18.1.2 矩形的判定（第2课时：根据矩形的性质与判定求线段长、角度、面积） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 本同步练习通过A/B/C三层设计，以矩形性质与判定为核心，从基础应用到综合实践，梯度进阶巩固知识，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|矩形性质、判定直接应用，求角度、线段长、面积|单选结合平行四边形性质，解答题含证明与计算，夯实基础| |B能力提升|矩形与梯形、坐标系、动态问题综合，实际情境应用|如挖掘机结构计算，提升空间观念与运算能力| |C综合与实践|尺规作图、图形变换与拼接，探究性问题|通过梯形分割拼等腰三角形，发展创新意识与应用意识|

18.1.2 矩形的判定 （第2课时：根据矩形的性质与判定求线段长、角度、面积） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 2．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 3．如图，中，，以为圆心，为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，则长为（　　） A． B．5 C． D． 4．如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（    ） A．4 B．3 C．5 D． 5．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，过点A的直线与线段交于点D，过点D作交y轴于点E，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝40cm，则A端离地面的最大高度为______cm． 9．如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为___________． 三、解答题 10．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，    (1)求证：； (2)若点E、F分别为线段的中点，连接，，，求的长及四边形的面积． 11．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当运动停止时，求线段的长； (3)当为何值时，四边形为矩形，求出的值和矩形的面积； (4)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【B能力提升】 1．如图，，，，，，连接，分别取的中点M，N，连接，则线段的长为（    ） A．2 B．2.5 C． D． 2．如图所示，在四边形中，，点在边上，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 4．如图，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，，，，那么的长为_____ ． 5．图1是某型号挖掘机，该挖掘机由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其在某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．小明作于点，延长交于点，经测量发现，基座高度为，，主臂比长． (1)求主臂的长； (2)若，求的长． 【C综合与实践】 1．在一节数学活动课上，王老师在黑板上画出了一个四边形，如图1，，．并提出问题：利用尺规作图作出，交于点E．经过同学们分组讨论，展示了下面甲、乙两组的作图：    解答下面问题： (1)请你分别判断甲组、乙组的做法是否正确？ (2)请从（1）中任选一个你作出的判断，通过推理，说明你判断的理由； (3)请你用不同于甲组和乙组的方法，在图1中，用尺规作图作出，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 2．某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究． (1)如图1，梯形中，，点是中点，是梯形的顶点，将绕旋转得到，若，且此时，则的长为__________(用含的代数式表示)； (2)如图2，梯形，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：所得的部分不重叠，不间隙地拼． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.1.2 矩形的判定 （第2课时：根据矩形的性质与判定求线段长、角度、面积） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 2．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 3．如图，中，，以为圆心，为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，则长为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接，由题意可知，，可知四边形为矩形，那么，接着利用勾股定理可求得，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，，连接，如图所示： ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵中，， ∴． 4．如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（    ） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC，再证四边形ABFQ是矩形，得AB=FQ=DC=4，求出EQ=FQ=4，即可得出答案． 【详解】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQA=∠FQD=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC， ∴四边形ABFQ、四边形CDQF都是矩形， ∴AB=FQ=DC=4，QD=CF， 由题意得：AE=CF， ∴AE=QD， ∵ADBC， ∴∠QEF=∠BFE=45°， ∴△QEF是等腰直角三角形， ∴EQ=FQ=4， ∴AE=QD=×（10-4）=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 5．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 6．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，过点A的直线与线段交于点D，过点D作交y轴于点E，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点A、B、C的坐标可推出四边形是矩形，由矩形的性质和可推出，即可利用证明，进而求得的长度，得到点D的坐标，最后由待定系数法可求得k的值． 【详解】解：∵，，， ∴轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点、代入直线， 得， 解得． 二、填空题 8．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝40cm，则A端离地面的最大高度为______cm． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 过点A作，过点O作，结合条件可证四边形是矩形，再利用条件证明，即可求出． 【详解】当跷跷板的一端着地时，A端离地面的高度最大， 如图，过点A作，过点O作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点O是跷跷板的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A离地面的高度是， 故答案为：． 9．如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造辅助线． 利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出直角，证明四边形是矩形，然后再利用矩形的性质得出的长，即可作答． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ， ， 又∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴ 同理 ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：5． 三、解答题 10．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，    (1)求证：； (2)若点E、F分别为线段的中点，连接，，，求的长及四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6，48 【分析】（1）证明四边形是矩形，即可； （2）根据三角形中位线定理可得，从而得到，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （2）解：∵点E、F分别为线段的中点，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键． 11．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当运动停止时，求线段的长； (3)当为何值时，四边形为矩形，求出的值和矩形的面积； (4)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，24 (4)存在，或6 【分析】本题考查平行四边形中的动点问题，涉及矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）过点作于点，如图所示，由矩形的判定与性质得到，，进而求出，在中，由勾股定理求出长即可得到答案； （2）根据题意，先求出点运动的时间，再由点的运算过程求解即可得到答案； （3）若四边形为矩形，则，根据运动关系表示出，列方程求解即可得到答案； （4）根据题意，分两种情况讨论，由平行四边形对边相等列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 过点作于点，如图所示： 四边形是矩形，则，， ， 在中，,，，则由勾股定理可得， ； （2）解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动， 点运动的时间是, 点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动， ； （3）解：若四边形为矩形，则， 由题意可知：，，， ，解得， 此时， 矩形的面积为； （4）解：存在， 理由如下： 根据题意，分两种情况： 当四边形为平行四边形，即点在点左边时，， 由（3）知，，， ∴，， ，解得； 当四边形为平行四边形，即点在点右边时，， 由（3）知，，， ∴，， ，解得； 综上所述，存在，或6． 【B能力提升】 1．如图，，，，，，连接，分别取的中点M，N，连接，则线段的长为（    ） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作，交的延长线于，可得四边形为矩形，即得，，得到，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴． 2．如图所示，在四边形中，，点在边上，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理； 过A作于F，可得四边形是矩形，设，，在中，利用勾股定理列式，整体求出即可． 【详解】解：过A作于F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，， ∴，， ∵在中，， ∴， 整理得：， ∴， 故选：C． 3．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】18 【分析】作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴. 4．如图，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，，，，那么的长为_____ ． 【答案】5 【分析】设，则，利用勾股定理可得，，则，而，即可建立方程求解． 【详解】解：如图所示，过B作于F点，设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 5．图1是某型号挖掘机，该挖掘机由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其在某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．小明作于点，延长交于点，经测量发现，基座高度为，，主臂比长． (1)求主臂的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可证明四边形是矩形，得到，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）利用勾股定理求出的长，再求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 答：主臂的长为 （2）解：由（1）得，， 在中，由勾股定理得， ∴； 答：的长为． 【C综合与实践】 1．在一节数学活动课上，王老师在黑板上画出了一个四边形，如图1，，．并提出问题：利用尺规作图作出，交于点E．经过同学们分组讨论，展示了下面甲、乙两组的作图：    解答下面问题： (1)请你分别判断甲组、乙组的做法是否正确？ (2)请从（1）中任选一个你作出的判断，通过推理，说明你判断的理由； (3)请你用不同于甲组和乙组的方法，在图1中，用尺规作图作出，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)甲组正确；乙组正确 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行四边形和矩形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质判断即可； （2）根据平行四边形和矩形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质证明即可； （3）利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可． 【详解】（1）解：甲组正确；乙组正确． （2）解：若选“甲组正确”， 理由：如题图所示，∵， ∴， ∴，即， 由甲组的尺规作图可知，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故甲组作法正确． 若选“乙组正确”， 理由：如图，连接，． 由乙组的尺规作图可知，． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故乙组作法正确．    （3）解：如图所示，．    2．某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究． (1)如图1，梯形中，，点是中点，是梯形的顶点，将绕旋转得到，若，且此时，则的长为__________(用含的代数式表示)； (2)如图2，梯形，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：所得的部分不重叠，不间隙地拼． 【答案】(1)； (2)作图见解析 【分析】（1）先利用旋转的中心对称性质，得，推出且、、三点共线；再由、，作，判定四边形为矩形，得、；结合、，由等腰三角形三线合一得，计算得，故，最终由求得． （2）连接、，取的中点，利用旋转的中心对称性质，将绕点旋转得到'，通过旋转使图形无重叠、无间隙拼接为等腰三角形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵绕旋转得到， ∴， ∴，， ∴，即、、三点共线． 如图，过作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接、，取线段的中点；将绕点旋转得到，则即为所求等腰三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $