精品解析：天津市武清区2025-2026学年度第二学期期中练习高二数学

2025~2026学年度第二学期期中练习 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共36分） 一、选择题（本题共9小题，每小题4分．共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 从甲地到乙地有3条不同的路线，从乙地到丙地有4条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地的不同路线有（ ） A. 7条 B. 12条 C. 64条 D. 81条 2. 要从件不同的礼物中选出件，不同的选法种数为（ ） A. B. C. D. 3. 一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 4. 某班从这5名学生中选出4名，排成米接力赛的第一、二、三、四棒，其中不跑第一棒和第四棒，则不同的排法种数（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 5. 在展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则二项式系数和为（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 6. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 展开式中的系数是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 若函数在上单调递增，则实数m的最小值是（ ） A. B. C. D. 9. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共84分） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 10. ________．（请用数字作答） 11. 函数的导数为________． 12. 在的展开式中，常数项为______.（请用数字作答） 13. 某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球、篮球、排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为________．（请用数字作答） 14. 若函数有两个极值点，则实数a的取值范围________． 15. 已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为______. 三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值． 17. 某医院从5名男医生和4名女医生中选出4人参加义诊服务． （1）如果男医生中的甲和女医生中的乙至少1人在内，那么有多少种选法？（请用数字作答） （2）如果选出4人中必须既有男医生又有女医生，那么有多少种选法？（请用数字作答） （3）如果男女医生各选2人，再将这4个人安排在4个并排的诊位上，每人1个位置，且男医生相邻，那么有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） 18. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等． （1）求n的值； （2）求展开式中的系数； （3）求展开式所有项的系数之和． 19. 已知函数（），当时，有极大值3． （1）求的值； （2）若方程在区间上恰有一个根，求实数的取值范围． 20. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在区间上存在零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中练习 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共36分） 一、选择题（本题共9小题，每小题4分．共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 从甲地到乙地有3条不同的路线，从乙地到丙地有4条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地的不同路线有（ ） A. 7条 B. 12条 C. 64条 D. 81条 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，将从甲到乙、从乙到丙的路线数相乘即可得到总路线数． 【详解】要完成从甲地经乙地到丙地的行程，需分两个步骤： 第一步，从甲地到乙地，共有3种不同的路线可选； 第二步，从乙地到丙地，共有4种不同的路线可选， 根据分步乘法计数原理，不同路线的总条数为3×4=12条． 2. 要从件不同的礼物中选出件，不同的选法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据组合数的定义可知，选法种数为：. 3. 一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的含义：在一点处的导数值指的是在这点处的瞬时变化率，故计算瞬时速度利用导数计算即可． 【详解】因为，则在时的瞬时速度为， 故质点A在时的瞬时速度为． 4. 某班从这5名学生中选出4名，排成米接力赛的第一、二、三、四棒，其中不跑第一棒和第四棒，则不同的排法种数（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】对是否入选进行分类，利用分类加法计数原理与分步乘法计算原理计算即可. 【详解】若未被选中，则对剩余的4名学生进行排列，有种排法， 若被选中，第一步：由于不能跑第一棒和第四棒，只能选择第二、三棒，共2种选法， 第二步：从剩余4名学生中选3名进行排列有， 此时共有种排法， 因此满足题意的不同的排法种数为：. 5. 在展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则二项式系数和为（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】B 【解析】 【详解】因为展开式中只有第项二项式系数最大，所以，解得， 所以的二项式系数和为． 6. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 选项D：，故D错误. 7. 展开式中的系数是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】写出的通项，将前面多项式每一项与通项相乘，根据所求的的系数，对r分类计算系数相加即可． 【详解】的通项为； 因为， 的通项为：， 当时，此项为； 的通项为， 当时，此项为； 综上的系数为． 8. 若函数在上单调递增，则实数m的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在可知上恒成立，即在上恒成立，令，利用导数求的最大值，从而得到的范围，进而即得. 【详解】因为，所以， 在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令， ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此，在处取得极大值也即为最大值，最大值为 ， 因为恒成立，所以， 即的最小值为. 9. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象，利用导数与函数单调性间的关系，得和时，的取值范围，即可求解. 【详解】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 第Ⅱ卷（共84分） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 10. ________．（请用数字作答） 【答案】 21 【解析】 【详解】. 11. 函数的导数为________． 【答案】 【解析】 【详解】. 12. 在的展开式中，常数项为______.（请用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通式，令的次数为零即可得到答案. 【详解】由题意可得二项式的展开式的通项为，，，，，， 令，解得， 所以展开式的常数项为， 故答案为：60 13. 某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球、篮球、排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为________．（请用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先分组，人数只能拆分为2，2，3，再分配，甲所在的组只有种选择，剩下的组任意选，结合排列组合知识求解. 【详解】将名大学生分为三组：第一组个人，第二组2个人，第三组个人，共有 种分组方法； 由于甲不去看足球比赛，故甲所在的组只有种选择，剩下的组任意选，有 种分配方法； 所以甲同学不去观看足球比赛的方案种数为共有 种方法. 14. 若函数有两个极值点，则实数a的取值范围________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得函数的定义域为，求导得， 因为函数有两个极值点，所以有两个不同变号零点， 令 ，在上有两个不同的正根， ，所以 由韦达定理，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 15. 已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，，先求得的值域，再根据题意分析两个函数值域间的包含关系，得到实数a的取值范围. 【详解】令，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 所以的值域为. 所以对任意，. 所以. 令，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以的值域为. 所以对任意，. 由，得， 所以是的子集，所以， 所以. 所以实数a的取值范围为. 三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1） （2） 极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）先计算切点坐标，利用导数的几何意义求切线斜率，代入点斜式得到切线方程. （2）通过导数分析函数单调性，根据单调性确定极值. 【小问1详解】 当时，，故切点为. ，因此切线斜率为. 因此切线方程为，整理得. 【小问2详解】 函数的定义域为，. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取得极小值，极小值为，无极大值. 17. 某医院从5名男医生和4名女医生中选出4人参加义诊服务． （1）如果男医生中的甲和女医生中的乙至少1人在内，那么有多少种选法？（请用数字作答） （2）如果选出4人中必须既有男医生又有女医生，那么有多少种选法？（请用数字作答） （3）如果男女医生各选2人，再将这4个人安排在4个并排的诊位上，每人1个位置，且男医生相邻，那么有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） 【答案】（1） 91 （2） 120 （3） 720 【解析】 【分析】（1）先算出总选法数，减去甲乙都不在的选法数即可； （2）先算出总选法数，减去全为男医生或全为女医生的选法数即可； （3）先选后排，结合捆绑法处理相邻排列问题. 【小问1详解】 从9名医生中任选4人的总选法为， 男医生甲和女医生乙都不在内的选法为从剩余7名医生中选4人的， 因此符合条件的选法为. 【小问2详解】 从9名医生中任选4人的总选法为， 不符合“既有男医生又有女医生”的情况为4人全为男医生或全为女医生， 其中全为男医生选法，全为女医生选法， 因此符合条件的选法为. 【小问3详解】 选2名男医生的选法为，选2名女医生的选法为， 将2名男医生捆绑为1个整体，与2名女医生共3个元素全排列，排法为， 其中捆绑的2名男医生内部排列为， 总安排方法为. 18. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等． （1）求n的值； （2）求展开式中的系数； （3）求展开式所有项的系数之和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）二项式的展开式中，第项的二项式系数为，利用组合数性质求解； （2）利用通项公式求解； （3）令二项式中所有字母的值为求解. 【小问1详解】 所以第3项的二项式系数为，第5项的二项式系数为， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知，则二项式为， 其展开式的通项公式为： ， 令，解得 ， 将代入通项，得的系数为. 【小问3详解】 求所有项的系数之和，只需令二项式中所有字母的值为， 即令得到 . 19. 已知函数（），当时，有极大值3． （1）求的值； （2）若方程在区间上恰有一个根，求实数的取值范围． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用极值点处导数为0、对应函数值为3列方程组求解，再验证为极大值点即可； （2）先求函数在上的单调性与关键点函数值，结合与的交点个数确定的取值范围. 【小问1详解】 对 求导得 . 由题意，处取极大值3，故满足 ， 化简得，将代入第二个方程得，则. 此时 ，时，时， 故为极大值点，符合题意，因此. 【小问2详解】 由（1）得 ， ， 令得或，均在区间内. 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减。 计算关键点函数值得  ，， ，. 方程恰有一个根等价于与在区间内仅有1个公共点，结合单调性得 当​ 时，仅在 上有一个交点； 当 时，在和 上各有一个交点，共两个； 当 时，在三个区间上各有一个交点，共三个； 当时，在和处各有一个交点，共两个； 当  时，仅在 上有一个交点； 当或时，无交点. 因此的取值范围为 . 20. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在区间上存在零点，证明：． 【答案】（1）若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）因为在区间上存在零点， 所以存在，有 ，即， 若要证明，则只需，即只需， 不妨设，，求导得， 令，， 求导得， 所以当时，单调递增， 所以， 当时，单调递增， 所以， 即当时，不等式恒成立. 故得证. 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论，根据导数的符号确定单调区间； （2）分离参数，转化为不等式关系，构造新函数，求导，确定单调性可证. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，由，可得；由，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $