精品解析：天津市静海区第四中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

2025-2026学年静海四中第二学期5月份练习卷 高一数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.试卷满分120分.考试时间100分钟. 第Ⅰ卷 一､单选题：本题共10小题，共44分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. i B. C. 1 D. 2. 已知平面向量，，，若，，则为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 3. 已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 在中，，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积　　 A. B. 1 C. D. 8. 已知复数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 9. 如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二､填空题：本题共5小题，共20分. 11. 已知，z的共轭复数为，则__________． 12. 已知正方体的内切球的体积是，则这个正方体的体积是_________. 13. 设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为_____. 14. 如图所示，已知，将这个三角形以所在直线为轴旋转得到一个几何体，则该几何体的体积为_________. 15. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则________；为线段BC上的中点，则的值为________． 三､解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且，． （1）求角的大小； （2）若，，求边长． 17. 在锐角中，，，分别为角，，所对的边且. （1）确定角的大小； （2）若且的面积为，求的值. 18. 已知，. （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若，求k的值. 19. 如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证: （1） （2）平面; 20. 如图，在正方体中为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年静海四中第二学期5月份练习卷 高一数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.试卷满分120分.考试时间100分钟. 第Ⅰ卷 一､单选题：本题共10小题，共44分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. i B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由复数，根据复数的定义，可得复数的虚部为. 故选：C. 2. 已知平面向量，，，若，，则为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行、垂直求得，进而求得. 【详解】由于，， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：A 3. 已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】与非零向量方向相反的单位向量为，进而可求得结果. 【详解】，，，则， 因此，与向量方向相反的单位向量是. 故选：D. 【点睛】本题考查单位向量的求解，利用结论：与非零向量方向相反的单位向量为是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 4. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求展开图中扇形的弧长，再由圆心角与弧长和扇形半径的关系求圆心角. 【详解】圆锥的侧面展开图为扇形， 扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：B. 5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】先根据空间线面、面面的平行与垂直的判定及性质定理，对每个选项逐一分析：A中平行平面内的两条直线不一定平行；B中两平面内的直线平行不能推出面面平行；C中利用线面平行的性质，可推出直线与两平面交线平行；D中由线面垂直和直线平行可推出面面平行而非垂直，从而确定正确选项． 【详解】对于A，若，，，则与可能平行、相交或异面，A是假命题； 对于B，若，，，则与可能平行，也可能相交，B是假命题； 对于C，若，，， 过作平面与交于，与交于， 由线面平行的性质得且，所以， 又，，故， 再由线面平行的性质得，因此，C是真命题； 对于D，若，，，则由且得， 又，所以，D是假命题． 6. 在中，，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可 【详解】由可得， 又，解得，， 又由可得， 所以的面积为， 故选：D 7. 如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积　　 A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积． 【详解】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以OB，对应原图形平行四边形的高为：2， 所以原图形的面积为：1×22． 故选A． 【点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力． 8. 已知复数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用虚数单位幂次的周期性化简复数，再根据复数模长公式计算即可． 【详解】虚数单位的幂次具有周期为的性质：，，，，且任意连续项的和满足， 题干中是首项为、公比为的等比数列前项的和（指数从到，共项）， 由可知，前项（对应指数到）的和为， 剩余两项为 ，即 ， 所以． 9. 如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案. 【详解】由图形可知： . 故选：B. 10. 在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，异面直线与所成的角是或其补角，由正方体性质即可得结论. 【详解】如图，连接， 由题意， 所以异面直线与所成的角是或其补角， 由正方体性质知是等边三角形，， 所以异面直线与所成的角是. 故选：B. 第II卷（非选择题） 二､填空题：本题共5小题，共20分. 11. 已知，z的共轭复数为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据已知条件求出即可. 【详解】设，则， 所以， 所以，解得，所以， ，所以. 故答案为： 12. 已知正方体的内切球的体积是，则这个正方体的体积是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过球体体积公式求出内切球半径，再结合正方体内切球直径等于棱长的关系求出棱长，最终计算正方体体积. 【详解】设正方体的内切球半径为，正方体的棱长为， 根据正方体内切球的几何性质，内切球的直径等于正方体的棱长， 因此有 ， 球体体积公式为，代入 ， 得，解得， 因此正方体棱长 ， 正方体体积为：. 13. 设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将三点共线转化为向量共线，再根据共线向量基本定理列方程，求解即可. 【详解】由题意，， 由三点共线，得， 所以存在唯一实数，使得，即， 又和不共线，所以，解得. 故答案为：. 14. 如图所示，已知，将这个三角形以所在直线为轴旋转得到一个几何体，则该几何体的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】过点C作延长线的垂线，确定旋转体为半个大圆锥减去半个小圆锥，其体积利用圆锥体积公式求解. 【详解】如图，过点C作交延长线于D， 因为,，， 在中，，，， 将该三角形以所在直线为轴旋转得到的几何体， 其体积等于以为底面半径，为高的圆锥体积的一半，减去以为底面半径，为高的圆锥体积的一半； 设旋转后的几何体的体积为，则 ， 故几何体的体积为. 15. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则________；为线段BC上的中点，则的值为________． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】由题意可知，再结合可得，进而求出，的值，得到的值；,即可根据数量积的运算律求出. 【详解】由题意可知， ， ，，； 则， 故 故答案为：；． 三､解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且，． （1）求角的大小； （2）若，，求边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理计算可得（2）根据余弦定理化简求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 因为， 所以， 因为，为锐角， 所以． 【小问2详解】 因为，，， 所以由余弦定理可得． 17. 在锐角中，，，分别为角，，所对的边且. （1）确定角的大小； （2）若且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求解； （2）由面积公式和余弦定理列方程可得. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， ， ， 因为为锐角三角形， 所以. 【小问2详解】 因为的面积， 所以解得. 由余弦定理可得， 所以， 解得. 18. 已知，. （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若，求k的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式及夹角公式求解即可； （2）根据投影向量的定义求解即可； （3）根据平面向量平行的坐标公式求解即可. 【小问1详解】 由，， 得， 所以； 【小问2详解】 向量在向量上的投影向量的坐标为 ； 【小问3详解】 ， 因为， 所以，解得. 19. 如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证: （1） （2）平面; 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由平行的传递性即可求证； （2）连，交与点，则点是的中点，可证，由直线与平面平行的判定定理证明平面； 【小问1详解】 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又分别为的中点，所以， 所以 【小问2详解】 连结，设与连结交于点，连接， 四边形为平行四边形，点是的中点， 又是的中点， 是的中位线， 又面，面，平面， 20. 如图，在正方体中为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； 【答案】（1） （2）如图所示，在正方体中，平面，平面，因此. 由四边形是正方形，可知. 又因为平面，平面，且， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）确定三棱锥的底面与高，再结合三棱锥体积公式计算体积； （2）根据线面垂直判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线即可. 【小问1详解】 在正方体中，，因此正方体棱长为，平面. 因为是中点，所以到平面的距离. 底面是直角三角形，. . 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $