专题四 正方形、三角形的中位线与梯形（8大题型）（期末复习）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 以正方形、梯形及中位线为核心，通过“性质-判定-应用”逻辑链整合知识，提炼转化、构造中位线等解题方法，典例覆盖中考高频题型。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正方形性质与判定|2考点/4典例|矩形+邻边相等、菱形+直角的判定法；性质综合应用|整合平行四边形、矩形、菱形性质，形成概念包含关系| |中位线与中点四边形|2考点/4典例|三角形中位线平行且等于第三边一半；中点四边形形状由对角线关系决定|从三角形中位线推导梯形中位线，体现转化思想| |梯形性质与判定|4考点/8典例|等腰梯形“两底角相等、对角线相等”性质；添加辅助线（作高、平移腰）|通过梯形与三角形、平行四边形转化，构建图形转化体系|

期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题四 正方形、三角形的中位线与梯形 考点一：正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【典例精讲】（2026•北京二模）如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AE，BD相交于点F，DF＝DE．若AB＝1，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得出AB＝AD＝CD＝1，AB∥CD，∠BAD＝90°，继而推出∠BAF＝∠DEF，再根据等边对等角得出∠DFE＝∠DEF，即可推出∠BAF＝∠BFA，于是BF＝BA＝1，再根据勾股定理求出BD的长，即可得出DF的长，即得出DE的长，再根据CE＝CD﹣DE计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD＝1，AB∥CD，∠BAD＝90°， ∴∠BAF＝∠DEF， ∵DF＝DE， ∴∠DFE＝∠DEF， ∴∠BAF＝∠DFE， ∵∠DFE＝∠BFA， ∴∠BAF＝∠BFA， ∴BF＝BA＝1， 在Rt△BAD中，由勾股定理得BD， ∴DF＝BD﹣BF1， ∴DE1， ∴CE＝CD﹣DE， 故选：A． 【变式训练1】（2026•广州一模）如图，正方形ABCD的边长为4，以CD为边在正方形外作等边三角形PCD，连接PA，PB，则△PAB的面积为（　　） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点P作PE⊥CD于点E，延长PE交AB于点F，容易证明四边形BFEC是矩形，则EF＝BC＝4，由等边三角形的性质可得PC＝CD＝4，，由勾股定理可得，则，利用三角形面积公式进行计算即可． 【解答】解：如图，正方形ABCD的边长为4，过点P作PE⊥CD于点E，延长PE交AB于点F， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝AB＝4， ∵PE⊥CD， ∴∠PEC＝∠FEC＝90°， ∴四边形BFEC是矩形， ∴EF＝BC＝4， ∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝CD＝4，， 在直角三角形CEP中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练2】（2026春•香洲区校级期中）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，作PE⊥BD．连接AE，EC． （1）当∠DAE＝25°时，求∠AEC的度数； （2）当∠PBC＝15°时，DP＝6，请直接写出正方形ABCD的边长为 　　 ． 【分析】（1）由三角形外角性质得∠AEB＝70°，证明△ABE和△CBE全等得∠AEB＝∠CEB＝70°，据此可得∠AEC的度数； （2）证明△PDE是等腰直角三角形得DE＝PE，由勾股定理得DE＝PEDP，在Rt△PBE中，根据∠PBE＝∠CBE﹣∠PBC＝30°DEPB＝2PE，再由勾股定理得BE，由此得BD＝BE+DE，然后在△BCD中，由勾股定理得CBBD，据此可得正方形ABCD的边长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝CD，∠ABE＝∠CBE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，∠BCD＝90°， ∵∠DAE＝25°， ∴由三角形外角性质得：∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝70°， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠AEB＝∠CEB＝70°， ∴∠AEC＝∠AEB+∠CEB＝140°； （2）∵PE⊥BD， ∴∠PED＝∠PEB＝90°， 又∵∠CDE＝45°， ∴△PDE是等腰直角三角形， ∴DE＝PE， 由勾股定理得：DPDE， ∵DP＝6， ∴DE＝PEDP， ∵∠CBE＝45°，∠PBC＝15°， ∴∠PBE＝∠CBE﹣∠PBC＝30°， 在Rt△PBE中，∠PBE＝30°，∠PEB＝90°， ∴PB＝2PE， 由勾股定理得：BE， ∴BD＝BE+DE 在△BCD中，CB＝CD，∠BCD＝90°， 由勾股定理得：BD＝CB2+CD2＝√2CB， ∴CBBD， ∴正方形ABCD的边长为，． 故答案为：，． 考点二：正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 【典例精讲】（2026•庐江县模拟）如图，在四边形ABCD中，BA＝DA，BC＝DC，对角线AC与BD相交于点O．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（　　） A．若补充“∠BAD＝90°”，则四边形ABCD是矩形 B．若补充“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形 C．若补充“OA＝OC”，则四边形ABCD是矩形 D．若补充“AC＝BD”，则四边形ABCD是正方形 【答案】B 【分析】根据AB＝AD，BC＝DC，可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：当添加“∠BAD＝90°”，无法证明四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； ∵AB＝AD，BC＝DC， ∴AC垂直平分BD， 当添加：“AB∥CD”，则∠ABD＝∠BDC， ∵∠BDC＝∠DBC， ∴∠ABO＝∠CBO， 又∵BO＝BO，∠BOA＝∠BOC， ∴△ABO≌△CBO（ASA）， ∴BA＝BC， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形，故选项B符合题意； 当添加条件“OA＝OC”时， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； 当添加条件AC＝BD时，四边形ABCD是矩形， 故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】（2026春•江汉区期中）下列条件， ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； ③对角线相等的菱形是正方形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 其中能判定四边形为正方形的有①②③④⑤， 故选：D． 【变式训练2】（2026春•宝山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，过点A作AE平行于BC，且AE＝CD，连接BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形． （2）当∠ABC＝45°时，求证：四边形AEBD是正方形． 【分析】（1）易证得四边形AEBD是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，从而得出结论； （2）易证得△ADB是等腰直角三角形，进而得到BD＝AD，从而得出结论． 【解答】（1）证明：∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵AE＝CD， ∴AE＝BD， ∵AE∥BC， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵点D是BC的中点，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）解：由（1）知四边形AEBD是矩形， 在Rt△ADB中，∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝45°＝∠ABD， ∴BD＝AD， ∴当∠ABC＝45°时，矩形AEBD是正方形． 考点三：三角形的中位线 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DEBC． 【典例精讲】（2026春•东昌府区期中）如图，在四边形ABCD中，M是AD上一动点，N是AB上一定点，连接CM，MN，E，F分别是CM，MN的中点．当点M从点A向点D移动时，关于线段EF的长度，下列结论一定正确的是（　　） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 【分析】连接CN，根据三角形中位线的性质即可求解． 【解答】解：如图，连接CN， ∵E，F分别是CM，MN的中点， ∴， ∵点N是AB上一定点， ∴CN的长度不变， ∴EF的长度不改变． 故选：C． 【变式训练1】（2026春•西城区校级期中）如图，△ABC中，N是边BC上一点，连接AN，D，E分别是AN，AC的中点，连接BD，BD⊥AN，AB＝6，BC＝8，则DE＝（　　） A．2 B． C．1 D． 【分析】根据“过线段中点且垂直于该线段的直线是线段的垂直平分线”，可判定 BD垂直平分 AN，进而得到 BN＝AB；再利用三角形中位线定理，即可求出 DE的长度． 【解答】解：∵D是AN中点且BD⊥AN，AB＝6，BC＝8， ∴BD垂直平分AN， ∴BN＝AB＝6， ∴CN＝BC﹣BN＝8﹣6＝2， ∵D，E分别是AN，AC的中点， ∴DE是△ANC的中位线， ∴． 故选：C． 【变式训练2】（2026春•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，AH⊥BC于H．求证：∠DHF＝∠DEF． 【分析】证明四边形DEFA为平行四边形，根据平行四边形的性质解答． 【解答】证明：∵D、E分别为AB、BC中点， ∴DE∥AC，DEAC， ∵F为AC中点， ∴AFAC， ∴DE＝AF， ∴四边形DEFA为平行四边形， ∴∠DEF＝∠BAC， ∵DHAB＝AD， ∴∠BAH＝∠DHA， ∵F为AC中点，∠AHC＝90°， ∴FHAC＝AF， ∴∠HAC＝∠AHF， ∴∠DHA+∠AHF＝∠DAH+∠FAH， 即∠DHF＝∠BAC， ∴∠DHF＝∠DEF． 考点四：中点四边形 中点四边形：依次连接四边形四边中点所得的四边形叫做中点四边形． 特征：中点四边形的形状由四边形的对角线位置关系和数量关系确定 【结论1】如图1、四边形ABCD为任意四边形，则四边形EFGH是平行四边形． 图1 图2 图3 图4 【结论2】如图2、四边形ABCD对角线AC⊥BD，则中点四边形EFGH是矩形． 【结论3】如图3、四边形ABCD对角线AC=BD,则中点四边形EFGH是菱形． 【结论4】如图4、四边形ABCD对角线AC=BD，AC⊥BD则中点四边形EFGH是正方形． 【典例精讲】（2025春•赣榆区期中）顺次连接菱形四边的中点，得到的四边形是（　　） A．矩形 B．平行四边形 C．正方形 D．无法断定 【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EF⊥FG，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断． 【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF∥AC且EFAC， 同理，GH∥AC且GHAC， ∴EF∥GH且EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD， ∴EF⊥FG， ∴平行四边形EFGH是矩形． 故选：A． 【变式训练1】（2025秋•未央区校级月考）顺次连接下列各图形的中点，构成的图形一定是正方形的为（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线互相垂直的等腰梯形 【分析】根据各四边形的性质及正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，对各个选项进行分析． 【解答】解：顺次连接下列各图形的中点，构成的四边形的两组对边分别平行于原图形的对角线，且每组边等于相对的对角线的一半，可判定为平行四边形，当原图形的对角线互相垂直时，又可判定为菱形，而等腰梯形的对角线相等，所以可判定为正方形，故选D． 【变式训练2】（2025春•铁锋区期末）下列说法：①顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分；④对角线互相垂直相等的四边形是正方形．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据菱形的判定方法，矩形、菱形的性质以及平行四边形的性质逐项进行判断即可． 【解答】解：①顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，因此①正确； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此②不正确； ③经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，因此③正确； ④对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形，因此④不正确； 综上所述，正确的有①③，共2个． 故选：B． 考点五：等腰梯形的性质 （1）性质： ①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线； ②等腰梯形同一底上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等． （2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质． 【典例精讲】（2026春•亭湖区期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60°，DE∥AB，梯形ABCD的周长是25cm，则DE等于（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝DE，AD＝BE，根据等边三角形的性质得到CD＝CE，再根据梯形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED为平行四边形， ∴AB＝DE，AD＝BE， ∵AB＝DC， ∴DE＝DC， ∵DE∥AB，∠B＝60°， ∴∠DEC＝∠B＝60°， ∴△DEC为等边三角形， ∴CD＝CE， ∴AB＝BE＝EC＝DC＝AD， ∵梯形ABCD的周长是25cm， ∴AB＝5cm， ∴DE＝AB＝5cm， 故选：C． 【变式训练1】（2026春•常州期中）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若∠A＝110°，则∠C＝　70°　 ． 【分析】先根据平行线性质得到∠A与∠B互补，求出∠B的度数，再根据等腰梯形同一底上的两个角相等得到∠C的度数． 【解答】解：由等腰梯形的性质可知：∠A+∠B＝180°，∠B＝∠C， ∵∠A＝110°， ∴∠B＝180°﹣110°＝70°， ∴∠C＝∠B＝70°． 故答案为：70°． 【变式训练2】（2026•浙江模拟）如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（AB＝CD，AD∥BC，AD≠BC），某同学想知道该杯子最大盛水高度（即C到AD的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：AC＝AD＝13cm，CD＝10cm．请帮该同学计算： （1）杯子最大盛水高度； （2）内底面的直径（BC的长度）． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD于F，设AF＝xcm，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，再根据勾股定理求出CF； （2）过点B作BE⊥AD于E，根据矩形的性质得到BC＝EF，计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点C作CF⊥AD于F， 设AF＝xcm，则DF＝（13﹣x）cm， 在Rt△ACF中，CF2＝AC2﹣AF2， 在Rt△DCF中，CF2＝CD2﹣DF2， ∴AC2﹣AF2＝CD2﹣DF2，即132﹣x2＝1002﹣（13﹣x）2， 解得：x， 则CF（cm）， 答：杯子最大盛水高度为cm； （2）如图，过点B作BE⊥AD于E， 则四边形EBCF为矩形， ∴BC＝EF， ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AE＝DF＝13（cm）， ∴BC＝EF＝132（cm）， 答：内底面的直径为cm． 考点六：直角梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直． 角：有两个内角是直角． 过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法． 【典例精讲】（2026春•长安区校级期中）如图所示，在直角梯形OABC中，CB∥OA，OA＝15，OC＝8，∠OAB＝45°，则点B的坐标为（　　） A．（7，8） B．（8，7） C．（7，7） D．（8，8） 【分析】过点B作BD⊥OA于D，根据矩形的性质得到BD＝OC＝8，OD＝CB，根据等腰直角三角形的性质求出AD，进而求出OD，得出点B的坐标． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D， 则四边形CODB为矩形， ∴BD＝OC＝8，OD＝CB， 在Rt△BDA中，∠OAB＝45°， 则DA＝BD＝8， ∵OA＝15， ∴OD＝15﹣8＝7， ∴CB＝OD＝7， ∴点B的坐标为（7，8）， 故选：A． 【变式训练1】（2026春•岫岩县月考）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，BC＝5，将直角梯形ABCD沿AB方向平移2个单位得到直角梯形EFGH，HG与BC交于点M，且CM＝1，则图中阴影部分的面积为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】先根据图形平移的性质得出BC＝GF＝5，再根据直角梯形ABCD沿AB方向平移2个单位得到直角梯形EFGH，且CM＝1得出BM的长，再根据S阴影＝S梯形BFGM即可得出结论． 【解答】解：∵直角梯形ABCD沿AB方向平移2个单位得到直角梯形EFGH， ∴BC＝GF＝5， ∵将直角梯形ABCD沿AB方向平移2个单位得到直角梯形EFGH，HG与BC交于点M，且CM＝1， ∴BM＝BC﹣CM＝5﹣1＝4，BF＝2， ∵S阴影+S梯形BEHM＝S梯形BEHM+S梯形BFGM， ∴， 故选：C． 【变式训练2】（2026春•宝应县期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝20cm，BC＝10cm，DC＝12cm，P，Q同时从A，C出发，点P以4cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度运动，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts．当t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形？ 【分析】当PQ＝BC时，四边形BCQP是等腰梯形，过Q作QM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N，判定Rt△PMQ≌Rt△BNC（HL），推出PM＝BN，判定四边形ADCN和四边形ADQM是矩形，得到AN＝DC＝12cm，DQ＝AM，求出BN＝8cm，求出DQ＝（12﹣t）cm，AM＝（4t+8）cm，得到12﹣t＝4t+8，求出t． 【解答】解：如图，当PQ＝BC时，四边形BCQP是等腰梯形， 过Q作QM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N， ∵DC∥AB， ∴MQ＝CN， ∵PQ＝BC， ∴Rt△PMQ≌Rt△BNC（HL）， ∴PM＝BN， ∵DC∥AB，NC⊥AB，QM⊥AB，AD⊥AB， ∴四边形ADCN和四边形ADQM是矩形， ∴AN＝DC＝12cm，DQ＝AM， ∴BN＝AB﹣AN＝20﹣12＝8（cm）， ∴PM＝8cm， ∵QC＝tcm，AP＝4tcm， ∴DQ＝（12﹣t）cm，AM＝（4t+8）cm， ∴12﹣t＝4t+8， ∴t， ∴当t时，四边形BCQP是等腰梯形． 考点七：等腰梯形的判定 （1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； （2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形． 判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系． 注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用． 【典例精讲】（2026•阳谷县模拟）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠B＝∠C，AD≠BC． （1）求证：四边形ABCD是等腰梯形； （2）当BD⊥DC时，求∠B的度数． 【分析】（1）延长BA、CD交于点P，证明AD∥BC，AB与CD不平行，且AB＝CD即可； （2）连接BD，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，求得∠ABD＝∠DBC，得到∠ABC＝2∠DBC，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：延长BA、CD交于点P， ∵∠B＝∠C， ∴PB＝PC， ∵AB＝CD， ∴PB﹣AB＝PC﹣CD，即PA＝PD， ∴∠PAD＝∠PDA， ∵∠B+∠C+∠P＝∠PAD+∠PDA+∠P＝180°， ∴∠B+∠C＝∠PAD+∠PDA， 即2∠B＝2∠PAD， ∴∠B＝∠PAD， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是梯形， ∵AB＝CD， ∴梯形ABCD是等腰梯形； （2）解：连接BD， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABC＝2∠DBC， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∵∠ABC＝∠C， ∴∠C＝2∠DBC， ∴∠C＝60°， ∴∠ABC＝60°． 【变式训练1】（2026春•阜宁县期中）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，延长CB到点E，使BE＝AD，∠E＝∠ACE． （1）试说明梯形ABCD是等腰梯形． （2）连接BD，试判断BD与AE的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质求出∠E＝∠DAC，根据∠E＝∠ACE推出AE＝AC，证△ABE≌△ADC，推出AB＝DC即可． （2）根据等腰梯形性质得出AC＝BD，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵BC∥AD， ∴∠DAC＝∠ACE， ∵∠E＝∠ACE， ∴∠E＝∠DAC， ∵∠E＝∠ACE， ∴AE＝AC， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴AB＝DC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形． （2）BD＝AE， 理由是：∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴BD＝AC， ∵AE＝AC， ∴BD＝AE． 【变式训练2】（2026春•泰兴市期中）学习完梯形的知识后，学校数学兴趣小组围绕等腰梯形的相关内容进行再探究．数学李老师提出如下问题： 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C， 求证：梯形ABCD是等腰梯形． 经过小组讨论后，有多种方法解决上述问题，其中比较受学生喜欢的方法是：用转化的数学思想将梯形转化为三角形、平行四边形等来解决问题，李老师从中选取了两种典型方法， 方法一：如图1，分别过点A、D向BC作垂线，垂足为点E、F，… 方法二：如图2，延长BA与CD相交于点G，… 请你就李老师选择的两个方法中，选择一个方法解决问题． 你选择的方法是：　方法一　 （填“方法一”或“方法二”），并完成证明过程． 【分析】法一：过梯形的上底两端点作下底的垂线，利用“一组对边平行且相等”证明四边形AEFD为平行四边形，得到两高AE＝DF，再结合已知的∠B＝∠C，通过AAS证明△ABE≌△DCF，推出两腰AB＝DC，从而证明该梯形为等腰梯形； 法二：通过延长梯形两腰交于点G，利用平行线的性质得到∠GAD＝∠B、∠GDA＝∠C，结合∠B＝∠C推出∠GAD＝∠GDA，进而得到GA＝GD；再由∠B＝∠C得出△GBC为等腰三角形，即GB＝GC，通过等式相减得到AB＝DC，从而证明梯形ABCD是等腰梯形． 【解答】解：选择方法一，证明过程如下： 过梯形的上底两端点作下底的垂线， ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴AE∥DF； ∵AD∥BC， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AE＝DF， 在△ABE和△DCF中： ， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴AB＝DC， ∵AD∥BC，AB＝DC， ∴梯形ABCD是等腰梯形； 选择方法二，证明过程如下： 延长梯形两腰交于点G， ∵AD∥BC， ∴∠GAD＝∠B，∠GDA＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠GAD＝∠GDA， ∴GA＝GD， ∵∠B＝∠C， ∴△GBC是等腰三角形， ∴GB＝GC， ∴GB﹣GA＝GC﹣GD， 即AB＝DC ∵AD∥BC，AB＝DC， ∴梯形ABCD是等腰梯形． 故答案为：方法一． 考点八：梯形的中位线 （1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）梯形面积与中位线的关系： 梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即 梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高 （4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线． 【典例精讲】（2026春•晋安区期中）我们已经学习过平行四边形的知识，借助平行四边形的相关性质、判定定理，我们研究学习了三角形的中位线的定义和性质．根据研究图形的规律，请回答以下问题： （1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； （2）梯形也是一种常见的四边形，它是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线． ①请在图中画出梯形的中位线； ②通过观察、度量、猜想梯形中位线具有的性质并证明． 猜想：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 已知： 求证： 证明： （3）已知梯形的中位线长6，梯形的高为3，则梯形面积是 　18　 ． 【分析】（1）已知，在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，则线段EF是△ABC的中位线，求证：EF∥BC，EFBC．延长EF到D，使DF＝EF，连接CD，则DE＝2EF，证明△AEF和△CDF全等得CD＝AE＝BE，∠D＝∠AEF，由此得BE∥CD，进而得四边形BCD是平行四边形，则DE∥BC，DE＝BC＝2EF，据此可得三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； （2）①取CD的中点F，连接EF，则线段EF是梯形ABCD的中位线； ②已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别为AB，CD的中点，则线段EF是梯形ABCD的中位线：求证：EF∥AD∥BC，EF（AD+BC）．连接AF，并延长AF交BC的延长线于点H，证明△ADF和△HCF全等得AF＝HF，AD＝HC，由此得EF是△ABH的中位线，再由（1）的结论得EF∥BC，EFBH，然后根据AD∥BC，BH＝BC+HC＝BC+AD即可得出梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半； （3）设梯形的上底为a，下底为b，由（2）的结论得（a+b）＝6，再根据梯形的面积公式即可得出该梯形面积． 【解答】解：（1）已知，在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点， 则线段EF是△ABC的中位线， 求证：EF∥BC，EFBC． 证明：延长EF到D，使DF＝EF，连接CD，如图1所示： ∴DE＝EF+DF＝2EF， ∵点E，F分别是边AB，AC的中点， ∴BE＝AE，CF＝AF， 在△AEF和△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（SAS）， ∴CD＝AE，∠D＝∠AEF， ∴AE∥CD，即BE∥CD， ∵BE＝AE， ∴BE＝CD， 在四边形BCDE中，BE∥CD，BE＝CD， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∴EF∥BC，2EF＝BC， ∴EFBC， ∴三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）①取CD的中点F，连接EF，则线段EF是梯形ABCD的中位线，如图2①所示： ②已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别为AB，CD的中点， 则线段EF是梯形ABCD的中位线： 求证：EF∥AD∥BC，EF（AD+BC）． 证明：连接AF，并延长AF交BC的延长线于点H，如图2②所示： ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠H，∠D＝∠HCF， ∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF， 在△ADF和△HCF中， ， ∴△ADF≌△HCF（AAS）， ∴AF＝HF，AD＝HC， ∴点F是AH的中点， 又∵点E是AB的中点， ∴EF是△ABH的中位线， 由（1）的结论得：EF∥BC，EFBH， ∴AD∥BC，BH＝BC+HC＝BC+AD， ∴EF∥AD∥BC，EF（AD+BC）， ∴梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）设梯形的上底为a，下底为b， ∵该梯形的中位线长6， ∴（a+b）＝6， 又∵该梯形的高为3， ∴该梯形面积是：（a+b）×3＝6×3＝18． 故答案为：18． 【变式训练1】（2025春•杨浦区校级同步）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＝4，DC＝3，则中位线EF＝　5　 ． 【分析】延长AD与BC交于点G，设∠B＝α，则∠ADC＝2α，利用平行线的性质得到∠GCD＝∠B＝α，得到∠G＝∠ADC﹣∠GCD＝α，得出DG＝DC＝3，则有AG＝AD+DG＝7，再由∠B＝∠G＝α得到AB＝AG＝7，最后利用梯形中位线定理即可求解． 【解答】解：如图，延长AD与BC交于点G，设∠B＝α， ∵∠ADC＝2∠B， ∴∠ADC＝2α， ∵AB∥CD，AD＝4，DC＝3， ∴∠GCD＝∠B＝α， ∴∠G＝∠ADC﹣∠GCD＝2α﹣α＝α， ∴∠G＝∠GCD， ∴DG＝DC＝3， ∴AG＝AD+DG＝4+3＝7， ∵∠B＝∠G＝α， ∴AB＝AG＝7， ∵EF是梯形ABCD的中位线， ∴． 故答案为：5． 【变式训练2】（2025秋•张店区校级月考）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）△ABC中，EF是△ABC的中位线，连接EF．则EF与BC的关系为：EF∥BC且　 （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别为AB，DC的中点，MN就是ABCD梯形的中位线．请猜想线段AD，BC，MN之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为7cm，高为6cm，则梯形面积是　42　 cm2． 【分析】（1）先说明EF是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线定理得出结论即可； （2）先证明△AME≌△BMC（AAS），从而可得AE＝BC，EM＝CM，于是有AD+BC＝AD+AE＝ED，再根据三角形的中位线定理得出，从而可得； （3）根据梯形的面积公式，结合（2）中的结论求解． 【解答】解：（1）∵点E是边AB的中点，点F是边AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC且， 故答案为：EF∥BC且； （2）AD∥BC∥MN且MN（AD+BC）， 理由：如图（2），连接并延长CM交DA的延长线于点E， ∵AD∥BC， ∴∠E＝∠MCB， ∵点M为AB的中点， ∴AM＝BM， 在△AME和△BMC中， ， ∴△AME≌△BMC（AAS）， ∴AE＝BC，EM＝CM， ∴AD+BC＝AD+AE＝ED， ∵M为EC的中点，N为DC的中点， ∴MN为△CED的中位线， ∴， ∴． （3）∵梯形的中位线长为7cm，高为6cm， ∴（cm2）， 故答案为：42． 1．（2026•余杭区二模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是（　　） A．若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 B．若OA＝OB，OC＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 C．若OA＝OC，OB＝OD，AB⊥BC，则四边形ABCD是菱形 D．若OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形，菱形，正方形，平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：A、若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是正方形，故选项A不符合题意； B、若OA＝OB，OC＝OD，则四边形ABCD不一定是平行四边形，故选项B不符合题意； C、若OA＝OC，OB＝OD，AB⊥BC，则四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、若OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（2026•定海区三模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，点E为AD上一点，连接BE，CE，点M，N分别是BE，CE的中点，连接MN，则MN的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．不确定 【分析】根据平行四边形的性质可得BC＝AD＝8，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD＝8， ∴BC＝AD＝8， ∵点E为AD上一点，连接BE，CE，点M，N分别是BE，CE的中点， ∴MN是△BCE的中位线， ∴． 故选：A． 3．（2025春•长宁区期末）下列关于三角形的中位线、梯形的中位线的表述，正确的是（　　） A．联结三角形两腰中点的线段叫做三角形的中位线 B．联结梯形两底边中点的线段叫做梯形的中位线 C．三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分 D．梯形的中位线一定将该梯形分成面积相等的两部分 【分析】根据梯形中位线、三角形中位线的概念、梯形中位线定理、三角形中位线定理判断． 【解答】解：A、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，故本选项表述错误，不符合题意； B、联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，故本选项表述错误，不符合题意； C、三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分，表述正确，符合题意； D、梯形的中位线不能将该梯形分成面积相等的两部分，故本选项表述错误，不符合题意； 故选：C． 4．（2026春•邳州市期中）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，下列四个结论中： ①∠BAD＝∠CDA； ②AO＝CO； ③∠ACB＝∠ACD； ④△ABO≌△DCO． 正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等腰梯形的性质判断①；根据等腰梯形的概念判断②；根据平行线的性质、等腰三角形的性质判断③；证明全等三角形的判定和性质判断④． 【解答】解：①根据等腰梯形的两底角相等可知：∠BAD＝∠CDA，故本小题结论正确； ②∵AD∥BC， ∴当AO＝CO时，AD＝BC，不符合题意，故本小题结论错误； ③∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC， 当AD＝DC时，∠DAC＝∠ACD，才能得出∠ACB＝∠ACD故本小题结论错误； ④在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠BAC＝∠CDB， ∴△ABO≌△DCO（AAS），故本小题结论正确； 故选：B． 5．（2026春•南京期中）下列说法错误的是（　　） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．等腰梯形的对角线互相平分 C．菱形的每条对角线都平分一组对角 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【分析】根据矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质判断． 【解答】解：A、矩形的对角线互相平分且相等，说法正确，不符合题意； B、等腰梯形的对角线相等，不能互相平分，故本选项说法错误，符合题意； C、菱形的每条对角线都平分一组对角，说法正确，不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，说法正确，不符合题意； 故选：B． 6．（2026春•苏州期中）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据底差等于10求出BE＝CF＝5，利用勾股定理求出高的长，利用梯形面积公式求出AD＝4，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案． 【解答】解：如图，∵一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108， ∴在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝13，BC﹣AD＝10， 作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则∠AEF＝∠DFE＝∠AEB＝∠CFD＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝180°﹣∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形， ∴AD＝EF，AE＝DF， ∵AB＝CD， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， ∴BE＝CF， ∴， ∴， ∵S梯形面积ABCD（AD+BC）•AE（AD+AD+10）×12＝108， ∴AD＝4， ∴BC＝14， ∴梯形的中位线， ∴这个等腰梯形的纵横比， 故选：B． 7．（2026•蓝田县模拟）如图，正方形ABCD中，F为AB的中点，EF⊥AB，，DE交AC于O，则∠COE的度数为（　　） A．120° B．115° C．110° D．105° 【答案】A 【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到BE＝AE，∠BFE＝90°，根据三角函数的定义得到∠EBF＝60°，求得∠BEF＝30°，根据直角三角形的性质得到BE＝2BF，求得∠DAE＝90°+60°＝150°，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠AED（180°﹣150°）＝15°，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】解：连接AE， ∵F为AB的中点，EF⊥AB， ∴BE＝AE，∠BFE＝90°， ∵， ∴tan∠EBF， ∴∠EBF＝60°， ∴∠BEF＝30°， ∴BE＝2BF， ∴BE＝AB＝AD＝AE，∠BAE＝60°， ∴∠DAE＝90°+60°＝150°， ∴∠BAE＝∠AED（180°﹣150°）＝15°， ∴∠COD＝∠ADO+∠DAO＝15°+45°＝60°， ∴∠COE＝180°﹣60°＝120°， 故选：A． 8．（2026春•镇江期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60°，，现有P、Q两个动点分别从点A、N同时沿梯形的边开始移动，点P依顺时针，方向环行，点Q依逆时针方向环行，若点P的速度与点Q的速度之比为2：3，则点P、点Q第2026次相遇在（　　）点． A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【分析】设梯形腰长为a，根据等腰梯形性质及∠B＝60°求出各边长及周长；根据P、Q的运动方向确定第一次相遇时的路程和，结合速度比求出第一次相遇位置；利用周期性规律计算第2026次相遇位置． 【解答】解：设AB＝AD＝DC＝a， ∵∠B＝60°，四边形ABCD是等腰梯形， ∴BC＝2AB＝2a， ∴梯形周长L＝AB+BC+CD+DA＝5a， ∵， ∴， ∵点Q依顺时针方向环行，点P依逆时针方向环行， ∴点P从A向B运动，点Q从N向B运动 第一次相遇时，两点路程之和为， ∵点P与点Q的速度之比为2：3， ∴第一次相遇时，点P的路程为， ∵AB＝a， ∴第一次相遇在点B 此后每次相遇，两点路程之和增加一个周长5a点P每次相遇增加的路程为， 第2026次相遇时，点P的总路程a+（2026﹣1）×2a＝4051a， ∵4051a＝810×5a+a， ∴在点B． 故选：B． 9．（2026春•无锡期中）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF作矩形DEFG，连接CG．现有下列结论： ①矩形EFGD是正方形； ②△ABE≌△CDG； ③AC⊥CG； ④当时，矩形EFGD的面积为60． 其中结论正确的序号是（　　） A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】过点E分别作EQ⊥CD，EP⊥BC，垂足分别为Q，P，延长QE交AB于点H，证明△ABE≌△ADE（SAS），得到BE＝DE，再证明四边形EPCQ是正方形，得到EP＝EQ，进而证明△EPF≌△EQD，得到EF＝DE，即可判断四边形EFGD是正方形；由△ABE≌△ADE，易证∠CDG＝∠ABE，即可证明△ABE≌△CDG（SAS）；根据∠BAE＝∠DCG＝45°，∠ACD＝45°，可得∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，即可证明AC⊥CG；证明△AEH是等腰直角三角形，得到AH＝EH，结合△ABE≌△CDG，得到，求出AH＝EH＝3，进而得到BH＝AB﹣AH＝6，在求出EF2＝BE2＝BH2+EH2＝45，即可得到矩形EFGD的面积为45． 【解答】解：过点E分别作EQ⊥CD，EP⊥BC，垂足分别为Q，P，延长QE交AB于点H， ∵AE＝AE，AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE， ∵∠EPC＝∠PCQ＝∠EQC＝90°， ∴四边形EPCQ是矩形， ∵∠ECP＝45°， ∴∠CEP＝45°， ∴∠CEP＝∠ECP＝45°， ∴CP＝EP， ∴四边形EPCQ是正方形， ∴∠PEQ＝90°，EP＝EQ， ∵∠PEQ＝∠FED＝90°， ∴∠PEF＝∠QED＝90°﹣∠FEQ， ∵∠EPF＝∠EQD＝90°， ∴△EPF≌△EQD， ∴EF＝DE， ∴四边形EFGD是正方形，故①正确； ∴DE＝DG， ∵∠ADE+∠CDE＝∠CDE+∠CDG＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ADE＝∠ABE， ∴∠CDG＝∠ABE， ∵DE＝DG，BE＝DE， ∴BE＝DG ∵AB＝CD， ∴△ABE≌△CDG（SAS），故②正确； ∴∠BAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，即AC⊥CG，故③正确； ∵EQ⊥CD，AB∥CD， ∴EH⊥AB，即∠AHE＝90°， ∵∠BAE＝45°， ∴∠AEH＝45°， ∴△AEH是等腰直角三角形， ∴AH＝EH， ∵，△ABE≌△CDG， ∴， ∴， ∴AH＝EH＝3， ∵AB＝9， ∴BH＝AB﹣AH＝6， ∴EF2＝BE2＝BH2+EH2＝45， ∴正方形EFGD的面积为45，故④错误； 综上，结论正确的序号是①②③， 故选：B． 10．（2026春•海陵区校级期中）已知如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠B＝60°，若AB＝AD＝2，则等腰梯形ABCD的周长为 　10　 ． 【分析】过点D作DE∥AB，交BC于点E，证明四边形ABED是平行四边形得BE＝AD＝2，再证明△DCE是等边三角形得CE＝CD＝2，由此得BC＝4，据此即可得出该等腰梯形ABCD的周长． 【解答】解：过点D作DE∥AB，交BC于点E，如图所示： 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠B＝60°， ∴∠C＝∠B＝60°， ∵AB＝CD，AB＝AD＝2， ∴AB＝CD＝AD＝2， 在四边形ABED中，AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形，∠DEC＝∠B＝60°， ∴BE＝AD＝2，∠C＝∠DEC＝60°， ∴△DCE是等边三角形， ∴CE＝CD＝2， ∴BC＝BE+CE＝4， ∴AB+AD+CD+BC＝2+2+2+4＝10， ∴等腰梯形ABCD的周长为10． 故答案为：10． 11．（2026春•丹阳市期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BD，AC与BD交于点O，CD＝2，AB＝4，则此梯形的面积为　9　 ． 【分析】过点C作CE∥BD，交AB的延长线于E，根据平行线的性质得到AC⊥CE，根据平行四边形的性质得到BE＝DC＝2，CE＝DB，再根据等腰直角三角形的性质、三角形面积公式计算得到答案． 【解答】解：如图，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于E， ∵AC⊥BD， ∴AC⊥CE， ∵AB∥CD， ∴四边形DBEC为平行四边形， ∴BE＝DC＝2，CE＝DB， ∴AE＝4+2＝6，S△CEB＝S△ADC， ∵梯形ABCD为等腰梯形，S梯形ABCD＝S△ACE， ∴BD＝AC， ∴AC＝CE， 在Rt△ACE中，AC＝CE，AE＝6， 则AC＝CEAE＝3， ∴S梯形ABCD＝S△ACE339， 故答案为：9． 12．（2026春•常州校级期中）如图，在正方形ABCD中，E为BD上一点．若∠BCE＝65°，则∠BEC＝　70　 °． 【分析】由正方形的性质可得∠DBC＝45°，根据三角形内角和定理求出∠BEC即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BD平分∠ABC，∠ABC＝90°， ∴， ∵∠BCE＝65°， ∴∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠DBC ＝180°﹣65°﹣45° ＝70°， 故答案为：70． 13．（2026春•常州校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝1，AB＝4，BC＝5，则梯形ABCD的面积为　12　 ． 【分析】根据梯形面积公式求解即可． 【解答】解：∵在直角梯形ABCD中，AD＝1，AB＝4，BC＝5，∠B＝90°， ∴梯形ABCD的面积为： ， 故答案为：12． 14．（2025春•浦东新区校级月考）等腰梯形两底之比为5：3，两底之差为20，则中位线为 　40　 ． 【分析】设两底分别为5k，3k，构建方程求出k，再利用梯形的中位线定理求解． 【解答】解：∵等腰梯形两底之比为5：3， ∴可以假设两底分别为5k，3k， ∵两底之差为20， ∵5k﹣3k＝20， ∴k＝10， ∴梯形的两底分别为50，30， ∴梯形的中位线（50+30）＝40． 故答案为：40． 15．（2025春•闵行区校级月考）在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为6.5，则梯形ABCD的面积　30　 ． 【分析】过点B作BE∥AC，交BC的延长线于E，根据平行四边形的性质得到BE＝AC＝5，AB＝CE，根据梯形中位线定理求出BE，根据勾股定理的逆定理得到∠DBE＝90°，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于E， ∵AB∥CD， ∴四边形ACEB为平行四边形， ∴BE＝AC＝5，AB＝CE， ∵梯形中位线长为6.5， ∴AB+CD＝6.5×2＝13， ∴BE＝BC+CE＝BC+AB＝13， 在△BDE中，BE2+BD2＝52+122＝169，DE2＝132＝169， ∴BE2+BD2＝DE2， ∴∠DBE＝90°， ∴△BDE的面积为：5×12＝30， ∵AB＝CE，AB∥DE， ∴△CBE的面积＝△ADB的面积， ∴梯形ABCD的面积＝△BDE的面积＝30， 故答案为：30． 16．（2026春•中山市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E是AD上一点，AE＝2，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 　4　 ． 【分析】取AD的中点M，连接PM，易得：EF为△APM的中位线，进而得到当PM⊥BC时，EF最短，利用勾股定理求出PD的长即可． 【解答】解：取AD的中点M，连接PM， 则：AM＝DMAD＝4， ∵AE＝2AM， ∴E为AM的中点， ∵F为AP的中点， ∴EFPM， ∴当PM最小时，EF最小， ∵P为BC上一个动点， ∴当MP⊥BC时，PM最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴当MP⊥BC时，四边形ABPM为矩形， ∴PM＝AB＝4， ∴PD4， 故答案为：4． 17．（2026春•浦东新区校级月考）在一张直角三角形纸片的两条直角边上各取一点，沿它们与斜边中点的连线剪掉两个三角形，剩下的部分是一个直角梯形，已知这个直角梯形上底为2，下底为3，面积为5，那么原直角三角形的斜边长为　或　 ． 【分析】先利用直角梯形面积公式求出梯形的高，再分情况讨论平行对边的位置，结合中点性质得到原直角三角形两条直角边的长度，最后利用勾股定理计算斜边长． 【解答】解：设原直角三角形为Rt△ABC，∠C＝90°，斜边AB中点为M，剩余直角梯形为CDME，D在AC上，E在BC上． 由直角梯形面积公式， 代入已知S＝5，上底2，下底3，得：， 解得h＝2，即梯形的高为2． 分情况讨论：情况1：DM∥CE，DM，CE为梯形的两个底，CD为梯形的高． 连接CM， ∵点 M为AB中点， ∴， ∴△ACM是等腰三角形， 由条件可知∠ADM＝90°，即MD⊥AC， ∴， ∵h＝2，即CD＝2， ∴AC＝2CD＝4， 由条件可知DM是△ABC的中位线， ∴BC＝2DM， 若DM＝2，则BC＝2DM＝4， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：． 若DM＝3，则BC＝2DM＝6， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：． 情况2：EM∥CD，EM，CD为梯形的两个底，CE为梯形的高． 连接CM， ∵点 M为AB中点， ∴， ∴△BCM是等腰三角形， 由条件可知∠MEB＝90°，即ME⊥BC， ∴， ∵h＝2，即CE＝2， ∴BC＝2CE＝4， 由条件可知EM是△ABC的中位线， ∴AC＝2EM， 若EM＝2，则AC＝2EM＝4， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：． 若EM＝3，则AC＝2EM＝6， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：． 综上，原直角三角形的斜边长为或． 故答案为： 或 ． 18．（2026春•韩城市期中）如图，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝AE，连接DE，DF，若∠EAB＝30°，求∠DFE的度数． 【分析】根据正方形AEFG和正方形ABCD是两个全等的正方形，得出AD＝AE，∠DAB＝∠AEF＝90°，证明△ADE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠DEF＝30°即可解得． 【解答】解：∵在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝AE， ∴AD＝AE＝EF，∠DAB＝∠AEF＝90°， ∵∠EAB＝30°， ∴∠DAE＝90°﹣∠EAB＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠DEA＝60°，DE＝AE＝EF， ∴∠DEF＝30°， ∴． 19．（2026春•普陀区期中）如图，已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，并交于点G，连接AG，点M是AG的中点，分别连接EM、DM． （1）求证：四边形EGDM是平行四边形； （2）若AB＝AC，∠GBC＝45°，求证：四边形EGDM是正方形． 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据已知条件得到点G是△ABC的重心，求得，，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，求得EG＝DG，根据菱形的判定定理得到四边形EGDM是一个菱形，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵AE＝BE，AM＝MG， ∴EM是三角形的中位线， ∴EM∥BG， 同理，DM∥CG， ∴四边形EGDM是一个平行四边形； （2）∵BD、CE分别是边AC、AB上的中线，并交于点G， ∴点G是△ABC的重心， ∴，， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵AB＝AC，AE＝BE，AD＝CD， ∴BE＝CD， ∵BC＝CB， ∴△BEC≌△CDB（SAS）， ∴BD＝CE， ∴EG＝DG， ∵四边形EGDM是一个平行四边形， ∴四边形EGDM是一个菱形， ∵BD＝CE，EG＝DG， ∴BG＝GC， ∴∠GBC﹣∠GCB， ∵∠GBC＝45°， ∴∠GCB＝45°， ∵∠GBC+∠GCB+∠BGC＝180°， ∴∠BGC＝90°， ∴∠EGD＝∠BGC=90°， ∴四边形EGDM是一个矩形， ∴四边形EGDM是一个正方形． 20．（2026春•沛县期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）∠APB＝ 　45　 °； （2）①求证：四边形OCPD是正方形； ②若OA＝AC＝3，求点B的坐标． 【答案】（1）45；（2）①见解析；②（0，4）． 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠PDO＝∠PCO＝∠DOC＝90°，求得四边形PDOC是矩形，得到∠DPC＝90°，过P作PE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到PD＝PE，PE＝PC，根据全等三角形的性质得到∠DPB＝∠EPB，同理∠CPA＝∠EPA，于是得到结论； （2）①由（1）知四边形PDOC是矩形，根据角平分线的性质得到PD＝PC，得到四边形OCPD是正方形； ②由（1）知，Rt△PDB≌Rt△PEB，求得BD＝BE，同理AE＝AC＝3，设OB＝x，则BD＝BE＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）解：∵PD⊥y轴，PC⊥x轴，∠AOB＝90°， ∴∠PDO＝∠PCO＝∠DOC＝90°， ∴四边形PDOC是矩形， ∴∠DPC＝90°， 过P作PE⊥AB于E， ∵△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，PD⊥y轴，PC⊥x轴， ∴PD＝PE，PE＝PC， ∵PB＝PB， ∴Rt△PDB≌Rt△PEB（HL）， ∴∠DPB＝∠EPB， 同理∠CPA＝∠EPA， ∴∠BPA＝∠BPE+∠APE； 故答案为：45； （2）①证明：由（1）知四边形PDOC是矩形， ∵△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，PD⊥y轴，PC⊥x轴， ∴PD＝PE，PE＝PC， ∴PD＝PC， ∴四边形OCPD是正方形； ②∵OA＝AC＝3， ∴OC＝OD＝6， 由（1）知，Rt△PDB≌Rt△PEB， ∴BD＝BE， 同理AE＝AC＝3， 设OB＝x，则BD＝BE＝6﹣x， ∴AB＝3+6﹣x， ∵AB2＝OB2+OA2， ∴（9﹣x）2＝x2+32， ∴x＝4， ∴点B的坐标为（0，4）． 21．（2026春•东昌府区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC，BD交于点O，且AC＝12，BD＝16，点E，F分别是边AB，CD的中点，求EF的长度． 【分析】取AD的中点G，连接EG，FG，分别交AC，BD于点M，N．根据三角形的中位线定理可得，EG∥BD，，GF∥AC，证明四边形MONG为矩形得到EG⊥FG，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：取AD的中点G，连接EG，FG，分别交AC，BD于点M，N，如图所示， ∵点E为AB的中点，点G为AD的中点，BD＝16， ∴EG为△ABD的中位线， ∴，EG∥BD， ∵AC＝12，点F为CD的中点，点G为AD的中点， ∴GF为△ACD的中位线， ∴，GF∥AC， ∵EG∥BD，GF∥AC， ∴四边形MONG为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°，即∠MON＝90°， ∴四边形MONG为矩形， ∴∠MGN＝∠MON＝90°， ∴EG⊥FG， ∵EG＝8，GF＝6， ∴． 22．（2026•玄武区一模）已知：如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，D是边BC上的点，且CD＝AD． （1）证明：AD＝AB； （2）若E、F分别是BD、AC的中点且AC＝6，如图2，求EF的长． 【分析】（1）由CD＝AD，得到∠C＝∠DAC，再根据三角形外角的性质得到∠ADB＝2∠C，从而得到∠ADB＝∠B，即可得出结论； （2）连接AE，先得到△AEC是直角三角形，再由F是AC的中点，即可求解． 【解答】（1）证明：∵CD＝AD， ∴∠C＝∠DAC， ∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C； ∵∠B＝2∠C， ∴∠ADB＝∠B， ∴AD＝AB； （2）解：如图，连接AE， 由（1）知，AD＝AB， 又∵E是BD的中点， ∴AE⊥BD， ∴△AEC是直角三角形， ∵F是AC的中点，AC＝6， ∴． 23．（2026春•盐都区期中）求证：等腰梯形中同一条底边与腰所夹的两个角相等． 已知：如图，　梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC ． 求证：　∠A＝∠B，∠D＝∠C．　 ． 证明：　作AE∥BC，交DC于点E， ∴∠AED＝∠C， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∴AE＝BC， ∵AD＝BC， ∴AD＝AE， ∴∠AED＝∠D， ∴∠D＝∠C， ∵AB∥DC， ∴∠D+∠BAD＝180°，∠C+∠B＝180°， ∴∠BAD＝∠B．　 ． 【分析】先结合图形写出已知求证，证明时作AE∥BC，交DC于点E，得出四边形ABCE是平行四边形，得出AD＝AE，进而得出∠D＝∠C，再根据平行线的性质得出∠BAD＝∠B． 【解答】已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC． 求证：∠A＝∠B，∠D＝∠C． 证明：作AE∥BC，交DC于点E， ∴∠AED＝∠C， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∴AE＝BC， ∵AD＝BC， ∴AD＝AE， ∴∠AED＝∠D， ∴∠D＝∠C， ∵AB∥DC， ∴∠D+∠BAD＝180°，∠C+∠B＝180°， ∴∠BAD＝∠B． 故答案为：梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC；∠A＝∠B，∠D＝∠C；作AE∥BC，交DC于点E， ∴∠AED＝∠C， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∴AE＝BC， ∵AD＝BC， ∴AD＝AE， ∴∠AED＝∠D， ∴∠D＝∠C， ∵AB∥DC， ∴∠D+∠BAD＝180°，∠C+∠B＝180°， ∴∠BAD＝∠B． 24．（2026春•沛县期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝90°，E为边AB上一点，EB＝DC，连接DE、BD． （1）求证：四边形BCDE是矩形； （2）若BD平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，求DE的长． 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形BCDE是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形BCDE是矩形； （2）由（1）知，四边形BCDE是矩形，求得∠AED＝∠BED＝90°，根据平行线的性质得到∠CDB＝∠ABD，根据角平分线的定义得到∠ADB＝∠CDB，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，求得AD＝AB＝5，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥DC， ∴CD∥BE， ∵BE＝CD， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵∠C＝90°， ∴四边形BCDE是矩形； （2）解：由（1）知，四边形BCDE是矩形， ∴∠AED＝∠BED＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AD＝AB＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3， ∴DE4， 故DE的长为4． 25．（2025春•芜湖期末）位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1060m，CD＝460m，AD＝1000m． （1）求BC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）作DE⊥AB于点E，构造平行四边形BCDE，然后利用平行四边形的性质和勾股定理来求BC的长度； （2）利用梯形的面积公式作答即可． 【解答】解：（1）作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°． 又∵∠B＝90°， ∴DE∥BC． 又∵AB∥DC， ∴四边形BCDE是平行四边形． ∴BC＝DE，BE＝CD＝460m． ∴AE＝1060﹣460＝600（m）． ∴． （2）． 26．（2025秋•安溪县期中）为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为10米的篱笆，一面靠墙（足够长），围出一块8平方米的直角梯形ABCD菜地作为实践基地，如图所示．已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝AD＜BC．求梯形的两底长． 【分析】根据梯形面积公式列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设AD＝x米，则AB＝x米，BC＝（10﹣2x）米， 由题意得：（x+10﹣2x）×x＝8， 整理得：x2﹣10x+16＝0， 解得：x1＝2，x2＝8（不合题意）， 则10﹣2x＝6米， 答：梯形的两底长分别为2米和6米． 27．阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierre1654﹣1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N． ∵H，G分别为AD，CD的中点，∴．（依据1） ∴．∵DG＝GC，∴． ∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ． ∵HG∥AC，即HG∥PQ， ∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴． ∵，∴．同理，… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：　三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）　 ． 依据2是指：　平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）　 ． （2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线） （3）在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论． 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可； （2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可； （3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得妯结论． 【解答】解：（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） 平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形） （2）答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求 （3）瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的两条对角线AC与BD长度的和， 证明如下：∵点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点， ∴． ∴EF+GH＝AC． 同理EH+FG＝BD． ∴四边形EFGH的周长＝EF+GH+EH+FG＝AC+BD． 即瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度的和． 28．（2026春•上海校级月考）已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与点C、点D重合，CP＝b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF． 观察计算：（1）如图1，当a＝4，b＝1时，四边形ABFD的面积为　16　 ； （2）如图2，当a＝4，b＝2时，四边形ABFD的面积为　16　 ； （3）如图3，当a＝m，b＝n时，四边形ABFD的面积为m2 ； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？ 【分析】（1）用大正方形的面积加上梯形DCEF的面积再减去直角三角形BEF的面积，进行求解即可； （2）用大正方形的面积加上梯形DCEF的面积再减去直角三角形BEF的面积，进行求解即可； （3）用大正方形的面积加上梯形DCEF的面积再减去直角三角形BEF的面积，进行求解即可； （4）求出大正方形的面积，进行判断即可． 【解答】解：（1）四边形ABFD的面积＝42（4+1）×1（4+1）×1＝16； 故答案为：16； （2）四边形ABFD的面积； 故答案为：16； （3）四边形ABFD的面积； 故答案为：m2； （4）∵正方形ABCD的面积＝a2；四边形ABFD的面积； 故四边形ABFD的面积等于正方形ABCD的面积． 29．（2026•邗江区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 【分析】（1）先根据∠B＝∠A＝∠AFC＝90°，判定四边形ABCF是矩形，再根据AB＝BC，即可得到四边形ABCF是正方形； （2）先判定△CEG≌△DEF（AAS），得出CG＝FD，再根据正方形ABCF中，BC＝AF，即可得到AF+FD＝BC+CG，即AD＝BG＝a． 【解答】解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F， ∴FC＝FD， ∴∠D＝∠FCD＝45°， ∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°， 又∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABCF是矩形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCF是正方形； （2）∵FG垂直平分CD， ∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°， ∵BG∥AD， ∴∠G＝∠EFD， 在△CEG和△DEF中， ， ∴△CEG≌△DEF（AAS）， ∴CG＝FD， 又∵正方形ABCF中，BC＝AF， ∴AF+FD＝BC+CG， ∴AD＝BG＝a． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题四 正方形、三角形的中位线与梯形 考点一：正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【典例精讲】（2026•北京二模）如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AE，BD相交于点F，DF＝DE．若AB＝1，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026•广州一模）如图，正方形ABCD的边长为4，以CD为边在正方形外作等边三角形PCD，连接PA，PB，则△PAB的面积为（　　） A．8 B． C． D． 【变式训练2】（2026春•香洲区校级期中）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，作PE⊥BD．连接AE，EC． （1）当∠DAE＝25°时，求∠AEC的度数； （2）当∠PBC＝15°时，DP＝6，请直接写出正方形ABCD的边长为 　 　 ． 考点二：正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 【典例精讲】（2026•庐江县模拟）如图，在四边形ABCD中，BA＝DA，BC＝DC，对角线AC与BD相交于点O．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（　　） A．若补充“∠BAD＝90°”，则四边形ABCD是矩形 B．若补充“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形 C．若补充“OA＝OC”，则四边形ABCD是矩形 D．若补充“AC＝BD”，则四边形ABCD是正方形 【变式训练1】（2026春•江汉区期中）下列条件， ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练2】（2026春•宝山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，过点A作AE平行于BC，且AE＝CD，连接BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形． （2）当∠ABC＝45°时，求证：四边形AEBD是正方形． 考点三：三角形的中位线 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DEBC． 【典例精讲】（2026春•东昌府区期中）如图，在四边形ABCD中，M是AD上一动点，N是AB上一定点，连接CM，MN，E，F分别是CM，MN的中点．当点M从点A向点D移动时，关于线段EF的长度，下列结论一定正确的是（　　） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 【变式训练1】（2026春•西城区校级期中）如图，△ABC中，N是边BC上一点，连接AN，D，E分别是AN，AC的中点，连接BD，BD⊥AN，AB＝6，BC＝8，则DE＝（　　） A．2 B． C．1 D． 【变式训练2】（2026春•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，AH⊥BC于H．求证：∠DHF＝∠DEF． 考点四：中点四边形 中点四边形：依次连接四边形四边中点所得的四边形叫做中点四边形． 特征：中点四边形的形状由四边形的对角线位置关系和数量关系确定 【结论1】如图1、四边形ABCD为任意四边形，则四边形EFGH是平行四边形． 图1 图2 图3 图4 【结论2】如图2、四边形ABCD对角线AC⊥BD，则中点四边形EFGH是矩形． 【结论3】如图3、四边形ABCD对角线AC=BD,则中点四边形EFGH是菱形． 【结论4】如图4、四边形ABCD对角线AC=BD，AC⊥BD则中点四边形EFGH是正方形． 【典例精讲】（2025春•赣榆区期中）顺次连接菱形四边的中点，得到的四边形是（　　） A．矩形 B．平行四边形 C．正方形 D．无法断定 【变式训练1】（2025秋•未央区校级月考）顺次连接下列各图形的中点，构成的图形一定是正方形的为（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线互相垂直的等腰梯形 【变式训练2】（2025春•铁锋区期末）下列说法：①顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分；④对角线互相垂直相等的四边形是正方形．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 考点五：等腰梯形的性质 （1）性质： ①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线； ②等腰梯形同一底上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等． （2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质． 【典例精讲】（2026春•亭湖区期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60°，DE∥AB，梯形ABCD的周长是25cm，则DE等于（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式训练1】（2026春•常州期中）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若∠A＝110°，则∠C＝　　 ． 【变式训练2】（2026•浙江模拟）如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（AB＝CD，AD∥BC，AD≠BC），某同学想知道该杯子最大盛水高度（即C到AD的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：AC＝AD＝13cm，CD＝10cm．请帮该同学计算： （1）杯子最大盛水高度； （2）内底面的直径（BC的长度）． 考点六：直角梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直． 角：有两个内角是直角． 过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法． 【典例精讲】（2026春•长安区校级期中）如图所示，在直角梯形OABC中，CB∥OA，OA＝15，OC＝8，∠OAB＝45°，则点B的坐标为（　　） A．（7，8） B．（8，7） C．（7，7） D．（8，8） 【变式训练1】（2026春•岫岩县月考）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，BC＝5，将直角梯形ABCD沿AB方向平移2个单位得到直角梯形EFGH，HG与BC交于点M，且CM＝1，则图中阴影部分的面积为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练2】（2026春•宝应县期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝20cm，BC＝10cm，DC＝12cm，P，Q同时从A，C出发，点P以4cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度运动，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts．当t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形？ 考点七：等腰梯形的判定 （1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； （2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形． 判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系． 注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用． 【典例精讲】（2026•阳谷县模拟）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠B＝∠C，AD≠BC． （1）求证：四边形ABCD是等腰梯形； （2）当BD⊥DC时，求∠B的度数． 【变式训练1】（2026春•阜宁县期中）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，延长CB到点E，使BE＝AD，∠E＝∠ACE． （1）试说明梯形ABCD是等腰梯形． （2）连接BD，试判断BD与AE的数量关系，并说明理由． 【变式训练2】（2026春•泰兴市期中）学习完梯形的知识后，学校数学兴趣小组围绕等腰梯形的相关内容进行再探究．数学李老师提出如下问题： 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C， 求证：梯形ABCD是等腰梯形． 经过小组讨论后，有多种方法解决上述问题，其中比较受学生喜欢的方法是：用转化的数学思想将梯形转化为三角形、平行四边形等来解决问题，李老师从中选取了两种典型方法， 方法一：如图1，分别过点A、D向BC作垂线，垂足为点E、F，… 方法二：如图2，延长BA与CD相交于点G，… 请你就李老师选择的两个方法中，选择一个方法解决问题． 你选择的方法是：　　 （填“方法一”或“方法二”），并完成证明过程． 考点八：梯形的中位线 （1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）梯形面积与中位线的关系： 梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即 梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高 （4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线． 【典例精讲】（2026春•晋安区期中）我们已经学习过平行四边形的知识，借助平行四边形的相关性质、判定定理，我们研究学习了三角形的中位线的定义和性质．根据研究图形的规律，请回答以下问题： （1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； （2）梯形也是一种常见的四边形，它是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线． ①请在图中画出梯形的中位线； ②通过观察、度量、猜想梯形中位线具有的性质并证明． 猜想：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 已知： 求证： 证明： （3）已知梯形的中位线长6，梯形的高为3，则梯形面积是 　　 ． 【变式训练1】（2025春•杨浦区校级同步）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＝4，DC＝3，则中位线EF＝　　 ． 【变式训练2】（2025秋•张店区校级月考）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）△ABC中，EF是△ABC的中位线，连接EF．则EF与BC的关系为：　 　（用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别为AB，DC的中点，MN就是ABCD梯形的中位线．请猜想线段AD，BC，MN之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为7cm，高为6cm，则梯形面积是　　 　 cm2． 1．（2026•余杭区二模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是（　　） A．若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 B．若OA＝OB，OC＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 C．若OA＝OC，OB＝OD，AB⊥BC，则四边形ABCD是菱形 D．若OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 2．（2026•定海区三模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，点E为AD上一点，连接BE，CE，点M，N分别是BE，CE的中点，连接MN，则MN的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．不确定 3．（2025春•长宁区期末）下列关于三角形的中位线、梯形的中位线的表述，正确的是（　　） A．联结三角形两腰中点的线段叫做三角形的中位线 B．联结梯形两底边中点的线段叫做梯形的中位线 C．三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分 D．梯形的中位线一定将该梯形分成面积相等的两部分 4．（2026春•邳州市期中）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，下列四个结论中： ①∠BAD＝∠CDA； ②AO＝CO； ③∠ACB＝∠ACD； ④△ABO≌△DCO． 正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026春•南京期中）下列说法错误的是（　　） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．等腰梯形的对角线互相平分 C．菱形的每条对角线都平分一组对角 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 6．（2026春•苏州期中）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于（　　） A． B． C． D． 7．（2026•蓝田县模拟）如图，正方形ABCD中，F为AB的中点，EF⊥AB，，DE交AC于O，则∠COE的度数为（　　） A．120° B．115° C．110° D．105° 8．（2026春•镇江期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60°，，现有P、Q两个动点分别从点A、N同时沿梯形的边开始移动，点P依顺时针，方向环行，点Q依逆时针方向环行，若点P的速度与点Q的速度之比为2：3，则点P、点Q第2026次相遇在（　　）点． A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 9．（2026春•无锡期中）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF作矩形DEFG，连接CG．现有下列结论： ①矩形EFGD是正方形； ②△ABE≌△CDG； ③AC⊥CG； ④当时，矩形EFGD的面积为60． 其中结论正确的序号是（　　） A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 10．（2026春•海陵区校级期中）已知如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠B＝60°，若AB＝AD＝2，则等腰梯形ABCD的周长为 　 　 ． 11．（2026春•丹阳市期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BD，AC与BD交于点O，CD＝2，AB＝4，则此梯形的面积为　 　． 12．（2026春•常州校级期中）如图，在正方形ABCD中，E为BD上一点．若∠BCE＝65°，则∠BEC＝　 　 °． 13．（2026春•常州校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝1，AB＝4，BC＝5，则梯形ABCD的面积为　 　 ． 14．（2025春•浦东新区校级月考）等腰梯形两底之比为5：3，两底之差为20，则中位线为 　 　 ． 15．（2025春•闵行区校级月考）在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为6.5，则梯形ABCD的面积　 　 ． 16．（2026春•中山市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E是AD上一点，AE＝2，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 　 　 ． 17．（2026春•浦东新区校级月考）在一张直角三角形纸片的两条直角边上各取一点，沿它们与斜边中点的连线剪掉两个三角形，剩下的部分是一个直角梯形，已知这个直角梯形上底为2，下底为3，面积为5，那么原直角三角形的斜边长为　 　． 18．（2026春•韩城市期中）如图，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝AE，连接DE，DF，若∠EAB＝30°，求∠DFE的度数． 19．（2026春•普陀区期中）如图，已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，并交于点G，连接AG，点M是AG的中点，分别连接EM、DM． （1）求证：四边形EGDM是平行四边形； （2）若AB＝AC，∠GBC＝45°，求证：四边形EGDM是正方形． 20．（2026春•沛县期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）∠APB＝　 　 °； （2）①求证：四边形OCPD是正方形； ②若OA＝AC＝3，求点B的坐标． 21．（2026春•东昌府区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC，BD交于点O，且AC＝12，BD＝16，点E，F分别是边AB，CD的中点，求EF的长度． 22．（2026•玄武区一模）已知：如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，D是边BC上的点，且CD＝AD． （1）证明：AD＝AB； （2）若E、F分别是BD、AC的中点且AC＝6，如图2，求EF的长． 23．（2026春•盐都区期中）求证：等腰梯形中同一条底边与腰所夹的两个角相等． 24．（2026春•沛县期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝90°，E为边AB上一点，EB＝DC，连接DE、BD． （1）求证：四边形BCDE是矩形； （2）若BD平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，求DE的长． 25．（2025春•芜湖期末）位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1060m，CD＝460m，AD＝1000m． （1）求BC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 26．（2025秋•安溪县期中）为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为10米的篱笆，一面靠墙（足够长），围出一块8平方米的直角梯形ABCD菜地作为实践基地，如图所示．已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝AD＜BC．求梯形的两底长． 27．阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierre1654﹣1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N． ∵H，G分别为AD，CD的中点，∴．（依据1） ∴．∵DG＝GC，∴． ∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ． ∵HG∥AC，即HG∥PQ， ∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴． ∵，∴．同理，… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：　 　　 　　 　　 　 ． 依据2是指：　 　　 　　 　　 　　 　 ． （2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线） （3）在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论． 28．（2026春•上海校级月考）已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与点C、点D重合，CP＝b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF． 观察计算：（1）如图1，当a＝4，b＝1时，四边形ABFD的面积为　　 ； （2）如图2，当a＝4，b＝2时，四边形ABFD的面积为　　 ； （3）如图3，当a＝m，b＝n时，四边形ABFD的面积为 　　　　　　m2 ； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？ 29．（2026•邗江区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $