18.1.2 矩形的判定 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

第3课时　直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线定理 1．如图，将直角三角形ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7(单位：cm)，则CD的长为(　　) A．3 cm B．3.5 cm C．4 cm D．4.5 cm 2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，BC＝6，则AC的长是(　　) A．8 B．10 C．12 D．13 3．(陕西中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 直角三角形斜边上的中线定理的逆定理 4．下列三角形中，不一定是直角三角形的是(　　) A．三角形中有一边的中线等于这边的一半 B．三角形三内角度数之比是1∶2∶3 C．三角形有一内角是30°，且有一边是另一边的一半 D．三角形三边分别是m2－n2，2mn，m2＋n2(m＞n＞0) 5．“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”这一命题是________(填“真”或“假”)命题． 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E为AC的中点，在△AFC中，∠AFC＝90°，连结BE、BF、EF，若∠ACB＝50°，∠ECF＝24°，则∠EFB的度数为(　　) A．14° B．16° C．18° D．20° 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是(　　) A．∠ACD＝∠ABC B．∠ACD＝∠BCE C．∠BEC＝2∠ACE D．∠BCD＝∠DCE 3．直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是________． 4．(推理能力)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为斜边在左侧作直角三角形ADC，使∠ADC＝90°，连结BD，取AC、BD的中点分别为E、F，连结EF，若AC＝10，BD＝8. (1)求证：EF⊥BD. (2)求EF的长． 【详解答案】 基础达标 1．A　2.A　3.C　4.C　5.真 能力提升 1．B　解析：∵∠ABC＝90°，点E为AC的中点，∴EB＝EC＝AC，∴∠ECB＝∠EBC＝50°，∵∠AEB是△EBC的一个外角，∴∠AEB＝∠EBC＋∠ECB＝100°，∵∠AFC＝90°，点E为AC的中点，∴EF＝EC＝AC，∴∠EFC＝∠ECF＝24°，∵∠AEF是△ECF的一个外角，∴∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝48°，∴∠BEF＝∠AEB＋∠AEF＝148°，∵BE＝AC，EF＝AC，∴BE＝EF，∴∠EFB＝∠EBF＝＝16°.故选B. 2．D　解析：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，故A选项一定成立，不符合题意；∵∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线，∴CE＝BE＝AE＝AB，∴∠ABC＝∠BCE，由A选项可知∠ACD＝∠ABC，∴∠ACD＝∠BCE，故B选项一定成立，不符合题意；∵∠BEC是△AEC的外角，∴∠BEC＝∠A＋∠ACE，由B选项可知AE＝EC，∴∠A＝∠ACE，∴∠BEC＝2∠ACE，故C选项一定成立，不符合题意；当∠ABC＝60°时，△BCE是等边三角形，∵CD⊥BE，∴CD平分∠BCE，则有∠BCD＝∠DCE，若∠ABC≠60°，则∠BCD＝∠DCE不成立，故D选项不一定成立，符合题意．故选D. 3．30　解析：∵直角三角形斜边上的中线是6，∴斜边长为2×6＝12，∴它的面积＝×12×5＝30. 4．解：(1)证明：连结BE、DE，如图： ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点， ∴BE＝AC，DE＝AC， ∴BE＝DE， ∵点F是BD的中点， ∴EF⊥BD. (2)∵点E是AC的中点，点F是BD的中点，AC＝10，BD＝8， ∴BE＝AC＝5，BF＝BD＝4， 在Rt△BEF中，EF＝＝＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　矩形判定的运用 知识点 矩形判定的运用 1．工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是(　　) A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 2．学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形(　　) A．嘉嘉能，淇淇不能 B．淇淇能，嘉嘉不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 3．(开放题)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可判定四边形AEFD是矩形，这个条件可以是________．(写出一个即可) 4．如图，在平行四边形ABCD中，连结BD，E为线段CD的中点，延长BE与AD的延长线交于点F，连结CF，∠BDF＝90°. 求证：四边形CBDF是矩形． 1．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB、BC、CD的长分别为2、2、4，则∠BAD的度数为(　　) A．120° B．135° C．150° D．以上都不对 2．(开放题)如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是________．(写出一个即可) 3.如果一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠A＝45°，点E在边CD上，且CE＝5，过点E的面积等分线与平行四边形的另一边交于点F，那么线段EF的长为________． 4．(推理能力)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使AB＝BE，连结DB、DE和CE，且AD＝DE. (1)求证：四边形BDCE是矩形． (2)已知S△ADE＝12，DE＝5，求矩形BDCE的周长． 【详解答案】 基础达标 1．C　2.C　3.BE＝CF(答案不唯一) 4．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFB＝∠CBF， ∵E为线段CD的中点， ∴DE＝CE， ∵∠CEB＝∠DEF， ∴△BCE≌△FDE(AAS)， ∴EF＝EB， ∴四边形CBDF是平行四边形， ∵∠BDF＝90°， ∴四边形CBDF是矩形． 能力提升 1. B　解析：过点A作AE⊥CD于点E，如图，∵AB⊥BC，AB∥DC，∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠AEC＝90°，∴四边形ABCE是矩形， ∴AB＝CE＝2，AE＝BC＝2，∠BAE＝90°，∵CD＝4， ∴DE＝2，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠D＝45°，∴∠BAD＝90°＋45°＝135°.故选B. 2．AC⊥BD(答案不唯一)　解析：原四边形ABCD需满足的条件是AC⊥BD，∵BD∥EF，BD∥GH，∴EF∥GH，同理EH∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EF∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥AC，∵EH∥AC，∴EF⊥EH，∴∠E＝90°，∴四边形EFGH是矩形． 3.　解析：如图，过点D作DO⊥AB于点O，过点E作EG⊥AB于点G， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝45°，∴AO＝DO＝2，CD＝AB＝6，AB∥DC，∴DE＝CD－CE＝6－5＝1， ∴×(1＋AF)×2＝×6×2，解得AF＝5，由作图及AB∥DC可知∠EDO＝∠DOG＝∠OGE＝90°，∴四边形DOGE是矩形，∴OG＝DE＝1，∴GF＝5－2－1＝2，在直角三角形GEF中，由勾股定理得EF＝＝. 4．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC， ∴BE∥CD， ∵AB＝BE， ∴BE＝CD， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∵AD＝DE，AD＝BC， ∴DE＝BC， ∴四边形BDCE是矩形． (2)设AB＝BE＝a，BD＝b， ∴AE＝AB＋BE＝2a， ∴矩形BDCE的周长为2(BE＋BD)＝2(a＋b)， ∵S△ADE＝12， ∴AE·BD＝12， ∴×2ab＝12， ∴ab＝12， ∵四边形BDCE是矩形， ∴∠DBE＝90°， 在Rt△DBE中，DE＝5， 由勾股定理得BE2＋BD2＝DE2， ∴a2＋b2＝25， ∴a2＋b2＋2ab＝25＋2ab， ∴(a＋b)2＝25＋24＝49， ∴a＋b＝7或a＋b＝－7(不合题意，舍去)， ∴2(a＋b)＝14， 即矩形BDCE的周长是14. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.矩形的判定 第1课时　矩形的判定 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形 1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形． 判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD. 求证：四边形ADCE是矩形． 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 3．已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若从下列选项中再添加一个条件，则能使得四边形ABCD是矩形的是(　　) A．∠BAD＝∠BCD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．AC＝BD 4．某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的长分别为2 cm，3 cm，则该四边形的面积为________ cm2. 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D、E，连结DE，则DE的最小值是(　　) A． B． C． D． 2．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是(　　) 3．在四边形ABCD中，有以下四个条件： ①AB∥CD；②AD∥BC；③AC＝BD；④∠ADC＝90°.若从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形，则这样的选择共有________种． 4．(推理能力)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.将△ABC沿BC向右平移，使平移的距离等于线段BE的长，得到△DEF.连结AF、CD、AD、CE，其中AF与CD相交于点O. (1)求证：四边形ACFD为矩形． (2)若AB＝3，OC＝2，BF＝5，求线段EF的长． 【详解答案】 基础达标 1．证明：∵O是边AB的中点， ∴OA＝OB， 在△AOD和△BOC中， ∴△AOD≌△BOC(ASA)， ∴DA＝CB， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°， ∴DA∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 2．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵CE∥AD， ∴∠ECD＝∠ADB＝90°， ∵AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°， ∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． 3．D　4.6 能力提升 1．B　解析：如图，连结CP，过点C作CQ⊥AB于点Q，∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，∴S△ABC＝×13CQ＝×12×5，∴CQ＝，∵PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D、E，∴∠PDC＝∠PEC＝∠DCE＝90°，∴四边形PECD是矩形，∴CP＝DE，∵CP≥CQ，∴DE≥，∴DE的最小值为.故选B. 2．A　解析：A.∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，∴四边形ABCD是平行四边形，不一定为矩形，故选项A符合题意；B.∵∠A＝∠B＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C.∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC，∵AD＝BC＝4，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；D.∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝5，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意．故选A. 3．4　解析：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，当∠ADC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，∴①②③可以判定四边形ABCD为矩形，①②④可以判定四边形ABCD为矩形．如图，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∴∠BAD＝90°，∵AD＝DA，DB＝AC，∴Rt△ABD≌Rt△DCA(HL)，∴AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴①③④可以判定四边形ABCD为矩形；同理②③④可以判定四边形ABCD为矩形．综上，可以判定四边形ABCD为矩形的选择共有4种． 4．解：(1)证明：∵将△ABC沿BC向右平移，使平移的距离等于线段BE的长，得到△DEF， ∴AD∥BE，AD＝BE＝CF， ∴四边形ACFD为平行四边形， ∵∠DFE＝∠ACB＝90°， ∴四边形ACFD为矩形． (2)∵四边形ACFD为矩形， ∴CD＝2OC＝4，AF＝CD， ∴AF＝4， ∵∠ACB＝∠ACF＝90°， ∴AB2－BC2＝AF2－CF2， ∴32－BC2＝42－(5－BC)2， 解得BC＝， ∴EF＝BC＝. 学科网（北京）股份有限公司 $