江西宜春市袁州区2025－2026学年九年级下学期数学阶段性练习（二）

九年级下学期数学阶段性练习（二） 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列各数中，最大的负整数是() A.-3 B.-2 C.-1 D.-0.5 2.窗棂体现了我国古代建筑之美，既有几何之规整，又有自然之灵秀，下面是关于窗棂的一些图片， 其中不是中心对称图形的是( B 3.下列各式计算正确的是( A.（-2a2)）2=4a B.a3.a2÷a=a7 c.(a-2)2=a2-2a+4 D.（3x+2)(2-3x)=9x2-4 4.从图1的正方体上截去一个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，则这个几何体的主视图是( 从正面看 图 图2 B 5.科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，其开花时长的平均数和方差如图所示，若从甲、乙、 丙、丁中选择一种开花时间最长，且最平稳的，则应该选() 方差 A.甲 B.Z C.丙 D.丁 0 12345平均开花天数 6.呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器 是一种气敏电阻（图1中的R)，R的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒 精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是() R/ 100 信息窗 80 M=2200×K×10mg100ml 60 M为血液酒精浓度，K为呼气酒精浓度) 40 非酒驾(Mk20mg/100ml) A 20 酒驾(20mg/100ml,≤M≤80mg100ml) 醉驾(M680mg/100ml) 10203040KJx10mg/100ml. 图1 图2 图3 A.呼气酒精浓度K越大，R的阻值越小 B,当K=0时，R的阻值为100 C.当K=10时，该驾驶员为非酒驾状态 D.当R=20时，该驾驶员为醉驾状态 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.计算31 2a2a 8.小麦花粉的直径约为0.000004米，数据0.000004用科学记数法表示为 9.如图，正方形ABCD的边长为2，分别取AB,BC,CD,DA各边中点得到正方形ABCD1 再取AB,BC,CD,DA的中点得到正方形A4,B2C2D2；;以此类推，则正方形A6B。C6D。 的边长为 10.如图是“赵爽弦图经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，H是DE的 中点.若AD的长为5，则阴影部分的面积为 H 图1 图2 图3 第9题图 第10题图 第11题图 11.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图11）。把洛书用今天的数学符号 翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足 每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方。图3 的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则nm= 12.矩形ABCD中，对角线AC=2√5，将AB绕点A旋转一定的角度后，点B的对应点恰好为 △ACD一边的中点，则AB= 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.按要求解答下列各题： (1)计算：V3-2+tan60°-(（-2026)°： 2(x+1)>4 (2)解不等式组： 3x≤x+5 14.数学老师写了一个运算过程并盖住了运算符号和一个代数式，如图1，小颖将问题转化为图2， ※为运算符号，A为一个代数式. (1)小颖猜测※为“-”，求A; x+2 x+l x+2 (2)数学老师告诉小颖※为“÷”，用x表示出A,并求 x+3 2x+6 x+3 ※A=+L 2x+6 A=3时x的值. 图1 图2 15.如图，均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A,B 均在格点上.在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图。 B 图① 图② (1)在图①中，以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC. (2)在图②中，以线段AB为直角边画一个直角三角形ABD,并且使tan∠BAD=3 16.如图，体育课上，六位同学（分别记为A,B,C,D,E,F)分别站在正六边形的顶点处做传球游戏. 规定：球不得传给相邻的人，且球传给其他三人的可能性相同，如B可以将球传给D,E或F, 但不能将球传给A或C,球现在在A手中 (1)第一次传球后，A将球传给F的概率为 (2)若假设没有传球失误，求经过两次传球后球在B手中的概率 17.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，点D为圆外一点，∠ADC=90°， 且∠CAD+∠ABC=90°. (1)求证：CD为⊙O的切线； (2)若∠B=60°，CD=2,求AC的长. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.某商场的国补活动中，家电国补为20%（即降价20%，后同），数码产品国补为10%，运动 器材不仅有15%的国补，还有一定金额的厂商补贴. (1)王女士在该商场购买了一台电视机和一台平板电脑，一共付款5320元，比原价便宜了980元， 试求出这台电视机和平板电脑的原价： (2)王女士想在该商场再购置一台原价为4200元的跑步机，店员预估国补、商补贴后的价格不 低于2970元，求厂商补贴最多是多少元. 19.今年马年春晚上机器人表演《武BOT》(如图1)，完成马步、空翻、队列变换等高难度动作， 体现了科技与文化的深度融合.如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身AD=60cm, 小腿BC与大腿AB长均为30cm,机器人上半身AD垂直地面MN. D B B 图1 MrrrEETTTEN Mi ITN 图2 图3 (1)若忽视机器人手臂，∠DAB=126°，∠BCN=70°，求∠ABC的度数； (2)如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂DE伸直后长为45cm,∠ADE=50°，若此 时D、A、C三点正好在同一直线上，∠BCN=60°，求点E到地面MN的距离. (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，√3≈1.73，结果精确到1cm) 20.如图，直线y=(k≠0)与双曲线y=”交于A,B两点，R△MBC中， AC=BC,且点C的坐标为(-3，-2). (1)求直线与双曲线的解析式. (2)D为第一象限内一点，当△ADB为等边三角形时，求点D的坐标！ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.随着科技的发展，人工智能已然走进了人们的生活，现从豆包、DeepSeek两款人工智能软件调 查得分中分别随机抽取了10位用户得分(x)的数据进行整理分析，共分为四组，A:60<x≤70， B:70<x≤80，C:80<x≤90，D:90<x≤100，下面给出了部分信息： 豆包人工智能软件得分数据：64,75,78,85,85,90,92,93,98,100. DeepSeek人工智能软件在C组(80<x≤90)内的所有得分数据：88,88,89,90. 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 a 6 111.2 DeepSeek 86 c 88 89.8 D h0% 30% C DeepSeek人工智能软件得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a=,b= ,C=; (2)若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对DeepSeek 人工智能软件进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意90<x≤100的总用户 数； (3)为了使样本数据更精确地反映总体情况，从豆包软件调查得分中又随机抽取5个用户进行统 计，若新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88，则两次抽取的共15个用户 评分的中位数为 22.综合与实践 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶 点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”如图1，在△ABC中，E是BC边上一点， 连接AE,若AE2=BE·CE,则称点E是△ABC边上的“射影点”， 初步感知 (1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,则点D (填“是”或“不是)△ABC 中AB边上的“射影点” 尝试探究 (2)如图3，已知在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点E,∠BAC=∠BDC,若点E是 △ACD中AC边上的“射影点”，求证：BE=DE, 迁移应用 (3)如图4，在矩形ABCD中，E为BC边上一动点，连接DE交对角线AC于点F,当点F 恰好是△CDE中DE边上的“射影点”时. ①求证：点F也是△ACD中AC边上的“射影点” ②若AB=25,AD=4V5,直接写出CE的长. 六、（本题12分） 23.定义：对于平面直角坐标系中的点M和点P,若将点P绕点M顺时针旋转a(0°≤a≤180)后 得到对应点Q，则称对应点Q为点P关于M旋转的“正旋点”，特别的，当(a=90时，点 Q为点P关于点M的“正垂旋点”， 图1 图2 图3 (1)已知点M的坐标为(2,0)，若点P的坐标为(4,0)，点P关于点M的正垂旋点坐标是 点P关于点M旋转60°的正旋点坐标是 (2)直线y=3x+3的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B. ①如图1，点C是该直线上一动点，若点C关于点B的“正垂旋点横坐标为6，此时点C的 坐标为 ②如图2，若该直线上动点C关于点B的“正垂旋点”为点E,反比例函数y=的图象恰好经过 点E,请你求出此时点C的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线y=-x2+2x+3的图象上存在一点P,连接PA, 当∠PAB=45时，请你判断点B是否为点P关于点A旋转45°的“正旋点”，并说明理由. 3数学试卷答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.c 2.B 3.A4.D5.D6.C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 21 8.4×106 好 10.15 11.-8 122或5或4v3 【详解】解：·四边形ABCD为矩形， ·.AB=CD,D90, :AD2+CD2=AC2=(25)=20, .AD2+AB2=20, :将AB绕点A旋转一定的角度后，点B的对应点恰好为△ACD一边的中点， “当点B的对应点为斜边AC的中点时，如图，则此时AB=】AC=√5， D B B C :.当点B的对应点为直角边AD的中点时，此时AD=2AB, D B ·.(2AB+AB2=20, AB=2(负值不符合题意，舍去)， 当点B的对应点为边CD的中点时，记此时的对应点为M,则AB=AM=CD,CM=DM=CD=}AB, D M B 由勾股定理可得AD2+DM2=AM2, =AB2 3 AD2=AB2, 4 ·AD2+AB2=20, 3AB2+AB2=20, 4 ÷AB=4V35 (负值不符合题意，舍去) > 综上所达，1B=2或5或435 7 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1) 解：V3-2+tan60°-(-2026)9 =2-V3+3-1 =1. 3分) (2) [2(x+1)>4 解： 3x≤x+5 解不等式2(x+1)>4,得x>1, 解不等式3x≤x+5,得xs 原不等式组的解集为1<xs (6分) 14. 答案】（四 (2)A=2x+4 x+1,x=1 ()解：由题意得+2-A=x+1 x+3 2x+6 A=+2 x+1 x+32x+6 (2x+4)-(x+1) (1分) 2x+6 =x+3 2x+6 =2:6分) 1 (2）解：若*为“÷” x+2 ÷A=x+1 x+3 2x+6 A=X+2x+1 x+32x+6 =x+2×2x+6 x+3 x+1 2x+4;4分】 x+1 当A=3时，即2x+4 =3, x+1 .2x+4=3(x+1), 解得x=1, 经检验，x=1是原方程的解.(6分) 15. (1) 解：如图①所示，即为VABC所求， (3分) 图① (2) 解：如图②所示， (6分) 图② 4B==26,tanBAD=BD=BD_3 AB 26 5' 则BD=3V26 3 5 BC, ·△ABD即为所求图形 【参考答案及评分标准】(1)0 (2分) (2)根据题意，画树状图如下. 开始 16 第一次传球 E 第二次传球AEFABFABC (4分) 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次传球后球 在B手中的结果有2种，故所求概率是号 (6分) 17.(1) 证明：连接OC,OA B ·∠AOC=2∠B 设∠B=x,∠AOC=2x ·OA=OC ∠4c0=∠C40=180°-∠40C-90°-x :∠ADC=90° .∠CAD+∠ACD=90° ·∠CAD+∠ABC=90° .∠ACD=∠ABC=X .∠ACD+∠ACO=90°，即CD⊥OC :OC为半径， .CD为⊙O的切线；3分) (2) 解：过点O作OJ⊥AC于点J, D ∠B=60° .∠AOC=2∠B=120°，∠ACD=∠B=60° :CD=2 CD :.AC=- =4 oS∠ACD ·OA=OC,OJ⊥AC CJ=AC=2 ·CD⊥OC .∠AC0=90°-∠ACD=30° OC=- CJ OSLACO3 ·AC的长-120r×45_8v5n6分 1803 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.(1) 解：设这台电视机原价为x元，平板电脑原价为y元 x+y=5320+980 由题意得， (1-20%)x+(1-10%)y=5320 x=3500 解得 y=2800 答：这台电视机的原价为3500元，平板电脑的原价为2800元；(4分) (2) 解：设厂商补贴为4元 由题意，国补后再减去厂商补贴的价格不低于290元， 列不等式得4200(1-15%)-a≥2970 解得a≤600 答：厂商补贴最多是600元.4分) 19.(1) 解：如图所示，延长DA交MN于点P,延长AB交MN于点O, D B 图2 AD⊥MN, .∠APQ=90°， ∠DAB=126°， ·.∠AQP=∠DAB-∠APQ=36°， ∠BCN=70°， ·∠ABC=∠BCN+∠AQP=106°；(3分) (2) 解：如图所示，过点E作EG⊥AD于点G,连接AC,过点B作BH⊥AC于点H, D G山E A H〉B MTITTTTITN 图3 在Rt△DGE中，DG=DE.cos∠GDE=45·cos50°≈45×0.64=28.8(cm), :AG=AD-DG=31.2cm; AD⊥MN, ∠ACN=90°， .∠ACB=∠ACN-∠BCN=30°， CH=BC.cos.∠BCH=30.cos30°=15V3(cm), AB=BC,BH⊥AC, AC=2CH=30W3≈30x1.73=51.9(cm), :CG=AG+AC=80.7=81(cm); :AD⊥MN,EG⊥AD, EGI MN, .点E到MN的距离约为8lcm 答：点E到地面MW的距离约为81cm.(8分) 【参考答案及评分标准】(1)：直线y=kx(k≠0)与双曲 线y=交于A,B两点， “点A与点B关于原点O成中心对称（依据：正比例函数 图象与反比例函数图象的对称性)， .O为AB的中点 (1分)》 连接C0,由题意知AC=BC,∠ACB=90°， ∴.C0上AB（依据：等腰三角形“三线合一”)，A0=C0(依 据：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半). (2分) 如图，过点A作AE⊥y轴于点E,过点C作CF⊥y轴于 点F, :∠C0A=90°，∠AE0=90°， ∴.∠C0F+∠AOE=∠AOE+∠OAE=90°， .∠COF=∠OAE. 20. 又.∠CF0=∠AE0=90°，0C=0A, ∴△AEO≌△OFC(点按：“-线三直角”模型)， ∴.AE=0F=2,E0=CF=3, 点A的坐标是(-2,3)， (3分) :直线的解折式是了=-子，双曲线的解析式是y=6 (点拔：待定系数法）· (4分) (2)如图，连接CD,过点D作DG⊥x轴于点G. CA=CB,DA DB, ∴CD是线段AB的垂直平分线， 点0为AB的中点， .点O在直线CD上， 2 .直线CD的解析式为y=3 (5分) 设点D的坐标为(n,子)，则0G=n,DG=子 点A的坐标是(-2,3)，点A与点B关于原点0成中心 对称， 点B的坐标是(2，-3)（点拨：关于原点对称的两个点的 横、纵坐标均互为相反数）， .AB=2√/13 (6分) ,△ABD是等边三角形， 六0-90=V (7分) .在Rt△OGD中，0G2+DG2=D02, +(号2=(V)a=35, ∴.点D的坐标为(3√3,2√5) (8分) 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.【答案】(（1)87.5,85,883分) (2)580名(3分) (3)88(3分) (）解：：豆包人工智能软件10个得分数据中，从小到大排列后，中位数为第5个和第6个数之和的平均 数， 中位数a= 85+90 =87.5, :豆包人工智能软件得分数据中85出现的次数最多， 众数b=85, ·DeepSeek人工智能软件得分数据中：共10个数据， ·.A组有10×10%=1（个），B组有10×30%=3（个）， ·.DeepSeek人工智能软件得分的中位数为C组数据从小到大排列的第1个、第2个数据的平均数， .中位数c 88+88=88. 2 (2) 解0x+100-10-3010）=58w. 10 .估计估计其中对两款人工智能软件非常满意90<x≤100的总用户数约为580名， (3) 解：·新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88， :.新抽取的5个用户评分从小到大排列后第3个是88分，即有两个评分低于88分，有两个评分高于88分， :豆包人工智能软件原得分从小到大排列的第4个和第5个都是85， ·合在一起的15个评分中，第8个是88，即中位数为88. .解：(1)是. 1分 (2)正明：，点E是△ACD中AC边上的“附形点”， ∴DE=AE·CE :'∠BAC=∠BDC.∠AEB=∠DEC. ∴△ABE∽△DCE, 能。 AE·CE=BE·DE, 22..BE·DE=DE BE=DE。… 分 (3)①证明：点F是△CDE中DE边上的“射形点” cr=0r-8器 ,四边形ABCD是矩形. ..AD//BC. .∠DAC=∠BCA. ,∠AFD=∠CFE, ∴.△ADF∽△CEF， 器器品 器架， DF2=CF·AF, 点F也是△ACD中AC边上的射影点”.… 分 ②CE的长为45或5. 分 提示：∠ADC=90°，AB=25,AD=45,AC=10. 如图.过点D作DP⊥AC,垂足为P, PD-ADCD-4AP-V4/5)=8 AC 设AF=x,由①知DF2=AP·CF,又DF2=PF十DP2, .AF·CF=PF+DP2 x(10-x)=(8-x)2+4,即.x2-13r+40=0, 解得x1=5,x2=8. AF=5或AF=8. AADPACE 公 号--， ∴解得CE=4V5或CE=√5， 六、（本题12分） (1)解：：点M的坐标为(2,0)，若点P的坐标为(4,0)，根据旋转的性质得， 一点P关于点M的正垂旋点坐标是(2，-2) 如图所示，令点I为点P关于点M旋转60°的正旋点，过点I作W1x轴于点J, 23. .△MPI为等边三角形， w-P-X4-2)= :.OJ=OM+M0=2+1=3 由勾股定理得Ⅱ=VM-万=V4-2-P=V5 ∴点P关于点M旋转60°的正旋点坐标是3-)。( 2分) (2)解：①如图1所示，假设点C关于点B的“正垂旋点”为点D,过点D作DE⊥x轴于 点E, D 图1 :.∠ABD=∠BED=∠AOB=90°， .∠ABO=∠D=90°-∠DBE, .△ABOABDE, DE BE .OB OA. 当x=0时，y=3, :A(0,3) 0A=3: 当y=0时，0=-3x+3, 解得x=1, :B(1,0) .OB=1: :D点的横坐标为6， .0E=6. .BE=OE-OB=6-1=5, DE 5 .13 :点C是直线y=-3x+3上一动点， 52 1- ∴点C的横坐标为33， 2 X=一 将 3代入y=-3x+3得， y-3x}3=5 点C的坐标为 (4%) ②如图所示，作CM⊥x轴于点M,EN⊥x轴于点N, 图2 .∠CMB=∠CBE=∠BNE=90°，BE=BC, .∠BCM=∠EBN=90°-∠MBC, :.△BCM≌△EBN(AAS) :.BN=CM,EN MB 设点C的坐标是(a-3a+3),则M(a,0) .EN MB=1-a,BN=CM=-3a+3, ∴E的坐标为（-3a+4,1-a) :反比例函数X的图象恰好经过点E, :.（-3a+4)1-a)=2 .3a2-7a+2=0, 解得： a=2,4=3 “.C的坐标为 或2-)，(8为) ③如图3，过点B作BE⊥AB,且BE=AB,连接AE交抛物线于P,过点E作EF⊥x轴 于点F,则∠BFE=∠ABE=∠AOB=90°， O B 图3 :.∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠EBF=90° .∠BAO=∠EBF, .△ABO≌△BEF(AAS) ..OA=BF=3,OB=EF =1. .OF=OB+BF=1+3=4, E(4,) 4k+b=1 设直线AE的解析式为y=c+b,将E(4,,A(0,3)代入得： b=3 k=- 2 b=3 解得： 1 y=、 x+3 .直线AE的解析式为 2 1 y=-x+3 y=-x2+2x+3 联立解析式得 X2= 2 x1=0 1 解得： (y=3 (舍去)， ∴点P的坐标为 别 :8-而-得仔-可5 .AB≠AP, 点B不是点P关于点A的45°的“正旋点”. 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