河北邯郸市永年区第二中学2025-2026学年高一下学期数学必修二作业考试化训练16（正八面体中的概率问题）

**基本信息** 以正八面体为载体，分层设计概率问题，从基础概念辨析到综合事件应用，培养数学思维与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选1-7）|单一概率概念（如互斥/独立判断、古典概型）|通过正八面体模型直观考查概念，如第2题辨析互斥与独立关系| |提升层（多选8-10、填空11-13）|多事件关系（如事件交并、概率计算）|多事件综合辨析，如第8题结合偶数、素数、小于5事件培养逻辑思维| |综合层（解答14-15）|独立事件证明、多次试验概率|需规范证明与计算，如第14题证明独立事件并求三次抛掷概率，发展数学表达|

永年二中高一数学必修二作业考试化16 测试范围：正八面体中的概率问题 一、单选题 1．如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面，这两个面相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一个正八面体，个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件“数字为奇数”，事件“数字为或”，则与的关系是（    ） A．互斥且相互独立 B．互斥但不相互独立 C．相互独立但不互斥 D．既不相互独立也不互斥 3．一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（    ） A． B． C．互斥 D．相互独立 4．一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（    ） A．A，B互斥 B． C． D．A，B，C两两独立 5．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件，记“得到的点数不大于4”为事件，记“得到的点数为质数”为事件，则下列说法正确的是（    ）    A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 6．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设，，则（    ） A．与互斥 B．与相互对立 C．与相互独立 D． 7．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥，与相互对立 B． C．但不满足两两独立 D．且两两相互独立 二、多选题 8．一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为．记事件“接触面上的数字是偶数”，事件“接触面上的数字是素数”，事件“接触面上的数字小于5”，则下列结论正确的是（    ）． A．事件A与B互斥 B．事件A与C相互独立 C． D． 9．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷两次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，A表示事件“第二次抛掷与地面接触的面上的数字为奇数”，B表示事件“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为7” ，C表示事件“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为8”，则（   ） A． B． C．A与B独立 D．B与C互斥 10．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 三、填空题 11．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角，得到所有棱长均为2的截角四面体，则截角四面体各个面所在平面中，两个平面是相交平面的概率为______． 12．如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，抛掷这个正八面体两次，记它与地面接触的面上的数字分别为，，则的概率为______． 13．正八面体各个面分别标以数字1到8．抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.已知事件，，，若但A，B与C均不独立，则事件______． 四、解答题 14．在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件“与地面接触的面上的数字为奇数”，事件“与地面接触的面上的数字不大于4”    (1)判断事件A与B是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明； (2)连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率． 15．如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”. (1)请写出具体的样本空间； (2)请证明：但不满足两两独立； (3)连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二作业考试化16 测试范围：正八面体中的概率问题 一、单选题 1．如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面，这两个面相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面，共有16种取法，其中两个面相邻的取法有4种，从而求得概率. 【详解】从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面，共有16种取法，其中两个面相邻的取法有4种，所求概率为. 2．一个正八面体，个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件“数字为奇数”，事件“数字为或”，则与的关系是（    ） A．互斥且相互独立 B．互斥但不相互独立 C．相互独立但不互斥 D．既不相互独立也不互斥 【答案】C 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义判断可得出结果. 【详解】事件与事件的交事件为“数字”，所以，事件与不互斥，，，，则，所以，事件与相互独立但不互斥，故选：C. 3．一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（    ） A． B． C．互斥 D．相互独立 【答案】D 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义判断可得出结果. 【详解】对于A:事件发生时，事件不一定发生，所以A错；对于B: 时，事件发生同时不发生，所以B错；对于C: 时，A,B同时发生，所以C错； 对于D: ，则相互独立，所以D正确.故选：D 4．一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（    ） A．A，B互斥 B． C． D．A，B，C两两独立 【答案】D 【分析】利用互斥事件的定义即可判断A，根据并事件的定义即可判断B，利用独立事件的定义即可判断CD. 【详解】对于A：，即事件同时发生，所以，故A错误；对于B：事件发生，不一定发生，故B错误；对于C：根据题意，， 所以，，故C错误； 对于D：由，， 所以A，B，C两两独立，故D正确，故选：D. 5．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件，记“得到的点数不大于4”为事件，记“得到的点数为质数”为事件，则下列说法正确的是（    ）    A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 【答案】B 【分析】利用古典概型来计算各事件概率，利用独立事件的定义，利用对立事件概念即可判断各选项. 【详解】对于A，事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为，事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为，显然得到点数为时，事件B与事件C同时发生，所以事件与不互斥，故A错误；对于B，事件A为“得到的点数为奇数”， 事件B为“得到的点数不大于4”，故得到点数为，表示事件发生，即，故B正确；对于C，由事件A为“得到的点数为奇数”，则，事件C为“得到的点数为质数”， 则，而得到点数为，表示事件发生，即，此时，所以事件与事件不相互独立，故C错误； 对于D，而得到点数为，表示事件发生，即，所以，故D错误，故选：B. 6．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设，，则（    ） A．与互斥 B．与相互对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出概率，结合互斥事件，对立事件、相互独立事件及概率的乘法公式进行计算即可. 【详解】依题得，，，，对A，有共同的样本点2,3，所以不互斥，A错误；对B，与共同的样本点，所以与不相互对立，B错误；对C，，，则，则，，，则，则C错误； 对D，，，D正确.故选：D 7．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥，与相互对立 B． C．但不满足两两独立 D．且两两相互独立 【答案】C 【分析】明确事件，，所包含的样本点，根据互斥、对立、独立事件的概念判断各选项是否正确. 【详解】因为事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：.因为事件，都包含样本点2,3，所以，不互斥，故A错误；因为所含的样本点为：，所以，故B错误；因为所含的样本点为：，所以，又，所以.又事件所含的样本点为：，所以，又，所以，所以事件不独立，即两两独立错误，所以C正确，D错误.故选：C 二、多选题 8．一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为．记事件“接触面上的数字是偶数”，事件“接触面上的数字是素数”，事件“接触面上的数字小于5”，则下列结论正确的是（    ）． A．事件A与B互斥 B．事件A与C相互独立 C． D． 【答案】BCD 【分析】确定事件包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项判断. 【详解】事件，事件，事件，， 对于A，事件有相同的样本点2，事件A与B不互斥，A错误；对于B，，事件A与C相互独立，B正确；对于C，，C正确； 对于D，，D正确.故选：BCD 9．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷两次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，A表示事件“第二次抛掷与地面接触的面上的数字为奇数”，B表示事件“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为7” ，C表示事件“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为8”，则（   ） A． B． C．A与B独立 D．B与C互斥 【答案】ACD 【分析】根据古典概型研究抛掷一次时与地面接触的面上的数字为奇数的概率判断A；根据互斥事件的概念判断D；根据古典概型的概率公式以及概率的加法公式和乘法公式判断BC. 【详解】抛掷一次所有可能结果有种，其中数字为奇数的有种，则，故A正确； 用有序数对表示抛掷两次与地面接触的面上的数字，则抛掷两次的所有可能结果有，，，，共种，事件表示“第二次抛掷与地面接触的面上的数字为奇数且两次数字之和为7”，包含的可能结果有，共种，事件包含的可能结果有，共种， 则， 则，故B错误；，故C正确；事件表示“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为7且之和为”，显然是不可能发生事件，故D正确.故选：ACD 10．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 【答案】BD 【分析】利用古典概型来计算各事件概率，利用独立事件的定义，利用对立事件概念即可判断各选项. 【详解】对于A，事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为， 事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为，显然得到点数为时， 事件B与事件C同时发生，所以事件与不互斥，故A错误； 对于B，事件A为“得到的点数为奇数”， 事件B为“得到的点数不大于4”， 故得到点数为，表示事件发生，即，故B正确； 对于C，由事件A为“得到的点数为奇数”，则， 事件C为“得到的点数为质数”， 则， 而得到点数为，表示事件发生，即， 此时，所以事件与事件不相互独立，故C错误； 对于D，而得到点数为，表示事件发生，即， 所以，故D正确， 故选：BD. 三、填空题 11．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角，得到所有棱长均为2的截角四面体，则截角四面体各个面所在平面中，两个平面是相交平面的概率为______． 【答案】 【分析】根据截角四面体的结构特征，结合古典概型以及对立事件分析求解. 【详解】由题意可知：截角四面体有8个面，其中4对相对的面平行，在考虑顺序的前提下，从这8个面子任选2个面，共有种不同选法，记“两个平面是相交平面”为事件A，则为两个平面是平行平面，共有种不同选法，则，所以.故选：D. 12．如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，抛掷这个正八面体两次，记它与地面接触的面上的数字分别为，，则的概率为______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得基本事件的总数与满足要求的基本事件个数，即可得到结果. 【详解】由题意可得，基本事件的总数为，则事件“”包含的基本事件为： ，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，共个，所以事件的概率. 13．正八面体各个面分别标以数字1到8．抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.已知事件，，，若但A，B与C均不独立，则事件______． 【答案】 【分析】由，可知，又A，B与C均不独立，可解. 【详解】由已知又，所以，又A，B与C均不独立，即，，， 所以. 四、解答题 14．在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件“与地面接触的面上的数字为奇数”，事件“与地面接触的面上的数字不大于4”    (1)判断事件A与B是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明； (2)连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率． 【答案】(1)是；证明见解析；(2) 【分析】（1）列出样本空间，即可列出所对应的基本事件，求出所对应的概率，根据独立事件的概率公式判断即可； （2）利用独立事件的概率公式即可得解. 【详解】（1）依题意，得样本空间为，所以，，则， 故，，，所以事件，相互独立. （2）依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立，记为第次抛掷这个正八面体发生事件，则，所以事件只发生1次的概率为 . 15．如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”. (1)请写出具体的样本空间； (2)请证明：但不满足两两独立； (3)连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率. 【答案】(1) ; (2)证明见详解； (3). 【分析】（1）由题意直接写出样本空间； （2）分别求出事件对应的样本点，利用古典概型求概率，验证即可得解； （3）所求事件可分为三个互斥事件的和，分别根据独立事件同时发生的概率计算求和即可得解. 【详解】（1）由题意，可得样本空间为：. （2） 事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：.故事件所含的样本点为：，所以，又， 所以.又事件所含的样本点为：，所以，又，所以，所以事件不独立，即两两独立错误. （3）依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立，记为第次抛掷这个正八面体发生事件，则，所以事件只发生1次的概率为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $