第二章　2.1　函数的概念及其表示 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数概念及表示核心考点，依据高考评价体系明确定义域、对应关系、分段函数等考查要求，通过近三年模拟题分析，梳理出函数概念判断（占比30%）、解析式求法（占比40%）等高频考点，归纳选择、填空、解答题常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+易错警示+思维建模”策略，如以分段函数求值为例，通过“分层讨论法”培养数学思维，结合换元法求解析式强化数学语言表达。设“微点提醒”规避定义域变形等易错点，助力学生掌握解题技巧，教师可依托题型分类实现精准复习。

函数的概念及其表示 落实主干知识 1.函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 、 、 . (2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 唯一确定 定义域 对应关系 值域 定义域 对应关系 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 、图象法和 . 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 解析法 列表法 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.(　　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示.(　　) (3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点.(　　) (4)函数f(x)=的定义域为R.(　　) 自主诊断 × × √ √ 2.以下图形中，不是函数图象的是 解析　根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个x值对应两个y值，所以A不是函数图象. √ 3.(多选)(2025·三明模拟)下列各组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是 A.f(x)=x0与g(x)=1 B.f(x)=x与g(x)= C.f(x)=和g(t)= D.f(x)=与g(x)=· √ √ √ 解析　选项A，函数f(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，函数 g(x)=1的定义域为R，二者定义域不同，不是同一个函数； 选项B，g(x)==|x|与f(x)的对应关系不同，不是同一个函数； 选项C，函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g(t)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一个函数； 选项D，f(x)=的定义域为(-∞，-1]∪[1，+∞)，g(x)=·的定义域为[1，+∞)，二者定义域不同，不是同一个函数. 4.已知函数f(x)=则f(f(-2))=　　　.  1 解析　因为f(-2)=(-2)2=4，所以f(f(-2))=f(4)=log44=1. 防范四个易错点 (1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化. (2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围. (3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围. (4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错. 微点提醒 返回 探究核心题型 例1　(1)(多选)下列选项中正确的是 A.函数y=的定义域为(-∞，2)∪(2，4) B.函数图象与y轴至多有一个交点 C.函数y=与函数y=x-1表示同一个函数 D.对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同 √ 题型一　函数的概念 √ √ 解析　对于A，由题意知解得x<4且x≠2，A正确； 对于B，由函数的定义知，函数图象与y轴至多有一个交点，B正确； 对于C，函数y=的定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)，函数y=x-1的定义域为R，两函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数，C错误； 对于D，函数中一个x值只能对应一个y值，如果y的值不同，则x的值一定不同，D正确. (2)(2026·白银模拟)已知函数y=f(x)的定义域为[0，4]，则函数y=+(x-2)0 的定义域是 A.(1，3)　　　 B.(1，2)∪(2，3] C.(1，2)∪(2，3)　　　 D.(1，3] √ 解析　因为函数y=f(x)的定义域为[0，4]， 所以解得1<x≤3且 x≠2， 所以函数y=+(x-2)0的定义域是(1，2)∪(2，3]. 函数的概念及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应. (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数. 思维升华 跟踪训练1　(1)函数y=的定义域是　　　　　　　　.  解析　函数y=的定义域满足 ⇒解得-1<x<0或0<x≤1， 所以函数的定义域为(-1，0)∪(0，1]. (-1，0)∪(0，1] 跟踪训练1　(2)(多选)下列命题中是假命题的是 A.函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线 B.f(x)=+是函数 C.集合A=[1，2]，B=[2，6]，对应关系f：y=2x，则f：A→B是A到B的函数 D.f(x)=2ln x与g(x)=ln x2是同一个函数 √ √ √ 解析　对于A，因为函数y=2x(x∈N)的定义域为N，所以其图象是由离散的点组成的，A错误； 对于B，因为要使与有意义，则不等式组无解， 所以由函数的定义可得f(x)=+不是函数，B错误； 对于C，当x∈[1，2]时，y=2x∈[2，4]⊆B，结合函数定义，f：A→B是A到B的函数，C正确； 对于D，f(x)=2ln x的定义域为(0，+∞)，g(x)=ln x2的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不一样，故这两个函数不是同一个函数，D错误. 例2　(1)已知f(1-sin x)=cos2x，求f(x)的解析式； 题型二　函数的解析式 解　(换元法)设1-sin x=t，t∈[0，2]， 则sin x=1-t， ∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x， ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2，t∈[0，2]. 即f(x)=2x-x2(0≤x≤2). 例2　(2)已知f =x4+，求f(x)的解析式； 解　(配凑法)f=x4+=-2， 又x2+≥2=2， 当且仅当x2=，即x=±1时等号成立. 设t=x2+，则t≥2，∴f(t)=t2-2(t≥2)， ∴f(x)=x2-2(x≥2). 例2　(3)已知f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=4x-3，求f(x)的解析式； 解　(待定系数法)∵f(x)是一次函数， ∴设f(x)=kx+b(k≠0)， ∴f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b， 又f(f(x))=4x-3，∴k2x+kb+b=4x-3， 故解得或 ∴f(x)=2x-1或f(x)=-2x+3. 例2　(4)已知f(x)满足2f(x)+f =3x，求f(x)的解析式. 解　(解方程组法)用替换x， 得2f+f(x)=， 因此 解得f(x)=2x-(x≠0). 函数解析式的求法 (1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法. 思维升华 跟踪训练2　(多选)下列命题中正确的有 A.已知函数f(3x+1)=6x-4，则f(-2)=-10 B.已知函数f=x2+，则f(x)=x2+2(x≠0) C.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2，f(x)-f(x-1)=2x+3，则f(x)=x2+4x+2 D.已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x，则f(x)=3x √ √ √ 解析　对于A，由函数f(3x+1)=6x-4，令3x+1=-2，解得x=-1， 此时6x-4=-10，故A正确； 对于B，f=x2+=+2，且x-的取值范围是R， 所以函数的解析式为f(x)=x2+2，故B错误； 对于C，由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，因为f(0)=2，所以c=2， 因为f(x)-f(x-1)=2x+3， 所以ax2+bx+c-[a(x-1)2+b(x-1)+c]=2x+3， 所以2ax-a+b=2x+3， 解析　所以解得 所以f(x)=x2+4x+2，故C正确； 对于D，因为2f(x)+f(-x)=3x， ① 所以将x用-x替换， 得2f(-x)+f(x)=-3x， ② 由①②解得f(x)=3x，故D正确. 例3　(1)(多选)已知函数f(x)= 则下列关于函数f(x)的结论正确的是 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞，4] C.若f(x)=2，则x的值是- D.f(x)<1的解集为(-1，1) √ 题型三　分段函数 √ 解析　函数f(x)=的定义域是[-2，+∞)，故A错误； 当-2≤x<1时，f(x)=x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)=-x+2，值域为(-∞，1]，故f(x)的值域为(-∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)=-x+2=2，无解，当-2≤x<1时，令f(x)=x2=2，解得x=-，故C正确； 当-2≤x<1时，令f(x)=x2<1，解得x∈(-1，1)，当x≥1时，令f(x)=-x+2<1，解得x∈(1，+∞)，故f(x)<1的解集为(-1，1)∪(1，+∞)，故D错误. (2)对a，b∈R，记max{a，b}=则函数f(x)=max的最小值为　　　.  解析　令x+1=x2-2x+，解得x=或x=， 所以f(x)= 作出f(x)的图象， 由图象可知，当x=时，f(x)min=+1=. 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验. 思维升华 跟踪训练3　(1)(2025·聊城模拟)已知函数f(x)=则“a=1” 是“f(a)=1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析　根据题意，当a=1时，f(a)=f(1)=2-1-1=1， 所以“a=1”是“f(a)=1”的充分条件， 反之，若f(a)=1，即或 解得a=-1或a=1， 所以“a=1”不是“f(a)=1”的必要条件， 则“a=1”是“f(a)=1”的充分不必要条件. (2)(多选)函数D(x)=称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是 A.D(D(2))=D(D()) B.D(x)的值域与函数f(x)=的值域相同 C.D(x)≠D(-x) D.对任意实数x，都有D(x+1)=D(x) √ √ √ 解析　对于A，根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))=D(1)=1，D(D())=D(0)=1，所以A正确； 对于B，易知D(x)的值域为{0，1}，函数f(x)=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 当x∈(-∞，0)时，f(x)==0；当x∈(0，+∞)时，f(x)==1，即函数f(x)= 的值域为{0，1}，所以B正确； 对于C，若x∈Q，则-x∈Q，则D(x)=D(-x)=1，若x∈∁RQ，则-x∈∁RQ，则D(x)=D(-x)=0，综上可得D(x)=D(-x)，所以C错误； 对于D，当x∈Q时，x+1∈Q，此时D(x+1)=D(x)=1； 当x∈∁RQ时，x+1∈∁RQ，此时D(x+1)=D(x)=0，所以D正确. 返回 课时精练 一、单项选择题 1.函数y=的定义域为M，y=3x2+1的值域为N，则M∪N等于 A.[0，+∞)　　　 B.[0，1] C.[4，+∞)　　　 D.[1，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 知识过关 解析　由x-4≥0，得x≥4，故M=[4，+∞)， 由y=3x2+1，得y≥1，故N=[1，+∞)， 故M∪N=[1，+∞). 2.(2025·南充期末)已知f(x)=则f(f(5))等于 A.-1　　　B.0　　　C.　　　D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 解析　由题意得f(5)=f(5-3)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=cos=0， 所以f(f(5))=f(0)=cos 0=1. 3.(2025·湘西模拟)已知f(+1)=x+2，则函数f(x)的解析式为 A.f(x)=x2-1 B.f(x)=x2-1(x≥1) C.f(x)=x2+1(x≥1) D.f(x)=x2-1(x≥0) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　令t=+1，则x=(t-1)2，t≥1， 因为f(+1)=x+2，所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)， 则f(x)=x2-1(x≥1). 4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加得由快变慢，中间增加得最慢，最后增加得由慢变快，由图可知选项A符合. 5.(2026·烟台模拟)设集合A={x|0<x≤4}，B={y|0<y≤1}，则从A到B的函数f(x)可能为 A.f(x)=x-1　　　 B.f(x)= C.f(x)=x2　　　 D.f(x)=x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　对于A，f(x)=x-1，A={x|0<x≤4}，则f=2∉B，故A错误； 对于B，f(x)=，A={x|0<x≤4}，则f(4)=2∉B，故B错误； 对于C，f(x)=x2，A={x|0<x≤4}，则f(2)=×22=2∉B，故C错误； 对于D，f(x)=x，当0<x≤4时，0<x≤，即0<f(x)≤， 又⊆{y|0<y≤1}， 所以f(x)=x为从A到B的函数，故D正确. 6.(2025·吉林模拟)南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算，对于中国乃至世界是一个重大贡献.已知圆周率π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n)，则下列说法不正确的是 A.y=f(n)，n∈N*是一个函数 B.当n=5时，f(n)=3.141 59 C.f(4)=f(8) D.f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　对于A，对于任意n∈N*，均存在唯一的f(n)与之对应，符合函数的定义，y=f(n)，n∈N*是一个函数，故A正确； 对于B，C，f(5)=9，f(4)=5=f(8)，故B错误，C正确； 对于D，根据定义f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D正确. 7.(2025·泰安模拟)若函数f(x)=若f(a)<f(-a)，则实数a的取值范围是 A.(-1，0)∪(0，1) B.(-∞，-1)∪(0，1) C.(-1，0)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(1，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　当a>0时，由f(a)<f(-a)，即a2-a<-(-a)2-(-a)， ∴2a2-2a<0，∴2a(a-1)<0，解得0<a<1； 当a<0时，由f(a)<f(-a)，即-a2-a<(-a)2-(-a)，∴2a2+2a>0，∴2a(a+1)>0，解得a<-1. 综上，实数a的取值范围是(-∞，-1)∪(0，1). 8.(2026·临沂模拟)已知函数sgn(x)=则“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0” 是“x>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　因为sgn(x)= 当sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0时， 有或或 解得x>1或x<0， 所以“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的必要不充分条件. 二、多项选择题 9.设表格表示的函数为y=f(x)，关于此函数下列说法错误的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 x 0.1 0.2 0.5 0.8 0.9 y 1 0 1 0 1 A.f(x)的定义域是(0，1) B.f(f(0.1)-0.8f(0.5))=1 C.f(x)的值域是{0，1} D.f(x)的图象无对称轴 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　函数f(x)的定义域是{0.1，0.2，0.5，0.8，0.9}，A错误； f(f(0.1)-0.8f(0.5))=f(0.2)=0，B错误； 函数f(x)的值域是{0，1}，C正确； 函数f(x)的图象关于直线x=0.5对称，D错误. 10.下列说法正确的是 A.已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，则f(x)=2x+7 B.y=lg(1-x)+lg(1+x)与y=lg(1-x2)表示同一个函数 C.若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)的定义域为[0，2] D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　对于A，∵f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)， ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17， 即ax+(5a+b)=2x+17， ∴解得∴f(x)=2x+7，A正确； 对于B，y=lg(1-x)+lg(1+x)与y=lg(1-x2)的定义域均为(-1，1)，且y=lg(1-x)+ lg(1+x)=lg(1-x2)，∴对应关系相同，定义域也相同，故表示同一个函数，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　对于C，函数f(x)的定义域为[0，2]，由0≤2x≤2，得0≤x≤1，则函数f(2x)的定义域为[0，1]，故C错误； 对于D，由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确. 11.(2025·南阳模拟)黎曼函数(Riemann function)是一个特殊的函数，由德国数学家 黎曼发现并提出，其解析式为R(x)= (注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数)，则下列结论正确的是 A.R= B.黎曼函数的定义域为[0，1] C.黎曼函数的最大值为 D.若f(x)是奇函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[0，1]时，f(x)=R(x)，则 f+f(+6)= √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　R=R=，A错误； 黎曼函数的定义域为[0，1]，B正确； 因为p，q∈N*，为既约真分数，所以的最大值为，即黎曼函数的最大值 为，C正确； 因为f(x)是奇函数，并且是以2为周期的周期函数，f=f=f =-f=-，f(+6)=f(4)=f(4-6)=-f(6-4)=0， 所以f+f(+6)=-，D错误. 三、填空题 12.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，写出函数y=x2，x∈[-1，2]的一个同族函数___________　　　　　 ______________________.  y=x2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　函数y=x2，x∈[-1，2]的值域为[0，4]， 函数y=x2，x∈[-2，1]的值域为[0，4]， 所以y=x2，x∈[-2，1]为函数y=x2，x∈[-1，2]的一个同族函数.(答案不唯一) 答案 x∈[-2，1](答案不唯一) 13.(2025·六盘水模拟)已知函数f(x)满足f(x)+2f=2x++3，则f(2)=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5 解析　因为f(x)+2f=2x++3，分别令x=2，x=， 联立得解得 14.设函数f(x)=若f(f(a))≥3，则实数a的取值范围是 　　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 [-1，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　因为f(x)= 令f(a)=t，则f(f(a))≥3可化为f(t)≥3， 当t≥0时，t2+2t≥3，解得t≥1(负值舍去)，即f(a)≥1； 当t<0时，-t2+2t≥3，不等式无解， 综上，f(a)≥1， 若a≥0，则a2+2a≥1，解得a≥-1(负值舍去)； 若a<0，则-a2+2a≥1，解得a=1(舍去)， 综上，a≥-1. 15.已知函数f(x)=.若其定义域为R，则实数m 的取值范围是　　 　　　；若函数f(x)的值域是[0，+∞)，则实数m 的取值范围是　　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　若函数f(x)的定义域为R， 则有m>0且Δ=(m-2)2-4m(m-1)≤0， 解得m≥， 所以m的取值范围是. 当m=0时，f(x)==，值域是[0，+∞)，满足条件； 令g(x)=mx2-(m-2)x+m-1，g(x)≥0， 当m<0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，+∞)，不满足条件； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　当m>0时，g(x)的图象开口向上， 只需关于x的方程mx2-(m-2)x+m-1=0中的Δ≥0， 即(m-2)2-4m(m-1)≥0， 解得-≤m≤， 又m>0，所以0<m≤， 综上，0≤m≤， 所以实数m的取值范围是. 16.(2026·咸阳模拟)定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(x)+f(1-x)=1； ②f=f(x)；③f(x1)≤f(x2)(0≤x1<x2≤1)，则f(1)=　　，f=　　 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　在①中，令x=，得f=， 在②中，令x=0，得f(0)=0， 在①中，令x=0，得f(0)+f(1)=1，所以f(1)=1. 在②中，令x=1，得f=f(1)=， 由③知，f(x)在[0，1]上非严格单调递增， 又因为f=f=， 所以∀x∈，均有f(x)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析　注意到=∈， 因此f=， 于是f=f=f=f=f =…=f=×=. 返回 $