河北邯郸市永年区第二中学2025-2026学年高一下学期数学必修二作业考试化训练18（正四面体中的概率问题）

**基本信息** 聚焦正四面体概率问题，通过基础计算→事件关系判断→综合应用的三层设计，强化概率概念理解与逻辑推理，适配单元复习巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|数字乘积概率计算|单选1-2题，直接应用古典概型，培养数学眼光中的抽象能力| |提升层|事件关系（互斥/独立）判断|单选3-7及多选题，结合事件定义与概率公式，发展数学思维的推理能力| |综合层|复杂情境概率应用|填空11-12及解答题，涉及多次抛掷、立体几何爬行等情境，提升数学语言的模型表达能力|

永年二中高一数学必修二作业考试化18答案 测试范围：正四面体中的概率问题 一、单选题 1．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4．同时抛掷两个玩具，则朝下的面的数字之积是3的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型的概率公式即可求得本题答案. 【详解】根据题意，同时抛掷两个玩具，朝下的面写有的数字有16种情况，分别为（1，1），（1，2）， （1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），朝下的面的数字之积是3的倍数的结果有7种，分别为（1，3），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），则数字之积是3的倍数的概率为，故选：D 2．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数可以利用分步计数原理得到，满足条件的事件是连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数，可以借助数对，列举出所有结果，根据古典概型概率公式得到结果. 【详解】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数为，满足条件的事件是连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数，可以列举出事件，，，，，，，，，，，，共有种结果，根据古典概型的概率公式得到概率是.故选：D. 3．一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（   ）    A．C与D是对立事件 B．A与D是互斥事件 C．B与D是相互独立事件 D．A与C是相互独立事件 【答案】D 【分析】根据对立事件和独立事件的定义、公式进行逐项判断即可. 【详解】由题意知，，事件有，共4个，， 事件有，共3个，.易知与是互斥事件，但不是对立事件，与可同时发生，不是互斥事件，，与不是相互独立事件， ，与是相互独立事件.故选：D. 4．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3、4．连续拋掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件B与事件C是对立事件 B．事件A与事件B不是相互独立事件 C． D． 【答案】C 【分析】对于A，根据独立事件与对立事件的区别辨析即可；对于B，运用独立事件的概率公式辨析即可；对于C，运用独立事件概率乘法公式计算即可；对于D，理解事件ABC的意义，求概率即可. 【详解】事件B与事件C是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；，，，则，即事件A与事件B是相互独立事件，故B错误；， 则，故C正确；事件ABC表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故，故D错误．故选：C． 5．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断可得答案. 【详解】用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，,，事件，，事件，，对于A，，故A错误；     对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，，，，因为，所以事件与事件相互独立，故C正确；    对于D，，，，故D错误.故选：C. 6．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】对于A，根据古典概型的概率公求解判断，对于B，根据互斥事件的定义分析判断，对于C，根据独立事件的定义分析判断，对于D，根据和事件的概率公式求解判断. 【详解】对于A，因为有4个数字，向下的数字为2或3的有2种，所以，错误； 对于B，由题意，事件和事件有可能同时发生，如第一次向下的数字为2，第二次向下的数字为1，所以B错误，对于C，因为两次数字和为奇数的有：，共8种，所以，第一次数字为2或3，且两次数字和为奇数的有：，4种，所以，因为，所以，所以事件与事件相互独立，所以C正确，对于D，，所以D错误.故选：C 7．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，，对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误；对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确；对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误；对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面，故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4，故，所以，不满足独立事件定义，故D错误． 二、多选题 8．投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1，2，3，4，记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，记事件“为偶数”，事件“为奇数”，事件“为偶数”，则下列正确的有（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D． 【答案】AD 【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可. 【详解】对于A选项，显然，不会同时发生，故二者互斥，A正确；对于B选项，此时，B错误；对于C选项，事件：，，，，，，，，故，事件：，，，，故， 而事件：，，，，所以，C错误； 对于D选项，若为奇数，显然，一奇一偶，此时为偶数，显然，D正确. 故选：AD. 9．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件 C． D． 【答案】AC 【分析】利用独立事件的定义判断A，利用互斥事件的定义判断B，利用独立事件的概率公式判断C，结合题意与古典概型概率公式判断D即可. 【详解】对于A，对于事件A与事件B，可得， 且，即事件A与事件B是相互独立事件，故A正确； 对于B，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如第一次记录的数字为1，第二次记录的数字为4，故选项B错误；对于C，与相互独立，所以，故C正确.对于D，因为，，，所以，而事件等价于事件，即第一次记录的数字为奇数且第二次记录的数字为偶数，可得，故D错误. 故选：AC. 10．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件 C． D． 【答案】AC 【分析】利用定义判断选项B的真假，利用公式计算判断选项ACD的真假，即得解. 【详解】对于A，对于事件A与事件B，， 事件A与事件B是相互独立事件，故选项A正确；对于B，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如第一次记录的数字为1，第二次记录的数字为4，故选项B错误；对于C，因为，所以，故选项C正确；对于D，事件等价于事件，即第一次记录的数字为奇数且第二次记录的数字为偶数故，故D错误.故选：AC． 三、填空题 11．已知两个相同的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两个正四面体的底面上的数字之和为所得数字，共投掷3次，则3次所得数字之积能被10整除的概率为__________. 【答案】 【分析】根据容斥原理可求3次投掷既有5也有偶数的概率. 【详解】根据题意，每次投掷得到情形A：掷出5点，情形B：掷出偶数点，情形C：掷出3或7点的概率分别为，于是3次投掷均没有5的概率为，3次投掷均没有偶数的概率为，3次投掷既没有5也没有偶数的概率为，因此根据容斥原理，3次投掷既有5也有偶数的概率为. 12．一只蚂蚁从正四面体的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率为______． 【答案】 【分析】根据题意，先计算所有情况共有种，利用对立事件，计算没有走遍四个点的情况，然后计算概率即可. 【详解】因为每次爬行有3种选择，故5次爬行共有种情况，考虑5次爬行之后仍未走遍所有顶点，有以下两种情况：①走了2个顶点，即只在顶点与另一个顶点来回走，总共只有3种情况； ②走了3个顶点，即沿着一个正三角形的边走，以为顶点的正三角形共有三个，选定其中一个， 蚂蚁每次路径有2种选法，再去掉仅在2个顶点来回走的情况，有种，故三个三角形共有种，所以蚂蚁爬行5次后走遍所有顶点的概率为． 四、解答题 13．将一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，分别观察底面上的点数，第一次、第二次出现的点数用数对表示． (1)写出这个试验的样本空间； (2)向量，，记事件，求事件发生的概率． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）根据试验的结果可得答案； （2）列出满足的样本点，由古典概型概率计算公式可得答案. 【详解】（1）因为每次骰子落地时，底面上的点数有1，2，3，4共4个可能的基本结果，所以试验的样本空间为，. （2）为向量，，，所以，则事件包含的样本点有，，，，，，共6个，由（1）知试验的样本空间包含16个样本点，所以事件发生的概率为． 14．一枚质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4，将该正四面体连续抛掷2次，记录每一次底面的数字． (1)求两次数字之和为7的事件的概率； (2)两次数字之和为多少的事件概率最大？并求此事件的概率． 【答案】(1)； (2)两次数字之和为的事件概率最大，概率为. 【分析】（1）列举法求两次数字之和为7的事件的概率； （2）列举出数字之和为的对应事件并确定概率，即可得答案. 【详解】（1）由题意，2次所得数字，且分别表示第一次、第二次的对应数字，基本事件有，，，共16种；其中两次数字之和为7的事件有，共2种；所以两次数字之和为7的事件的概率为. （2）由（1），数字之和为， 有，概率为；有，概率为；有，概率为； 有，概率为；有，概率为；有， 概率为；有，概率为；所以两次数字之和为的事件概率最大，概率为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二作业考试化18 测试范围：正四面体中的概率问题 一、单选题 1．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4．同时抛掷两个玩具，则朝下的面的数字之积是3的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（    ）. A． B． C． D． 3．一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（   ）    A．C与D是对立事件 B．A与D是互斥事件 C．B与D是相互独立事件 D．A与C是相互独立事件 4．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3、4．连续拋掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件B与事件C是对立事件 B．事件A与事件B不是相互独立事件 C． D． 5．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 6．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 7．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 二、多选题 8．投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1，2，3，4，记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，记事件“为偶数”，事件“为奇数”，事件“为偶数”，则下列正确的有（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D． 9．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件 C． D． 10．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件 C． D． 三、填空题 11．已知两个相同的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两个正四面体的底面上的数字之和为所得数字，共投掷3次，则3次所得数字之积能被10整除的概率为__________. 12．一只蚂蚁从正四面体的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率为______． 四、解答题 13．将一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，分别观察底面上的点数，第一次、第二次出现的点数用数对表示． (1)写出这个试验的样本空间； (2)向量，，记事件，求事件发生的概率． 14．一枚质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4，将该正四面体连续抛掷2次，记录每一次底面的数字． (1)求两次数字之和为7的事件的概率； (2)两次数字之和为多少的事件概率最大？并求此事件的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $