第一章　1.4　基本不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”核心考点，依据高考评价体系明确理解公式、求最值、判断命题三大考查要求。通过梳理近五年真题，确定求最值（占比60%）、不等式变形（30%）等高频考点，归纳直接法、配凑法等6类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧拆解+素养提升”，如以2022新高考Ⅱ卷“x²+y²-xy=1”题为例，详解构造不等式法，培养逻辑推理与数学运算素养。特设“易错警示”专栏强调“一正二定三相等”条件，通过课时精练实现考点突破，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效规划复习，提升冲刺效果。

基本不等式 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立. (3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. a=b 2.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 . (2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最 大值 . 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 2 S2 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≤成立的条件是相同的.(　　) (2)y=x+的最小值是2.(　　) (3)y=x(2-x)的最大值是1.(　　) (4)若x>0，y>0且x+y=xy，则xy的最小值为4.(　　) 自主诊断 × × √ √ 2.(2025·延庆模拟)已知x<0，则y=1+2x+的最大值为　 　，当且仅当x= 　 　时取得最大值.  解析　y=1+2x+=1-2≤1-2×2=-3， 当且仅当(-x)2=1，即x=-1时等号成立， 故y=1+2x+的最大值为-3，此时x=-1. -3 -1 3.(多选)下列命题正确的是 A.若x<0，则x+≤-2 B.若x>0，则x-≤-2 C.若x∈R且x≠0，则≥2 D.x2+≥1 √ √ √ 解析　当x<0时有-x>0， 则x+=-≤-2=-2， 当且仅当-x=，即x=-1时等号成立，A选项正确； 当x>0时，y=x-单调递增，其值域为R，B选项错误； 若x∈R且x≠0，则=|x|+≥2=2， 当且仅当|x|=，即x=-1或x=1时等号成立，C选项正确； 解析　x2+=x2+1+-1≥2-1=1， 当且仅当x2+1=，即x=0时等号成立，D选项正确. 4.已知x>0，y>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为　 　.  8 解析　方法一　由x>0，y>0，2x+y=xy， 可得y=>0，则x>1， 则2x+y=2x+== =2(x-1)++4 ≥2+4=8， 当且仅当2(x-1)=，即x=2时，等号成立， 所以2x+y的最小值为8. 解析　方法二　由x>0，y>0，2x+y=xy，得+=1， 所以2x+y=(2x+y)=++4≥2+4=8， 当且仅当=，2x+y=xy， 即x=2，y=4时，等号成立， 所以2x+y的最小值为8. 1.灵活应用两个基本不等式的变形公式 (1)+≥2(a，b同号，当且仅当a=b时，等号成立)； (2)≤≤≤(a>0，b>0，当且仅当a=b时，等号成立). 2.谨防两个易误点 (1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误. (2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值. 微点提醒 返回 探究核心题型 例1　(1)(多选)下列说法不正确的是 A.若a，b∈R，且ab>0，则a+b≥2 B.x+的最小值是4 C.+的最小值为2 D.存在a，使得a+<2成立 题型一　基本不等式的理解及常见变形 √ √ √ 解析　选项A，若a，b均为负数，不等式不成立，故A错误； 对于B，当x>0时，x+≥2=4(当且仅当x=2时取等号)，当x<0时， x+=-≤-2=-4(当且仅当x=-2时取等号)，故B错误； 对于C，y=+≥2，等号成立的条件是=，即x2+2=1，显然不能取到，故C错误； 对于D，存在a=-1，使得a+<2成立，故D正确. (2)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是 A.b>>a>　　　B.b>>>a C.b>>>a　　　D.b>a>> √ 解析　∵0<a<b，∴2b>a+b， ∴b>>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a. 故b>>>a. 基本不等式的常见变形 (1)ab≤≤. (2)≤≤≤(a>0，b>0). 思维升华 跟踪训练1　(1)已知p：a>b>0，q：>，则p是q成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析　∵a>b>0，则a2+b2>2ab， ∴2(a2+b2)>a2+b2+2ab， ∴2(a2+b2)>(a+b)2， ∴>，∴由p可推出q； 当a<0，b<0时，q也成立， 如a=-1，b=-3时，=5>=4， ∴由q推不出p， ∴p是q成立的充分不必要条件. (2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是 A.4ab≤(a+b)2　　　 B.≤ C.≤　　　 D.ab≤ √ √ √ 解析　A选项，4ab-(a+b)2=-(a-b)2≤0，即4ab≤(a+b)2，故A选项正确； B选项，当a+b>0时，>0，则-== ≤0恒成立，即≤恒成立，当a+b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确； 解析　C选项，当a+b>0时，2ab-=≤0，即2ab≤，≤恒成立， 当a+b<0时，2ab-=≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误； D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确. 例2　(1)(苏教版必修第一册P61习题3.2 T2改编)设x>0，y>0，且xy=4，则+的最小值为　 　.  题型二　利用基本不等式求最值 命题点1　直接法 1 解析　∵x>0，y>0，且xy=4， ∴+≥2=2=1， 当且仅当即x=y=2时，等号成立， ∴+的最小值为1. (2)(人教B版必修第一册P78例4改编)已知x∈(-1，3)，则y=(1+x)(3-x)的最大值为　　　，此时x=　　　.  4 1 解析　当x∈(-1，3)时，1+x>0，3-x>0. 由基本不等式可得≤=2， 从而(1+x)(3-x)≤4，即y≤4. 当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立. 从而当x=1时，y取得最大值4. 例3　(1)(2025·吉林模拟)已知x>3，则y=+2x的最小值是 A.6　　　B.8　　　C.10　　　D.12 命题点2　配凑法 √ 解析　由x-3>0，则y=+2(x-3)+6≥2+6=10， 当且仅当=2(x-3)，即x=4时等号成立，故最小值为10. (2)(2026·渭南模拟)已知0<x<1，则x(4-3x)的最大值为　 　.  解析　当0<x<1时，0<3x<3，4-3x>0， 故x(4-3x)=×3x(4-3x)≤=， 当且仅当3x=4-3x，即x=时取等号， 故x(4-3x)的最大值为. 例4　(1)(2025·宣城模拟)已知正实数a，b满足2a+b=4，则+的最小值是 A.+　　　 B.4 C. D.+ 命题点3　常数代换法 √ 解析　设x=a+2，y=b，则a=x-2，b=y， 故2x+y=8，其中x>2，y>0， +=(2x+y)=， 由+≥4， 当且仅当=，且2x+y=8， 即x=4(2-)，y=8(-1)时等号成立， 此时满足x>2，y>0， 故+的最小值为×(6+4)=+. (2)(2025·上海)设a，b>0，a+=1，则b+的最小值为　　　.  解析　易知b+==ab++2≥2+2=4， 当且仅当ab=1，即a=，b=2时取等号，此时b+取得最小值4. 4 例5　已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是 A.　　　B.　　　C.2　　　D.3 命题点4　消元法 √ 解析　因为实数x，y满足3xy+y2=1，y>0， 所以x=， 则2x+y=+y=+≥2=， 当且仅当=，即y=时，等号成立， 所以2x+y的最小值是. 例6　(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则 A.x+y≤1　　　 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2　　　 D.x2+y2≥1 命题点5　构造不等式法 √ √ 解析　因为ab≤≤(a，b∈R)， 由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3， 解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确； 由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤， 解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确； 解析　方法一　因为x2+y2-xy=1可变形为+y2=1， 设x-=cos θ，y=sin θ， 所以x=cos θ+sin θ，y=sin θ， 因此x2+y2=cos2θ+sin2θ+sin θcos θ =1+sin 2θ-cos 2θ+ =+sin∈，所以D错误. 解析　方法二　因为x2+y2≥-2xy， 所以-xy≤， 所以1=x2+y2-xy≤x2+y2+=(x2+y2)， 则x2+y2≥，当且仅当x=-y=±时等号成立，所以D错误. 方法三　当x=，y=-时满足x2+y2-xy=1， 但是x2+y2≥1不成立，所以D错误. 例7　(2026·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则的最小值为 A.12　　　 B.3+2 C. D. 命题点6　齐次化法 √ 解析　由x+y=2，则= ===++， ∵x，y为正实数，∴>0，>0， ∴++≥2+=， 当且仅当=，即x=，y=时，等号成立. 故的最小值为. 利用基本不等式求最值时需注意 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有六种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法；六是齐次化法. 思维升华 跟踪训练2　(1)(多选)下列说法正确的是 A.y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4 B.函数y=(x>-1)的最小值为2 C.已知x+y=1，x>0，y>0，则+的最小值为 D.若正数m，n，满足m+n=2，则+的最大值为2 √ √ √ 解析　当x>0时，y=2-3x-=2-≤2-2=2-4，当且仅当3x=，即x=时，等号成立，所以y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4，故A正确； 因为x>-1，则x+1>0， 所以y===x+1++1≥2+1=3，当且仅当x+1=， 即x=0时，等号成立，故B错误； 解析　因为x+y=1，x>0，y>0， 所以+=+=++≥+2=， 当且仅当=，即x=，y=时，等号成立，故C正确； 由(+)2=m+n+2=2+2≤2+(m+n)=4，当且仅当m=n=1时等号成立， 则+的最大值为2，故D正确. (2)已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为　　　.  7 解析　∵x>0，y>0，2x+y=1， ∴===++1≥2+1=7， 当且仅当=，且2x+y=1， 即x=y=时，等号成立， ∴的最小值为7. 返回 课时精练 一、单项选择题 1.(苏教版必修第一册P61练习T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是 A.4　　　B.4　　　C.9　　　D.18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　因为m>0，n>0，mn=81， 由基本不等式得m+n≥2=18， 当且仅当m=n=9时，等号成立， 所以m+n的最小值是18. 知识过关 √ 13 14 2.若x>0，则函数y=的最小值为 A.6　　　B.7　　　C.10　　　D.11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 √ 13 14 解析　∵x>0，∴y==x++1≥2+1=11， 当且仅当x=，即x=5时，等号成立， ∴函数y=的最小值为11. 3.(2025·德阳模拟)若x>1，则函数y=2x+的最小值为 A.8　　　B.9　　　C.10　　　D.11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　若x>1，则x-1>0， 所以y=2(x-1)++2≥2+2=10， 当且仅当2(x-1)=，即x=3时等号成立. 答案 √ 13 14 4.(2026·绍兴模拟)已知a>0，b>0，且a+4b=4ab，则a+b的最小值是 A.2　　　B.+1　　　C.　　　D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 √ 解析　∵a>0，b>0，a+4b=4ab， ∴+=1， ∴a+b=(a+b)=1+++≥+2=， 当且仅当=，即a=，b=时，等号成立. 13 14 5.(2025·连云港模拟)设a>0，b>-1，且a+b=1，则+的最小值为 A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 √ 13 14 解析　因为a>0，b>-1，则b+1>0， 因为a+b=1，则a+(b+1)=2， 所以+=[a+(b+1)]= ≥=2， 当且仅当即时，等号成立， 因此+的最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 6.设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则的最大值为 A.4　　　B.2　　　C.3　　　D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 √ 13 14 解析　因为正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy， 所以==≤=1， 当且仅当=(x>0，y>0)，即x=y时，等号成立，故的最大值为1. 二、多项选择题 7.下列说法正确的是 A.函数y=2x+(x<0)的最大值是-4 B.函数y=的最小值是2 C.函数y=x+(x>-2)的最小值是6 D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 √ √ 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　A选项，对于函数y=2x+(x<0)， 2x+=-≤-2=-4， 当且仅当-2x=，即x=-1时等号成立，所以A选项正确； B选项，y==+≥2=2， 当=时，无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误； 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　C选项，对于函数y=x+(x>-2)，x+2>0， x+=x+2+-2≥2-2=6， 当且仅当x+2=，即x=2时等号成立，所以C选项正确； D选项，由基本不等式得≥， 所以x2+y2≥2·=2×22=8， 当且仅当x=y=2时等号成立，所以D选项正确. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 8.(2025·苏州模拟)已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是 A.ab≤2　　　 B.+≤1 C.a2+b2≥　　　 D.3a+9b≥18 √ √ 13 14 √ 解析　ab=·a·2b≤=2，当且仅当a=2b=2时取等号，故A正确； +=(a+2b)=≥=， 当且仅当a=b=时取等号，故B错误； a2+b2=(4-2b)2+b2=5b2-16b+16=5+≥， 当b=，a=时取等号，故C正确； 3a+9b=3a+32b≥2=2=18， 当且仅当a=2b=2时取等号，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题 9.函数f(x)=的最小值为　 　.  4 解析　函数f(x)=的定义域为(1，+∞)， f(x)==+≥2=4，当且仅当=， 即x=5时取等号，故当x=5时，f(x)取得最小值，最小值为4. 13 14 10.已知a>-1，b<2，+=，则a-b的最小值为　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 9 13 14 解析　设a+1=x>0，2-b=y>0， 则+=，a-b=x+y-3=3(x+y)-3=3-3≥3-3=9. 当且仅当即x=y=6，即a=5，b=-4时等号成立. 四、解答题 11.已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求： (1)x+y的最小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解　由题意，正实数x，y满足x+y+xy=8， 由x+y=8-xy≥8-， 可得(x+y)2+4(x+y)-32≥0，解得x+y≥4， 当且仅当x=y=2时，等号成立， 故x+y的最小值为4. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 11.已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求： (2)xy的最大值； 解　方法一　因为x+y+xy=8，x>0，y>0， 所以8-xy=x+y≥2， 所以()2+2-8≤0， 所以(+4)(-2)≤0， 所以≤2，即xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，所以xy的最大值为4. 方法二　由x+y≥4，可得xy=8-(x+y)≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立， 所以xy的最大值为4. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 11.已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求： (3)x-y的取值范围. 解　由x+y+xy=8，可得y=， 由可得0<x<8，且x-y=x-=x+1-， 令t=x+1，则t∈(1，9)，构造函数f(t)=t-，t∈(1，9)，由于函数f(t)在(1，9)上单调递增， 所以f(t)的值域为(-8，8)，故x-y的取值范围为(-8，8). 13 14 12.已知下列求最小值的方法： 求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值. 解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥3(当且仅当a=b=c时等号成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，所以x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值为-2.请模仿上述例题， (1)求x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a+b+c+d≥4，当且仅当a=b=c=d时等号成立) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解　因为x∈[0，+∞)， 利用a+b+c+d≥4， 当且仅当a=b=c=d时等号成立， 得到x4+1+1+1≥4x， 所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3， 当且仅当x=1时等号成立， 即x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值为-3. 13 14 12.已知下列求最小值的方法： 求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值. 解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥3(当且仅当a=b=c时等号成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，所以x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值为-2.请模仿上述例题， (2)求x3-x，x∈[0，+∞)的最小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解　因为x∈[0，+∞)，利用a+b+c≥3， 当且仅当a=b=c时等号成立， 得到x3++≥x， 所以x3-x=x3++--x≥x--x=-， 当且仅当x=1时等号成立， 即x3-x，x∈[0，+∞)的最小值为-. 13 14 12.已知下列求最小值的方法： 求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值. 解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥3(当且仅当a=b=c时等号成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，所以x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值为-2.请模仿上述例题， (3)已知a>0，求x3-ax，x∈[0，+∞)的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解　因为x∈[0，+∞)，且a>0，利用a+b+c≥3， 当且仅当a=b=c时等号成立，得到x3++≥ax， 所以x3-ax=x3++--ax≥ax--ax=-， 当且仅当x==时等号成立， 即x3-ax(a>0)，x∈[0，+∞)的最小值为-. 13 14 能力拓展 13.(2026·重庆模拟)已知x，y均为正实数，若x+y=1，则的最小值为 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 25 解析　由x+y=1，可得y=1-x， 代入S=中， 可得S==-5×， 设t=x+，由x>0，y>0得0<x<1， 则<t<，则x=t-， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 解析　于是S=-5× =-5×=-5×， t+≥2=，当且仅当t=时，等号成立， 即当x=，y=时，S=取得最小值25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 14.若x1，x2，…，x2 026均为正实数，则x1++++…++ 的最小值为　　　.  4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 解析　原式=++…++++x1 ≥2++…++++x1 =++…++++x1 ≥2+…++++x1 =+…++++x1≥…≥+x1≥2=4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 解析　当且仅当=xi(i=1，2，3，…，2 026，xi>0)， 即x1=x2=…=x2 026=2时，等号成立， 故x1++++…++的最小值为4. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 $