1.4 基本不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”核心考点，依据高考评价体系梳理了利用基本不等式求最值（直接法、配凑法等）及实际应用两大考查方向，通过真题分析明确求最值占比60%的高频考点，归纳四大解题方法与常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题演练+技巧点拨”，如结合2020新高考Ⅰ卷多选题，用“一正二定三相等”原则指导学生突破最值求解，培养数学思维与运算能力。提能训练分基础巩固与综合提升，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，高效备战高考。

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第四讲　基本不等式 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[4] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 a>0，b>0 a＝b 算术平均数 几何平均数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 知识点二　利用基本不等式求最大、最小值问题 x＝y 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 归 纳 拓 展 常用的几个重要不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 题组二　走进教材 2．(必修1习题2.2 T1(2)改编)若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) C．9 D．18 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　4 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 6．(多选题)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 考点突破 · 互动探究 返回导航 利用基本不等式求最值——多维探究 角度1　直接法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师点拨： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”． 1．“一正”就是各项必须为正数． 2．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值． 3．“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 角度2　配凑法 A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师点拨：配凑法求最值的技巧 1．用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等.“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性． 2．求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如本例中的2题的关键是变形，凑出和为常数． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 角度3　常数代换法 1．(2026·四川成都石室中学开学考)若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋3b)，则a＋b的最小值为(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师点拨：用常数代换法求最值的步骤 1．根据已知条件或其变形确定定值(常数)． 2．把确定的定值(常数)变形为1. 3．把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式． 4．利用基本不等式求解最值． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 角度4　消元法 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. [答案]　6 [解析]　解法一：(换元消元法) 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号.即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108 ≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [引申]本例条件不变，求xy的最大值． 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， ∴xy的最大值为3. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师点拨： 要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 【变式训练】 1．(角度1)(2025·沧州七校联考)下列函数中最小值为4的是(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 A．6 B．8 C．10 D．12 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 A．4 B．6 C．8 D．10 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 4．(角度4)(2026·聊城一中月考)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(　　) A．1 B．3 C．6 D．12 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 利用基本不等式解决实际问题——师生共研 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师点拨：利用基本不等式解决实际问题的策略 1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． 3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 【变式训练】 (2025·广西适应性考试)现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100 g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总质量(　　) A．等于200 g B．大于200 g C．小于200 g D．以上都有可能 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 柯西不等式 柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1．柯西不等式的代数形式 设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 2．柯西不等式的向量形式 设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．柯西不等式的三角不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 利用柯西不等式求最值 1．若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师点拨：柯西不等式求解最值的策略 关键是构建条件与结论之间的联系，通过合理的恒等变形与配凑转化，使之符合柯西不等式的结构，利用柯西不等式来转化所求的代数关系式，联系条件来确定对应的最值问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 提能训练　练案[4] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．下列不等式证明过程正确的是(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 2．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 A．6 B．12 C．2 D．4 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 A．24 B．28 C．32 D．36 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 A．2 B．3 C．4 D．5 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 二、多选题 9．(2026·四川泸州模拟)若a，b∈R，则(　　) C．a2＋2b2≥2|ab| D．a2＋b2≥2(a＋b－1) [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 10．(2025·山东一模)若正数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　) [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 11．(2026·浙江阶段练习)已知两个正实数a，b满足ab＝2a＋b，则下列不等式一定成立的有(　　) A．ab的最小值是8 B．ab的最大值是8 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　3 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　9 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 15．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 2．(2026·重庆南开中学期末)已知m>1，n>1，lg m＝logn100，则mn的最小值为(　　) C．104 D．100 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 3．(多选题)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 谢谢观看 知识点一　基本不等式≤(均值定理) 1．基本不等式成立的条件：______________； 2．等号成立的条件：当且仅当________时等号成立； 3．其中叫做正数a，b的______________，叫做正数a，b的______________. 1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当________时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”) 2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”) (1)a＋b≥2(a>0，b>0)．(当且仅当a＝b时取等号) (2)ab≤2(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号) (3)2≤(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号) (4)＋≥2(a，b同号)．(当且仅当a＝b时取等号)． (5)≤≤≤(a，b>0当且仅当a＝b时取等号)． (1)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　　) (2)y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函数f(x)＝sin2 x＋的最小值等于4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) A．4 B．4 [解析]　∵m>0，n>0，∴m＋n≥2＝18.当且仅当m＝n＝9时取等号．故选D． 3．(必修1P49T5改编)已知x>0，则2＋3x＋的最小值等于(　　) A．4 B．2＋2 C．2＋4 D．2 [解析]　∵x>0，∴3x＋≥2＝4，当且仅当x＝时取等号，因此2＋3x＋的最小值为2＋4.故选C． 4．(必修1习题2.2 T1(1)改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 [解析]　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3. 题组三　走向考场 5．(2025·上海卷)设a，b>0，a＋＝1，则b＋的最小值为________. [解析]　易知b＋＝＝ab＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当ab＝1，即a＝，b＝2时取得最小值．故答案为4. A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ [解析]　由a>0，b>0，a＋b＝1，得≥2＝，即a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时取等号，故A正确；由a>0，b>0，a＋b＝1，得a－b＝2a－1>－1，故2a－b>，故B正确；log2a＋log2b＝log2(ab)≤log22＝log22＝－2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C错误；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，得＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确． (2025·天津模拟)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________. [答案]　2 [解析]　因为a>0，b>0，所以＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2.当且仅当即a＝b＝时等号成立，故＋＋b的最小值为2. 1．若x<，则f(x)＝3x＋1＋有(　　) [解析] ∵x<,∴3x－2<0.f(x)＝3x－2＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝－3，当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”．故f(x)＝3x＋1＋有最大值－3.故选C． 2．(2026·沈阳模拟)若0<x<，则y＝x的最大值为________. [答案]　 [解析]　∵0<x<，∴y＝x＝＝≤ ·＝，当且仅当4x2＝1－4x2，即x＝时取等号，则y＝x的最大值为. A．4 B．4＋2 C．6 D．3＋3 [解析]　lg a＋lg b＝lg(a＋3b)⇒lg(ab)＝lg(a＋3b)⇒ab＝a＋3b，两边同除以ab，得＋＝1，(构造常数“1”)；∴a＋b＝(a＋b)·＝＋1＋＋3＝＋＋4≥2＋4＝2＋4.当且仅当＝，即a＝b时，取“＝”，故a＋b的最小值为4＋2. 2．已知正数a，b满足a＋2b＝3恒成立，则＋的最小值为(　　) A． B． C．2 D．3 [解析]　由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4，于是＋＝·＝≥＝，当且仅当＝，且a>0，b>0，即a＝，b＝时，等号成立．所以＋的最小值为. 由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·2， 解法二：(代入消元法) 由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥ 2－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6. [解析]　解法一：9－xy＝x＋3y≥2， ∴9－xy≥2， 令＝t，∴t>0， ∴9－t2≥2t，即t2＋2t－9≤0， 解得0<t≤， ∴≤，∴xy≤3， 解法二：∵x＝， ∴x·y＝·y＝ ＝ ＝－3(y＋1)－＋15≤－2＋15＝3. 当且仅当3(y＋1)＝，即y＝1，x＝3时取等号． ∴xy的最大值为3. A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋ [解析]　y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，A不符合题意；y＝|sin x|＋，令t＝|sin x|，则y＝t＋，t∈(0，1]．由于y＝t＋在区间(0，1]上单调递减，因此y≥1＋4＝5，最小值是5，B不符合题意；y＝2x＋22－x＝2x＋，2x∈(0，＋∞)，所以y≥2＝4，当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，C符合题意；当x∈(0，1)时，ln x<0，y＝ln x＋<0，D不符合题意．故选C． 2．(角度2)(2026·许昌模拟)已知x>1，则的最小值为(　　) [解析]　因为x>1，所以x－1>0，＝＝x－1＋2＋≥2＋2＝6，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立． 3．(角度3)(2025·山东日照一模)点A(2，1)在直线l：mx＋ny＝1上，且mn>0，则＋的最小值为(　　) [解析]　由点A(2，1)在直线l：mx＋ny＝1上，得2m＋n＝1.∵mn>0，∴＋＝(2m＋n)＝2＋＋＋2＝4＋＋≥4＋2＝4＋2＝8，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．故＋的最小值为8.故选C． [解析]　∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝＋≥2＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号．故选B． (2025·江西部分学校一模)某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单位：万元)与隔热层的厚度h(单位：厘米)满足关系：N(h)＝(0≤h≤10)．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设F(h)为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使F(h)达到最小值的隔热层的厚度h＝________厘米． [答案]　 [解析]　由题意及N(h)＝，可得N(0)＝＝10，即m＝40，∴N(h)＝.隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和F(h)＝30N(h)＋9h＝＋9h＝＋3(3h＋4)－12≥2－12＝108(万元)，当且仅当＝3(3h＋4)，即h＝厘米时F(h)达到最小值． [解析]　设天平左臂长为m，右臂长为n.m，n>0且m≠n，左盘放的药品质量为x1克，右盘放的药品质量为x2克，则解得x1＝，x2＝，x1＋x2＝＋≥2＝200，当且仅当＝，即m＝n时取等号，而m≠n，故等号无法取得，所以x1＋x2>200.故选B． 推广：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立． 设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则＋≥.　 A．14　　 B．　　 C．1　　 D． [解析]　根据柯西不等式：(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．故选B． 2．函数f(x)＝2＋的最大值及取得最大值时x的值分别为(　　) A．， B．， C．， D．， [解析]　由柯西不等式可知，(2＋)2≤(22＋12)[()2＋()2]＝5，所以2＋≤，当且仅当2＝，即x＝时取等号，故函数f(x)＝2＋的最大值及取得最大值时x的值分别为，. 【变式训练】 1．已知x>0，y>0，＋y2＝1，则x＋y的最大值是________. [解析]　由柯西不等式得(12＋12)≥2＝2，所以1×2≥2，当且仅当＝y，即x＝，y＝时等号成立，所以　　＋y≤，即x＋y的最大值是2. 2．函数y＝2＋的最大值为________. [答案]　 [解析]　因为y＝2＋＝＋＋≤ ·＝，当且仅当＝，即x＝时等号成立，所以函数y的最大值为. A．若a，b∈R，则＋≥2＝2 B．若x>0，y>0，则lg x＋lg y≥2 C．若x<0，则x＋≥－2＝－4 D．若x<0，则2x＋2－x>2＝2 [解析]　∵，可能为负数，如＝＝－1时，＋＝－2，∴A错误；∵lg x，lg y可能为负数，如lg x＝lg y＝－1时，lg x＋lg y＝－2，2＝2，∴B错误；∵x<0，<0，如x＝－1，＝－4时，x＋＝－5<－4，∴C错误；∵x<0，2x∈(0，1)，2－x>1，∴2x＋2－x>2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0等号成立，∴D正确． A．a2＋b2>2ab B．＋≥ C．a＋b> D．＋≤ [解析]　当a＝b时a2＋b2＝2ab，故A错误；取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6<＝8＝，＋＝2＋4＝6>＝4＝，故B、D错误；由基本不等式可得a＋b≥2>，故C正确．故选C． 3．(2026·全国模拟)已知x，y为正数，则的最小值为(　　) A．4 B．3 C．3 D．2 [解析]　由x，y均为正数，则＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即y＝x时取等号，故的最小值为2.故选D． 4．(2025·河北保定二模)已知x，y是非零实数，则＋的最小值为(　　) [解析]　＋≥2＝6，当且仅当＝，即|y|＝|x|>0，等号成立，所以＋的最小值为6，故选A． 5．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝(　　) [解析]　因为x>0，a>0，所以f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36.故选D． 6．(2026·辽宁模拟)已知x∈(0，＋∞)，则y＝x＋＋的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D． [解析]　由x∈(0，＋∞)，得2x＋1>1，又y＝x＋＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝时等号成立．故选A． 7．(2026·安徽黄山质检)已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是(　　) [解析]　由题意知，f(x)＝＝＝x＋1＋＋1，因为x>0，所以x＋1>0，则x＋1＋＋1≥2＋1＝5，(当且仅当x＋1＝，即x＝1时取“＝”) 故f(x)的最小值是5. 8．(2026·河北沧州模拟预测)已知正实数m，n满足mn＝2，则＋＋的最小值为(　　) A．2 B．3 C．3 D．4 [解析]　根据题意，mn＝2，可得n＝，则＋＋＝＋m＋，设＋m＝t，则t≥2，原式为t＋≥2＝3，当且仅当t＝时等号成立，故选C． A．a2＋b2≥－2ab B．a＋b≥2 [解析]　用－b替代a2＋b2≥2ab中的b，得到a2＋b2≥－2ab，当且仅当a＝－b时取等号，故A正确；取a＝b＝－2，则a＋b＝－4<2＝4，故B错误；a2＋2b2≥a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a|·|b|＝2|ab|，当且仅当a＝b＝0时取等号，故C正确；因为a2＋1≥2a，b2＋1≥2b，所以a2＋1＋b2＋1≥2a＋2b，即a2＋b2≥2(a＋b－1)，当且仅当a＝b＝1时取等号，故D正确．故选ACD． A．ab有最大值 B．＋有最小值4 C．＋有最小值 D．a2＋b2有最小值 [解析]　因为正数a，b满足a＋b＝1.ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，ab取得最大值，故A正确；＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝b＝时取等号，＋取得最小值4，故B正确；由A知ab有最大值，则有最大值，则(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，当且仅当a＝b＝时取等号，＋取得最大值，故C错误；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥，当且仅当a＝b＝时取等号，a2＋b2取得最小值，故D正确．故选ABD． C．a＋b的最小值是3＋2 D．a＋b的最大值是3＋2 [解析]　由ab＝2a＋b≥2，所以(ab)2≥8ab，所以ab≥8，当且仅当2a＝b＝4时等号成立，故A正确，B错误；又ab＝2a＋b⇒＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝a时等号成立，即解得a＝＋1，b＝2＋，故C正确，D错误．故选AC． 三、填空题 12．(2025·山东济南三模)已知正实数a，b满足ab＝4，则＋的最小值为________. [解析]　由题设，＋≥2＝＝3，当且仅当b＝9a＝6时等号成立． 13．(1)当x>2时，x＋的最小值为________. (2)当x≥4时，x＋的最小值为________. [答案]　(1)6　(2) [解析]　(1)∵x>2，∴x－2>0.∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时“＝”成立．∴x＋的最小值为6. (2)∵x≥4，∴x－1≥3.令x－1＝t≥3，∵函数y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，∴当x－1＝3，即x＝4时，y＝(x－1)＋＋1有最小值. 14．(2026·四川眉山模拟预测)已知a，b∈(0，＋∞)，4a＋b＝1，则的最小值是________. [解析]　因为a，b∈R＋，4a＋b＝1，故＋＝(4a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，结合4a＋b＝1，即a＝，b＝时等号成立，所以＝＋≥9，即的最小值为9. [答案]　 [解析]　∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝.∴x2＋y2＝＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号．∴x2＋y2的最小值为. B组能力提升 1．(2026·全国T8数学联考)已知a>0，b>0，＝＋，则＋的最小值为(　　) A．3 B．2 C． D．1 [解析]　∵＝＋≥2，∴ab≥2，∵＋＝log2ab≥ log22＝1，∴最小值为1，此时a＝b＝. A．10 B．10 [解析]　lg m＝＝，所以lg m·lg n＝2.又因为m>1，n>1，所以lg m>0，lg n>0，则lg(mn)＝lg m＋lg n≥2＝2，当且仅当m＝n＝10 时取等号，所以mn≥10，故选B． [解析]　因为x2＋y2－xy＝(x＋y)2－3xy＝1，且xy≤，所以(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，故(x＋y)2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立．故C正确，D错误．故选BC． 4．(2025·广东二模)若x>0，y>0，且x＋y＝xy，则＋的最小值为(　　) A．2 B．2 C．3 D． [解析]　因为x＋y＝xy，即xy－x－y＋1＝1，即(x－1)(y－1)＝1，且x>0，y>0，则x>1，y>1，则＋≥2＝2＝2，当且仅当＝时，即x＝1＋，y＝1＋时，等号成立，所以＋的最小值为2.故选B． 5．(2026·高三全国专题练习)已知正实数a，b满足a＋＝7，则＋b的最小值是________. [答案]　 [解析]　由题意，得(a＋2)＋＝9，则＋b＝＝≥(3＋2)，当且仅当b(a＋2)＝，且a＋＝7，即a＝9－11，b＝时，等号成立．所以＋b的最小值是. C组拓展应用(选作) (2026·河北衡水模拟)已知正数a，b，c满足2a＋b＋3c＝8，则＋的最小值为(　　) A．2 B． C．3－1 D． [解析]　正数a,b，c满足2a＋b＋3c＝8，故2(a＋c)＋(b＋c)＝8，令a＋c＝m，b＋c＝n，故2m＋n＝8，m>0，n>0，＋＝＋＝＋＋1＝＋＋1＝＋＋1＝＋＋，＋＝(2m＋n)＝≥＝，当且仅当＝，即m＝4－4，n＝16－8时，等号成立，故＋＝＋＋≥＋＝.故选D． $