2.1 函数的概念及其表示 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数概念及表示专题，依据高考评价体系梳理定义域、解析式、分段函数等核心考查维度，通过真题分析明确分段函数求值、抽象函数定义域等高频考点分布，归纳换元法求解析式等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识清单+命题点突破+跟踪训练”模式，如以2026年模拟题为例解析分段函数求值“从内到外”技巧，培养数学思维与数学语言素养，设学霸笔记归纳易错点，助力学生掌握解题方法，教师可据此系统教学，提升复习效率。

第一节　函数的概念及其表示 1 知识清单 1.函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)在函数的定义域中，对于非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 实数集 任意 唯一确定 返回导航 2 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：________、________和________. (2)两个函数只有当________和________分别相同时，这两个函数才相同． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有________、列表法、图象法． 定义域 对应关系 值域 定义域 对应关系 解析法 返回导航 3 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数叫做分段函数． (2)分段函数表示的是一个函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 返回导航 4 【常用结论】 直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点． 返回导航 5 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.(　　) (2)直线x＝1与函数y＝f(x)的图象的交点最多有两个．(　　) (3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　　) × × × × 返回导航 6 2．(人教A版必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一函数的是(　　) A．y＝()2 B．u＝ C．y＝ D．m＝ 答案：B 返回导航 7 解析：对于A，y＝2＝x(x∈{x|x≥0})，它与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数；对于B，u＝＝v(v∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数； 返回导航 8 对于C，y＝＝|x|＝它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数；对于D，m＝＝n(n∈{n|n≠0})，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．故选B. 返回导航 9 3．(人教A版必修一P67T1(2)改编)函数f(x)＝－1的定义域为________． 答案：[－3，1] 解析：要使函数f(x)＝－1有意义，则解得－3≤x≤1. 返回导航 10 4．(人教A版必修一P65例2改编)已知函数f(x)＝x＋3＋，若f(a)＝，则a＝________． 答案：1或－ 解析：由f(a)＝得a＋3＋，即3a2＋2a－5＝0，解得a＝1或a＝－. 返回导航 11 命题点一　函数的概念 例1 (1)下列各图象中，不能表示y是x的函数的是(　　) 答案：D　 返回导航 12 解析：根据函数的定义，在自变量x的取值范围内，任意的x取值，有且只有一个y值与之对应，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点，对于ABC三个选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数；对于D，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示y是x的函数．故选D. 返回导航 13 (2)(2026·黄冈二模)已知函数f(x)＝x2的定义域A⊆R，值域B＝{9}，则满足条件的f(x)有(　　) A．1个　　B．2个 C．3个　　D．4个 答案：C 解析：令f(x)＝x2＝9，则x＝±3，则满足条件的f(x)有f(x)＝x2，x∈{3}；f(x)＝x2，x∈{－3}；f(x)＝x2，x∈{－3，3}，故满足条件的f(x)有3个．故选C. 返回导航 14 学霸笔记： (1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同． 返回导航 15 　跟踪训练　下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是(　　) A．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝ B．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2 C．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝±x D．A＝B＝N，对应关系f：x→y＝ 答案：B 返回导航 16 解析：对于A，因为0∈A，但是没有意义，故A错误；对于B，因为对于任意一个实数x，都有唯一确定的实数x2与其对应，符合函数的定义，故B正确；对于C，显然2∈A，此时y＝±2，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误；对于D，因为集合A，B是自然数集，1∈A，但是y＝∉N，所以y不是x的函数，故D错误．故选B. 返回导航 17 命题点二　函数的定义域 例2 (1)函数y＝＋ln (2－x)的定义域为(　　) A．[0，2) B．[0，2] C．(－∞，2) D．(－∞，2] 答案：A　 解析：由解得0≤x<2，所以函数y＝＋ln (2－x)的定义域为[0，2)．故选A. 返回导航 18 (2)若函数f(x)的定义域为[0，8]，则函数g(x)＝的定义域为(　　) A．(1，16) B．(1，16] C．(1，4) D．(1，4] 答案：D 解析：依题意，函数g(x)＝有意义，等价于解得1<x≤4，即函数g(x)＝的定义域为(1，4].故选D. 返回导航 19 学霸笔记：(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成，则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集． (2)抽象函数定义域． ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不定式a≤g(x)≤b求出； ②若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 返回导航 20 跟踪训练　(1)函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[4，＋∞) B．[4，5) C．(4，5) 答案：B　 解析：要使函数f(x)＝有意义，则解得x≥4且x≠5，故函数f(x)的定义域为[4，5)∪(5，＋∞)．故选B. 返回导航 21 (2)已知函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，则函数f(x)的定义域为________． 答案：[1，7) 解析：由函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，得x∈[－2，4)，令t＝x＋3，则t∈[1，7)，所以f(t)的定义域为[1，7)，故f(x)的定义域为[1，7)． 返回导航 22 命题点三　函数的解析式 例3 (1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式． 答案：设u＝＋1，则＝u－1(u≥1)， ∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)， 即f(x)＝x2－1(x≥1)． 返回导航 23 (2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)． 答案：设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3. ∴解得或 故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3. 返回导航 24 (3)函数f(x)满足方程2f(x)＋f()＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)． 答案：(构造法)∵2f(x)＋f＝2x　①， 将x换成，则换成x， 得2f＋f(x)＝　②. 由①②消去f，得3f(x)＝4x－，∴f(x)＝(x∈R且x≠0)． 返回导航 25 学霸笔记： (1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式． (3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (4)方程组法：已知关于f(x)与f()或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 返回导航 26 跟踪训练　(1)已知f()＝，则f(x)＝(　　) A．(x＋1)2(x≠1) 　 B．(x－1)2(x≠1) C．x2－x＋1(x≠1) 　 D．x2＋x＋1(x≠1) 答案：C　 解析：f＝＝2－＋1.令＝t(t≠1)，得f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．故选C. 返回导航 27 (2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________． 答案：x＋2　 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴即∴f(x)＝＋2. 返回导航 28 (3)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝________． 答案：x＋1 解析：对∀x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1　①，所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1　②，由①②解得f(x)＝x＋1. 返回导航 29 命题点四　分段函数 例4 (1)(2026·江门模拟)已知函数f(x)＝则f(5)＝(　　) A．－2 B．4 C．10 D．16 答案：B　 解析：依题意，f(5)＝f(5－2)＝f(3)＝f(3－2)＝f(1)＝1＋3×1＝4.故选B. 返回导航 30 (2)已知函数f(x)＝若f(27)＝3f(a)，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：由f(27)＝log327＝3＝3f(a)得f(a)＝1，当a>0时，由log3a＝1，解得a＝3；当a<0时，由a3＝1，解得a＝1(舍)．综上a＝3.故选C. 返回导航 31 学霸笔记： (1)根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值，直到求出最后的函数值为止． (2)已知函数值求自变量的值时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围． 返回导航 32 跟踪训练　(1)已知函数f(x)＝其中a为正实数，则f(f(0))＝________． 答案：－3　 解析：∵函数f(x)＝ ∴f(0)＝a0＝1，∴f(f(0))＝f(1)＝－3＋ln 1＝－3. 返回导航 33 (2)已知函数f(x)＝且f(a)＝4，则a＝________． 答案：2或－1 解析：当a≥0时，f(a)＝a2＝4，解得a＝±2，∵a≥0，故a＝2. 当a<0时，f(a)＝－＋5＝4，解得a＝±1. ∵a<0，故a＝－1. 验证：当a＝2时，f(2)＝22＝4，符合题意； 当a＝－1时，f(－1)＝－＋5＝4，符合题意． 返回导航 34 1．函数f(x)＝＋ln (2x＋2)的定义域为(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1，1)∪(1，＋∞) 答案：D 解析：要使函数f(x)有意义，则解得所以函数f(x)的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 2．如图是某高一学生晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是(　　) 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 解析：观察函数图象知，有一段时间该同学离家距离保持不变，选项ABC中，路线上的点离家距离是变化的，选项D中的路线符合要求．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 3．(2026·商丘模拟)已知f＝2x＋3，则f(6)＝(　　) A．31　　　B．17 C．15　　　D．7 答案：A 解析：令－1＝6，则x＝14，得f(6)＝2×14＋3＝31.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 4．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝与f(x)＝x＋ B．f(x)＝log3x2与f(x)＝log3x C．f(x)＝与f(x)＝x D．f(x)＝与f(x)＝x－1 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 解析：对于A，易知f(x)＝的定义域为{x}，而f(x)＝x＋的定义域为R，两函数定义域不同，故A错误；对于B，显然f(x)＝log3⁡的定义域为≠0}，而函数f(x)＝log3x的定义域为(0，＋∞)，两函数定义域不同，故B错误；对于C，两函数的定义域均为R，但f(x)＝的值域为[0，＋∞)，而f(x)＝x的值域为R，两函数值域不同，故C错误；对于D，易知f(x)＝＝x－1与f(x)＝x－1的定义域、值域、对应关系均相同，故D正确．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 5．(2026·成都模拟)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝(　　) A．8　 　B． C．－　 　D．－ 答案：B 解析：因为f(－2)＝(－2)2－1＝3，所以f(f(－2))＝f(3)＝.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 6．已知函数f(1－x)＝(x≠0)，则f(x)＝(　　) A．－1(x≠0) B．－1(x≠1) C．－1(x≠0) D．－1(x≠1) 答案：B 解析：令t＝1－x，则x＝1－t，且x≠0，则t≠1，可得f(t)＝－1(t≠1)，所以f(x)＝－1(x≠1)．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 7．已知函数f(x)＝x(x2－2)＋1，若f(a)＝－1，则f(－a)＝(　　) A．－3　 　B．－1 C．0　 　D．3 答案：D 解析：由题意知f(a)＝a(a2－2)＋1＝－1，所以a(a2－2)＝－2，所以f(－a)＝－a(a2－2)＋1＝2＋1＝3.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 8．已知函数y＝f(x)的定义域为[－5，3]，则函数y＝的定义域为(　　) A．[－6，－1)∪(－1，2] B．[－4，－1)∪(－1，4] C．[－4，4] D．[－5，－1)∪(－1，3] 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 解析：由函数y＝f(x)的定义域为[－5，3]，f(x－1)有意义，则－5≤x－1≤3，解得－4≤x≤4.y＝有意义，需满足－4≤x≤4且x＋1≠0，即－4≤x≤4且x≠－1，所以函数y＝的定义域为[－4，－1)∪(－1，4].故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 9．(2026·长治模拟)设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|－2≤y≤2}，则下列曲线能表示从集合P到集合Q的函数关系的有(　　) 答案：BD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 解析：对于AC，集合P中有的数(如：x＝2)在集合Q中对应两个值，不唯一，所以不符合函数定义，故AC错误；对于BD，集合P和集合Q均为数集，且集合P中的每一个数在集合Q中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义，故BD正确．故选BD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 10．已知f(x)＝，则(　　) A．f(0)＝1 B．f(－x)＝f(x) C．f(－x)＝－f(x) D．f＝－f(x)(x≠0) 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 解析：因为f(x)＝，所以f(0)＝＝1，故A正确；函数f(x)＝的定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，且f(x)不恒为零，故B正确，C错误；当x≠0时，＝＝－f(x)，故D正确．故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 11．设x≠0，函数f(x)满足2f(x)＋f＝10x，函数f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝ 解析：由x≠0，2f(x)＋f＝10x　①，将x换成得＋f(x)＝　②，①×2－②得3f(x)＝，即f(x)＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 12．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________． 答案：8 解析：f(－1)＝－(－1)2＝－1，所以f(a)＝3，因为x≤0时，f(x)＝－x2≤0，所以a>0，f(a)＝log2a＝3，解得a＝8. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 13．(13分)(2026·郑州模拟)已知函数f(x)＝. (1)求f和f，f(0)和f(1)的值． (2)猜想一下f(x)与f(1－x)有什么关系？并证明． 答案：f＝－5，f＝7，f(0)＝－1，f(1)＝3. 答案：猜想：f(x)＋f(1－x)＝2.证明：由f(x)＝， 可得f(1－x)＝，则f(x)＋f(1－x)＝＝2即证猜想． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 14．(15分)已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象； 答案：在同一直角坐标系中函数f(x)，g(x)的图象如下． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}．请分别用图象法和解析法表示函数M(x)． 答案：图像法结合M(x)的定义，可得函数M(x)的图象， 由(x＋1)2＝x＋1，得x(x＋1)＝0，解得x＝1，或x＝0. 由图象易知M(x)的解析式为M(x)＝ 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 15．(5分)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围为(　　) A．(－3，－1) B．[－3，－1] C．(－3，1] D．[－3，1) 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 解析：由题意可知，关于x的方程(a－1)x2＋(a－1)x－1＝0无解，此时进行分类讨论．①当a－1＝0，即a＝1时，－1＝0不成立，分母不为零，所以a＝1符合题意；②当a－1≠0，即a≠1时，应满足Δ＝(a－1)2＋4(a－1)<0，解得－3<a<1.综上，实数a的取值范围为(－3，1].故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 16．(5分)已知函数f(x)＝若f(f(f(m)))＝，则f(m)＝________． 答案： 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 解析：设f(m)＝k，f(k)＝n，f(n)＝，当n≤0时，f(n)＝n2＝，∴n＝－＝f(k)，没有满足条件k值，不符合题意；当n>0时，f(n)＝n＋2＝，∴n＝＝f(k)；当k≤0时，f(k)＝k2＝，∴k＝－＝f(m)，没有满足条件m值，不符合题意；当k>0时，f(k)＝k＋2＝，∴k＝＝f(m)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 $