斜边上的中线 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于点F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 易错易混点　忽略题干中给出的条件导致选判错误 7．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与BC、AD交于点E、F，连结BO、CF，若AB＝BO，BE＝EO，则下列结论中错误的是( ) A．∠BAO＝60° B．AC⊥EF C．OF＝DF D．AB＝2BE 8．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形AEFD是矩形的是( ) A．EF＝AD B．∠AEB＝∠DFC C．BE＝CF D．∠DAE＝∠AEF 9．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业： 甲：1.以点C为圆心，AB长为半径画弧； 2．以点A为圆心，BC长为半径画弧； 3．两弧在BC上方交于点D，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1). 图1 乙：1.连结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M. 2．连结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2). 图2 对于两人的作业，下列说法正确的是( ) A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 10．小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框ABCD中，AD＝2，DC＝4，洞口M位于AD的中点处，圆柱形通道EF＝1，一个小球从洞口M出发，经过通道EF后，到达洞口C.若通道EF可以在线段AB上水平移动，则小球经过的路径ME＋EF＋FC的最小值为 ． 11．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，连结BE，BE、CD的延长线相交于点F，连结AF、BD. (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； (2)若∠BEA＋2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形． 12．(海南模拟)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连结DE，BF. (1)求证：△DOE≌△BOF； (2)若BD＝EF，连结EB、DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 【母题P117例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E.求证：四边形ADCE是矩形． 【变式】在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连结AF、BF. (1)求证：四边形EBFD是矩形． (2)若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 13.(推理能力)如图1，四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A、C分别作AM⊥BD，CN⊥BD，M、N为垂足． (1)求证：AM＝CN； (2)如图2，在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E、F，使BE＝DF，连结AE、AF、CF、CE，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并加以证明． 图1　 　 　图2 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.1.2矩形的判定 1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．有三个角是直角的四边形是矩形． 3．对角线相等的平行四边形是矩形． 4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 5．一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形． 考点　矩形的判定 【典例】依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( A ) 解析：A.∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意； B．∵∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C．∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC. ∵AD＝BC＝4，∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D．∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AC＝5，∴AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意． 矩形的判定方法共有三种：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形，本题的解答关键是勾股定理逆定理的应用． 【变式训练】　 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是(A) A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 知识点1　矩形的判定 1．下列条件中能判定一个平行四边形为矩形的是(D) ①对角线互相平分　②对角线互相垂直　③对角线相等　④一组邻边相等　⑤一个角为直角 A．①④ B．②④ C．①② D．③⑤ 2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC.下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4.其中正确的有(B) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是∠A＝90°. (填上你认为正确的一个答案即可) 4．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且AO＝BO. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AD＝2，∠AOD＝60°，求矩形ABCD的面积． (1)∵在平行四边形ABCD中，∴AC＝2OA，BD＝2OB.∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形； (2)∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OD＝BD，∠DAB＝90°，∵∠AOD＝60°，∴△ODA是正三角形， ∴OD＝AD＝2，∴BD＝2OD＝4，∴AB＝＝＝2，∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝2×2＝4. 知识点2　直角三角形斜边上的中线 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于点F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于(D) A．30° B．40° C．50° D．60° 易错易混点　忽略题干中给出的条件导致选判错误 7．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与BC、AD交于点E、F，连结BO、CF，若AB＝BO，BE＝EO，则下列结论中错误的是(D) A．∠BAO＝60° B．AC⊥EF C．OF＝DF D．AB＝2BE ∵在矩形ABCD中，O为AC的中点， ∴OA＝OB＝OC.又∵AB＝BO，∴AB＝OB＝OA，∴△AOB是等边三角形， ∴∠BAO＝60°，故A选项正确，不符合题意；如图所示，连结AE， 在△ABE和△AOE中，∴△ABE≌△AOE(SSS)，∴∠ABE＝∠AOE，∠BAE＝∠OAE＝∠BAO＝30°.∵在矩形ABCD中，∠ABE＝90°，∴∠AOE＝90°， ∴AC⊥EF，故B选项正确，不符合题意；在Rt△ABE中，∵∠BAE＝∠BAO＝30°，∠ABE＝90°，∴AE＝2BE，∴AB＝＝BE，故D选项错误，符合题意；∵OC＝AB，AB＝CD， ∴OC＝DC.又∵CF＝CF，∴Rt△OCF≌Rt△DCF(HL)，∴OF＝DF，故C选项正确，不符合题意． 8．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形AEFD是矩形的是(D) A．EF＝AD B．∠AEB＝∠DFC C．BE＝CF D．∠DAE＝∠AEF 9．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业： 甲：1.以点C为圆心，AB长为半径画弧； 2．以点A为圆心，BC长为半径画弧； 3．两弧在BC上方交于点D，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1). 图1 乙：1.连结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M. 2．连结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2). 图2 对于两人的作业，下列说法正确的是(A) A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 由甲同学的作业，可知CD＝AB，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形．∴甲的作业正确．由乙同学的作业，可知CM＝AM，MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，∴乙的作业正确． 10．小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框ABCD中，AD＝2，DC＝4，洞口M位于AD的中点处，圆柱形通道EF＝1，一个小球从洞口M出发，经过通道EF后，到达洞口C.若通道EF可以在线段AB上水平移动，则小球经过的路径ME＋EF＋FC的最小值为3＋1． 如图，作出点M关于AB的对称点P，连结EP，将EP向右平移1个单位长度至FQ，连结PQ、CQ，分别延长PQ、CB相交于点G， 由轴对称的性质，得ME＝PE，AM＝AP，由平移的性质，得PE＝FQ，PQ＝EF＝1， 当Q、F、C三点共线时，QF＋FC的值最小， 此时，ME＋EF＋FC的值最小． ∵在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，洞口M位于AD的中点处，∴AD＝BC＝2，AP＝AM＝AD＝×2＝1. ∵PG∥AB，AP∥BG，∠PAB＝90°， ∴四边形APGB是矩形，∴BG＝AP＝1，PG＝AB＝4， ∴QG＝PG－PQ＝3，CG＝CB＋BG＝3， ∴CQ＝＝3， 即ME＋EF＋FC的最小值为3＋1. 11．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，连结BE，BE、CD的延长线相交于点F，连结AF、BD. (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； (2)若∠BEA＋2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形． (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠FDE. ∵点E是AD的中点，∴AE＝DE， 在△BEA和△FED中， ∴△BEA≌△FED(ASA)，∴AB＝DF， 又AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形； (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAE＝∠C. ∵∠BEA＋∠BAE＋∠ABE＝180°，∠BEA＋2∠C＝180°， ∴∠BAE＝∠ABE，∴BE＝AE. 由(1)知，四边形ABDF是平行四边形， ∴BE＝BF. ∵AE＝AD，∴BF＝AD，∴平行四边形ABDF是矩形． 12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连结DE，BF. (1)求证：△DOE≌△BOF； (2)若BD＝EF，连结EB、DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由． (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AE＝CF，∴OE＝OF. 在△DOE和△BOF中， ∴△DOE≌△BOF(SAS). (2)四边形EBFD是矩形． 理由：如图． ∵OD＝OB，OE＝OF， ∴四边形EBFD是平行四边形． ∵BD＝EF，∴四边形EBFD是矩形． 【母题P117例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E.求证：四边形ADCE是矩形． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠B＝∠ACB，BD＝DC. 又∵AE是△ABC的外角∠CAF平分线， ∴∠FAE＝∠CAF＝(∠B＋∠ACB)＝∠B.∴AE∥BC. 又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE＝BD，AB＝DE. ∴AC＝DE，AE＝DC. 又∵AE∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∴四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 【变式】在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连结AF、BF. (1)求证：四边形EBFD是矩形． (2)若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB. ∵CF＝AE， ∴CD－CF＝AB－AE， 即DF＝BE， ∴四边形BEDF是平行四边形． ∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°， ∴▱BEDF是矩形． (2)∵DE⊥AB， ∴在Rt△ADE中， AD＝＝＝5. ∵DF＝5，∴AD＝DF， ∴∠DAF＝∠DFA. ∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB. 13.(推理能力)如图1，四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A、C分别作AM⊥BD，CN⊥BD，M、N为垂足． (1)求证：AM＝CN； (2)如图2，在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E、F，使BE＝DF，连结AE、AF、CF、CE，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并加以证明． 图1　　　　　 　 　图2 (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠ADM＝∠CBN. ∵AM⊥BD，CN⊥BD， ∴∠AMD＝∠CNB＝90°， 在△AMD和△CNB中， ∴△AMD≌△CNB，∴AM＝CN. (2)猜想：当EF＝AC时，四边形AECF是矩形． 证明：由(1)得△AMD≌△CNB，∴DM＝BN. ∵BE＝DF，∴DM＋DF＝BN＋BE， 即MF＝NE. 在△AMF和△CNE中， ∴△AMF≌△CNE， ∴AF＝CE，∠AFE＝∠CEF， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形．又EF＝AC， ∴四边形AECF是矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $