第一章 第4节 基本不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求覆盖证明过程、最值问题、实际应用三大核心考点，对接高考评价体系分析求最值（占比60%）、参数范围（25%）、实际问题（15%）的权重分布，归纳配凑法、常数代换法等常考题型，构建完整备考体系。 课件亮点在于“诊断自测+考点突破+真题精练”模式，如以2026年安徽师大附中模拟题为例，用常数代换法解决“2x+y=2求1/x+2/y最小值”，培养数学思维。含易错点分析（如多次使用不等式需等号条件一致），帮助学生掌握技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

数学 高考总 复 习 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第4节　基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在实际生活中的应用. 课标要求 索引 内容索引 知识诊断自测 01 考点聚焦突破 02 03 课时对点精练 索引 3 知识诊断自测 01 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当_____时取等号. (3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何 平均数. a=b 索引 5 2.两个重要的不等式 (1)a2+b2≥_________(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值_____. (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值______. 2ab 2 S2 索引 6 常用结论与微点提醒 1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致. 索引 7 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的.(　　) (2)函数y=x+的最小值是2.(　　) (1)不等式ab≤成立的条件是a,b∈R,≥成立的条件是a≥0,b≥0. (2)由于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),故函数y=x+无最小值. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 × × 索引 8 (3)函数y=sin x+,x∈的最小值是4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(　　) (3)由于sin x=时sin x=2无解, 故sin x+的最小值不为4. (4)“+≥2”的充要条件是“xy>0”. × × 索引 9 2.(苏教必修一P58例2改编)已知x>1,则x+的最小值为____________.  3 x+=x-1++1≥2+1=3, 当且仅当x-1=,即x=2时等号成立. 索引 10 3.(人教A必修一P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为_________.  9 由ab=a+b+3≥2+3,得ab-2-3≥0,解得≥3(≤-1舍去), 即ab≥9.当且仅当a=b=3时取等号. 索引 11 4.(北师大必修一P28实例分析)把一段长为16 cm的细铁丝弯成一个矩形,当矩形的长为____________ cm,宽为____________ cm时,面积最大.  4 设矩形的长为x cm,宽为y cm, 则x+y=8,其面积S=xy≤=16, 当且仅当x=y=4时等号成立. 4 索引 12 考点聚焦突破 02 13 例1 (1)已知0<x<2,则的最大值为____________.  因为0<x<2,所以x>0,1->0, 所以==×≤×=, 当且仅当=1-,即x=1时等号成立, 所以. 考点一　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法 索引 (2)函数f(x)=(0<x<2)的最小值为____________.  因为0<x<2,所以2-x>0, 所以f(x)===+=[x+(2-x)] =≥=, 当且仅当=,即x=时,等号成立, 所以函数f(x)的最小值为. 索引 角度2　常数代换法 A 由题可知x+=1, 所以+==1+1++≥2+2=4, 当且仅当x=,y=1时取等号.故选A. 例2 (2026·安徽师大附中模拟)已知x>0,y>0,2x+y=2,则+的最小值为(　　) A.4 B.2 C. D. 索引 角度3　消元法 C 由5m2n2+n4=1,可得n≠0,则m2=. m2+n2=≥×2=, 当且仅当4n2=,即n2=时取等号, 即n2=,m2=时,m2+n2取最小值. 故选C. 例3 (2026·福州调研)已知5m2n2+n4=1,则m2+n2的最小值为(　　) A. B. C. D. 索引 角度4　齐次化法 由x+2y=1可得, ====++8≥2+8=8+4, 当且仅当=,即x=y且x+2y=1时等号成立. 例4 已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为____________.  8+4 索引 感悟提升 利用基本不等式求数字式代数式的最值 (1)前提:“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有五种方法:一是直接法;二是配凑法;三是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;四是消元法;五是齐次化法. 索引 训练1 (1)(2025·金华调考)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为(　　) A.6 B.9 C.4 D.8 B 法一　由a+2b=ab得b=, 因为a>0,b>0,所以2a+b=2a+=2(a-2)++5≥2+5=9, 当且仅当a-2=, 即a=b=3时,等号成立. 索引 法二　因为a>0,b>0,且a+2b=ab, 所以=+=1, 因为2a+b=(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=且a+2b=ab,即a=b=3时,等号成立, 所以2a+b的最小值为9.故选B. 索引 (2)函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 因为x∈(-1,+∞),则x+1>0, 则f(x)=4x+=4(x+1)+-4≥2-4=12-4=8, 当且仅当 即x=时,等号成立, 故函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为8. B 索引 例5 (2026·运城质检)已知x,y,a>0,且x++≥8恒成立,则a的取值范围是____________.  x++≥x+2=x+≥2=4, 当且仅当=且x=, 即x=2,y=时,等号成立, 故4≥8,即a≥4, 则a的取值范围是[4,+∞). 考点二　利用基本不等式求参数值或范围 [4,+∞) 索引 感悟提升 ∀x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)min≥a;∀x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)max≤a. 索引 训练2 (1)若对于任意的x>0,不等式≥a恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.[5,+∞) B.(5,+∞) C.(-∞,5] D.(-∞,5) 令f(x)=, 由题意可得a≤f(x)min, f(x)=x++3≥2+3=5, 当且仅当x=,即x=1时等号成立,a≤f(x)min=5, 所以实数a的取值范围为(-∞,5]. C 索引 (2)已知x>0,y>0,且+=1,若2x+y<m2-8m有解,则实数m的取值范围为_________________.  (-∞,-1)∪(9,+∞) 因为x>0,y>0,且+=1, 所以2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9, 当且仅当=,且+=1,即x=y=3时取等号,此时2x+y取得最小值9, 若2x+y<m2-8m有解, 则9<m2-8m,解得m>9或m<-1, 即实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). 索引 例6 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池,其平面图如图所示.每个育苗池的底面面积为200 m2,深度为2 m,育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路.设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20),甬路的面积为S m2. 考点三　利用基本不等式解决实际问题 (1)求S与x之间的函数关系式; 由题意可得每个育苗池底面的另一边长为m, 则S=(x+4)-600=8x++32,10≤x≤20. 索引 (2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2,池底的造价为600元/m2,甬路的造价为100元/m2,若不考虑其他费用,求x为何值时,总造价最低,并求最低总造价. 设总造价为w元, 则w=200×2+600×3×200+100S=2 400x++ 360 000+800x++3 200=3 200x++363 200, 10≤x≤20, 索引 其中3 200x+≥2=96 000, 当且仅当3 200x=,即x=15∈[10,20]时,等号成立, 故w=3 200x++363 200≥459 200, 所以当x=15 m时,总造价最低,最低总造价为459 200元. 索引 感悟提升 利用基本不等式解决实际问题的注意点 (1)设变量时,一般把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)解题时,一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响. (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解,如利用f(x)=x+(a>0)的单调性. (4)在实际问题中利用基本不等式求最值时,必须指明等号成立的条件. 索引 训练3 (2025·长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比,每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算,如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心,则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小,分拣中心和货运枢纽的距离应设置为(　　) A.5 km B.6 km C.7 km D.8 km A 索引 设土地租金成本和货物运输成本分别为W1万元和W2万元,分拣中心和货运枢纽相距s km, 则W1=,W2=k2s,将s=10,W1=2,W2=8代入可得k1=20,k2=, 所以W1=,W2=s, 故W1+W2=+s≥2=8, 当且仅当s=5时取等号.故选A. 索引 若a>0,b>0,则≤≤≤.其中和分别叫做a,b的调和平 均数和平方平均数.可根据题目需要选择合适的形式. 基本不等式链 微点突破 索引 典例 (多选)设正实数a,b满足a+b=1,则(　 　) A.有最大值 B.+有最小值3 C.a2+b2有最小值 D.+有最大值 ACD 对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时,等号成立,A正确; 对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时等号成立,B错误; 索引 对于C,由≥=,得a2+b2≥, 当且仅当a=b=时等号成立,C正确; 对于D,由≤=,得+≤, 当且仅当a=b=时等号成立,D正确. 索引 课时对点精练 03 一、单选题 1.若x>0,则函数y=的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 D ∵x>0,∴y==x++1≥2+1=11, 当且仅当x=,即x=5时,等号成立, ∴函数y=的最小值为11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 2. (2026·重庆段测)已知m>1,n>1,lg m=logn 100,则mn的最小值为(　　) A.1 B.1 C.104 D.100 B 因为lg m=logn100==, 所以lg m·lg n=2. 又因为m>1,n>1,所以lg m>0,lg n>0, 则lg(mn)=lg m+lg n≥2=2,当且仅当m=n=1时取等号, 所以mn≥1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 3.设a>0,若关于x的不等式x+≥6对x∈(0,+∞)恒成立,则a的最小值是(　　) A.1 B.4 C.9 D.16 C 因为x>0, 由x+≥2=2, 当且仅当x=,即x=时取等号, 则2≥6,可得a≥9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 4.函数f(x)=x2+的最小值是(　　) A.2-2 B.1 C. D.2 C 由f(x)=x2+=x2+2+-2, 令x2+2=t(t≥2),则有f(t)=t+-2, 由对勾函数的性质知,f(t)在[2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,f(t)min=, 即当x=0时,f(x)min=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 5. (2026·杭州部分学校联考)已知x+y=++8(x,y>0),则x+y的最小值为(　　) A.5 B.9 C.4+ D.10 B 由x+y=++8(x,y>0),得x+y-8=+, 则(x+y-8)(x+y)=(x+y) =++5≥2+5=9, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 当且仅当=,即y=2x时等号成立. 令x+y=t>0,则t(t-8)≥9, 解得t≤-1(舍去)或t≥9, 则x+y≥9,当且仅当x=3,y=6时等号成立,即x+y的最小值为9.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 6.已知x>0,y>0,x+y=1,则的最小值为(　　) A.7 B. C.+2 D.2+1 A 因为x>0,y>0,x+y=1, 则===++3≥3+2=7, 当且仅当y=2x且x+y=1,即x=,y=时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 7. (2026·济宁模拟)若a>0>b,且a-b=2,则-的最小值为(　　) A. B. C.3 D.4 B 因为a>0>b,所以-b>0, 又a-b=2,则a+1+(-b)=3, 即+=1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 故-=+= =+++≥2+=, 当且仅当a+1=-b且a-b=2,即a=,b=-时,等号成立, 故-,故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 8. (2026·南通调研)下列函数中最小值为4的是(　　 ) A.y=ln x+ B.y=2x+22-x C.y=4|sin x|+ D.y= BCD 当x=时,ln x=-1, 可得y=ln x+=-5<4, 所以y=ln x+的最小值不为4,故A错误; 二、多选题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 因为2x>0,22-x>0, 所以y=2x+22-x≥2=4, 当且仅当2x=22-x,即x=1时,等号成立, 所以y=2x+22-x的最小值为4,故B正确; y=4|sin x|+≥2·=4, 当且仅当4|sin x|=,即|sin x|=时,等号成立, 所以y=4|sin x|+的最小值为4,故C正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 因为y==+, 且≥1,则y=+≥2=4, 当且仅当=,即x=±时,等号成立, 所以y=的最小值为4,故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 9. (2026·山东省实验中学诊断)已知x,y是正数,且2x+y=1,则下列叙述正确的是(　 　) A.xy的最大值为 B.4x2+y2的最小值为 C.+的最小值为 D.+的最小值为9 ABD 由2x·y≤=,可得xy≤, 当且仅当时,等号成立, 故xy的最大值为,A正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 由1=(2x+y)2=4x2+y2+4xy≤4x2+y2+(4x2+y2)=2(4x2+y2), 可得4x2+y2≥, 当且仅当时,等号成立,故4x2+y2的最小值为, B正确; 由(+)2=2x+y+2≤2x+y+(2x+y)=2(2x+y)=2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 可得+≤,当且仅当时,等号成立, 故+,C错误; 因为+=(2x+y)=5++≥5+2=9, 当且仅当即x=y=时,等号成立,故+的最小值为9,D正确. 故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 10.已知正数x,y满足x+y=1,若不等式+>m对任意正数x,y恒成立,则实数m的取值范围为____________.  (-∞,9) 因为x>0,y>0, 所以+=(x+y)=5++≥5+4=9, 当且仅当y=2x且x+y=1,即x=,y=时取等号, 所以实数m的取值范围为(-∞,9). 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 11.设双曲线-=1(a>0)的离心率为e,则e2+a2的最小值为____________.  4 双曲线-=1(a>0)的离心率为e=, e2+a2=+a2=2++a2≥2+2=4, 当且仅当=a2,即a=1时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 12. (2026·天津部分重点校联考)已知a>b>0,+=1,则3a-b的最小值为____________.  4+10 ∵a>b>0,∴a+b>0,a-b>0. 由+=1,可得+=1, ∴3a-b=(a+b)+2(a-b) =[(a+b)+2(a-b)]=10++ ≥10+2=10+4, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 当且仅当=+=1, 即a=4+,b=2+时取等号, 则3a-b的最小值为4+10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 13.已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求: (1)xy的最大值; 因为x>0,y>0, 根据基本不等式,30=x+2y+xy≥2+xy(当且仅当x=2y=6时取等号), 令=t(t>0),则t2+2t-30≤0, 解得-5≤t≤3,又t>0, 所以0<t≤3,即0<≤3, 所以0<xy≤18,故xy的最大值为18. 四、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 (2)2x+y的最小值. 由x+2y+xy=30可知, y=>0,0<x<30, 2x+y=2x+=2(x+2)+-5≥2-5=11, 当且仅当2(x+2)=,即x=2时取等号, 所以2x+y的最小值为11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 14.某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3 m,底面为24 m2,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的背面靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左、右两面墙的长度为x m(3≤x≤6). (1)当左、右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价; 设甲工程队的总报价为y元,则y=3+14 400= 1 800+14 400≥1 800×2+14 400=28 800, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 当且仅当x=, 即x=4时等号成立. 故当左、右两侧墙的长度为4 m时,甲工程队的报价最低为28 800元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左、右两面墙的长度为多少,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围. 由题意可得1 800+14 400>,对任意的x∈[3,6]恒成立, 故>,从而>a恒成立, 令x+1=t,则==t++6,t∈[4,7].令g(t)=t++6, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 则g(t)在t∈[4,7]上单调递增, 故g(t)min=12.25, 又a>0,故0<a<12.25. 所以a的取值范围为(0,12.25). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 本课结束 $