概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦古典概型与独立事件两大核心考点，通过分层抽样、频率分布直方图等实际情境题型，构建从概念理解到综合应用的知识逻辑链，培养数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |古典概型求概率|6例+6变式|摸球/分层抽样/频率分布直方图结合，含选择、填空、解答题|从基本事件计数到复杂情境应用，体现等可能事件概率公式的迁移| |独立事件的乘法公式求概率|6例+6变式|射击/系统可靠度/比赛胜负，涉及相互独立事件概率计算|从事件独立性判定到乘法公式应用，构建分步概率模型|

概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率专项训练 概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率专项训练 考点目录 古典概型求概率 独立事件的乘法公式求概率 考点一 古典概型求概率 例1．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（    ）． A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一上·贵州遵义·期末）从装有2个红球和2个绿球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件为“所取两个球至少有一个绿球”，事件为“所取两个球恰有一个红球”，则_____. 例4．（24-25高二上·四川广安·期中）“石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则为：石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.两人参加游戏，若两人都随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为______. 例5．（25-26高一上·贵州遵义·期末）近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 例6．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）某机构为了调查喝酸奶是否可以降低体脂，邀请了40名女性作为研究对象，将其随机分成两组，其余变量不变的情况下，实验组每天喝220g酸奶，对照组每天喝220g牛奶，持续24周后，得到如下数据. 单位：人 受试者 脂肪 合计 没有减少1kg 减少1kg 实验组 2 18 20 对照组 8 12 20 (1)从这些研究对象中随机抽取1人，求此人每天喝220g酸奶且脂肪减少1kg的概率； (2)用按比例分层随机抽样的方法从脂肪减少1kg的研究对象中抽取5人进行进一步调查，并从这5人中随机选2人发一份小礼品，求这2人都来自实验组的概率. 变式1．（25-26高一上·河南·开学考试）一个不透明的袋子中装有个红球，个黄球，个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为（ ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江西南昌·期末）若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为______. 变式4．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）甲、乙、丙、丁四位同学组成两队进行乒乓球比赛，先从四人中选出两个人组成一队，剩下的两位同学组成另一队，则甲、乙两位同学不在同一队的概率为______. 变式5．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.    (1)求第七组的频率，并求出样本中位数； (2)已知该校有600名女生，男生身高总体数据的平均数和方差分别为173.5和17.75，女生身高样本数据的平均数和方差分别为163和30，估计该校学生身高的平均数和方差； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求. 变式6．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 考点二 独立事件的乘法公式求概率 例1．（25-26高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）设随机事件、相互独立，且，，则______． 例4．（25-26高二下·福建莆田·阶段检测）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 例5．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 例6．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 变式1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·江西上饶·期中）已知随机事件相互独立，且，，则________. 变式4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是_____. 变式5．（25-26高二下·北京·阶段检测）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 变式6．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率专项训练 概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率专项训练 考点目录 古典概型求概率 独立事件的乘法公式求概率 考点一 古典概型求概率 例1．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出5个球中随机摸出2个球的所有可能性，在选出两个球的数字之和是奇数的情况，代入古典概型公式，即可得答案. 【详解】5个球中随机摸出2个球，共有： 共10种情况， 两个球的数字之和是奇数有共6种情况， 所以两个球的数字之和是奇数的概率是. 故选：D 例2．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据分层抽样的定义求出各年级所抽取的人数，然后利用列举法求概率即可. 【详解】由题意可知从高一学生中抽取人，记为， 从高二学生中抽取人，记为， 从高三学生中抽取人，记为， 则从这5人中抽取2人有：，10种情况， 其中至少有一名来自高二年级有，7种情况， 所以所求概率为. 故选：D. 例3．（24-25高一上·贵州遵义·期末）从装有2个红球和2个绿球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件为“所取两个球至少有一个绿球”，事件为“所取两个球恰有一个红球”，则_____. 【答案】 【分析】根据古典概型公式，结合条件分析求解，即可得答案. 【详解】记两个红球为，两个绿球为， 所取两个球，所有基本事件为，共6种， 由题意，事件A和事件B同时发生的事件为：所取两个球一个红球一个绿球， 包含的事件为，共4种， 所以. 故答案为： 例4．（24-25高二上·四川广安·期中）“石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则为：石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.两人参加游戏，若两人都随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为______. 【答案】 【分析】列出表格结合古典概型概率公式即得. 【详解】 石头 剪刀 布 石头 石头、石头 石头、剪刀 石头、布 剪刀 剪刀、石头 剪刀、剪刀 剪刀、布 布 布、石头 布、剪刀 布、布 从表中可以看出，两个人每次随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为. 故答案为：. 例5．（25-26高一上·贵州遵义·期末）近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率和为，列方程，可解得； （2）根据频率分布直方图的平均数计算公式直接可计算； （3）根据分层抽样的定义确定得分分别在，内的人数，再用古典概型的概率公式计算. 【详解】（1）由已知得，解得； （2）由已知可估计平均数为 ； （3）由频率分布直方图可知得分在，内的频率分别为，， 即分别在两区间内的场数之比为， 根据分层抽样可知，抽取的场比赛中得分在内的有场，设为，，得分在内的有场，设为，，， 则从场中随机抽取场的情况有，，，，，，，，，，共有种情况； 其中满足两场都不低于分的情况有，，，共种情况， 则所求概率为. 例6．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）某机构为了调查喝酸奶是否可以降低体脂，邀请了40名女性作为研究对象，将其随机分成两组，其余变量不变的情况下，实验组每天喝220g酸奶，对照组每天喝220g牛奶，持续24周后，得到如下数据. 单位：人 受试者 脂肪 合计 没有减少1kg 减少1kg 实验组 2 18 20 对照组 8 12 20 (1)从这些研究对象中随机抽取1人，求此人每天喝220g酸奶且脂肪减少1kg的概率； (2)用按比例分层随机抽样的方法从脂肪减少1kg的研究对象中抽取5人进行进一步调查，并从这5人中随机选2人发一份小礼品，求这2人都来自实验组的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型公式即可求解； （2）利用列举法，列举出5人中随机选2人构成的基本事件，及这2人都来自实验组的基本事件数，根据古典概型公式即可求解. 【详解】（1）由题可知：这些研究对象中共有18人每天喝220g酸奶且脂肪减少1kg， 所以从这些研究对象中随机抽取1人，此人每天喝220g酸奶且脂肪减少1kg的概率为； （2）由题可知抽取的5人中有3人来自实验组，分别记为，，，2人来自对照组分别记为，. 再从5人中随机选2人构成的基本事件有：，，，，，，，，，，共10种； 其中这2人都来自实验组的基本事件有：，，，共3种， 所以从这5人中随机选2人发一份小礼品，求这2人都来自实验组的概率为. 变式1．（25-26高一上·河南·开学考试）一个不透明的袋子中装有个红球，个黄球，个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式即可解答． 【详解】由题意可知，袋子中总共有个球，其中白球的个数为个， 故摸出的小球是白球的概率为. 故选：A． 变式2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 变式3．（25-26高一上·江西南昌·期末）若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为______. 【答案】 【分析】先求得集合的非空子集有个，再利用列举法得到具有“对称特征”的子集的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由集合，可得集合的非空子集有个， 其非空子集中，具有“对称特征”的子集有，共有7个， 所以选取的集合具有“对称特征”的概率为. 故答案为：. 变式4．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）甲、乙、丙、丁四位同学组成两队进行乒乓球比赛，先从四人中选出两个人组成一队，剩下的两位同学组成另一队，则甲、乙两位同学不在同一队的概率为______. 【答案】 【分析】根据题意计算基本事件总数，再利用古典概型概率公式即可求得答案． 【详解】甲乙丙丁四名同学任选2名组成同一组，余下的2名为另一组， {甲乙，丙丁}，{甲丙，乙丁}，{甲丁，乙丙}，共3种基本事件， 甲乙在同一组有{甲乙，丙丁}，1种基本事件， 甲乙不在同一小组有{甲丙，乙丁}，{甲丁，乙丙}，共2种基本事件. 因此甲、乙两位同学不在同一队的概率为. 故答案为：. 变式5．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.    (1)求第七组的频率，并求出样本中位数； (2)已知该校有600名女生，男生身高总体数据的平均数和方差分别为173.5和17.75，女生身高样本数据的平均数和方差分别为163和30，估计该校学生身高的平均数和方差； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求. 【答案】(1)第七组的频率为0.06，样本中位数为174.5 (2)平均数为169，方差为50 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求第七组的频率，再结合中位数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的公式直接求解即可； （3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】（1）第六组的频率为， 则第七组的频率为； 前三组的频率为 前四组的频率为， 所以中位数位于第四组，设中位数为， 由，解得， 即样本中位数为174.5. （2）该校学生身高的平均数为， 该校学生身高的方差为. （3）第六组的人数为4，设为a，b，c，d， 第八组的人数为，设为A，B， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA， bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况． 所以． 变式6．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数； （2）由频率直方图及题设，求平均值，比较大小即可； （3）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率. 【详解】（1）由图知，可得； （2）由图，， ， 所以； （3）由题意，，的人数比为，故6人中4人来自，2人来自， 令中4人为，中2人为， 所以，6人任意抽取2人有，共15种， 其中2人来自同一区间有，共7种， 所以这2人的成绩在同一区间内的概率为. 考点二 独立事件的乘法公式求概率 例1．（25-26高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确甲、乙、丙的命中率与不命中率，再利用独立事件乘法公式，分别计算 “恰好击中两次” 的三种互斥情况的概率； 最后通过互斥事件加法原理，将三种情况的概率相加，最终得到总概率即可. 【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C， 甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为： 甲：，不命中 ， 乙：，不命中 ， 丙：，不命中 ， 所以共有3种可能的情况： 甲、乙击中，丙未击中概率为： ， 甲、丙击中，乙未击中概率为： ， 乙、丙击中，甲未击中概率为： ， 将三种情况的概率相加： . 例2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件，计算出、，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为. 【详解】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件， 因为每个部件的可靠度均为 所以，， 当且仅当事件或事件发生时，系统正常工作， 当且仅当事件和事件都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为 例3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）设随机事件、相互独立，且，，则______． 【答案】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出的值，再利用求解即可. 【详解】因为随机事件、相互独立，且，， 则， 故. 例4．（25-26高二下·福建莆田·阶段检测）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 【答案】 【分析】先明确积分为0分终止的所有可能比赛场次情况，上述情况的概率相加，得到比赛终止时积分为0分的总概率. 【详解】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. 例5．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可； （2）写出投弹结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解. 【详解】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投弹时击中，， 则，， 记“甲在本次挑战赛中获胜”为事件C，则 ， 所以甲在本次挑战赛中获胜的概率为. （2）记“挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟”为事件D， 则 ， 所以挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率为. 例6．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图计算得出，再利用分层抽样求出各层人数，利用古典概型计算公式可求得概率； （2）利用独立事件乘法公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，， 解得． 因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n， 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R， 则． 即，因此． 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为． （2）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，， ． 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立． 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为． 变式1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为， 乙比赛完三局才获胜的概率为. 所以乙获胜的概率为. 变式2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，， 甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为： . 故选：D． 变式3．（25-26高一下·江西上饶·期中）已知随机事件相互独立，且，，则________. 【答案】 【详解】因为相互独立，所以、也相互独立，又，， 所以. 变式4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是_____. 【答案】0.79 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解. 【详解】依题意，甲、乙、丙没有人解决问题的概率为， 所以甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是. 变式5．（25-26高二下·北京·阶段检测）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 【答案】(1)乙获得执业医师证书的可能性最大，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即可得解. （2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可得解. 【详解】（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件，在医学综合笔试中“合格”依次为事件. 因为所有考试是否合格互不影响，所以与，与，与相互独立. 因此甲获得执业医师证书的概率； 乙获得执业医师证书的概率； 丙获得执业医师证书的概率， 所以. 故乙获得执业医师证书的可能性最大. （2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件，则，，. 由于事件相互独立，则恰有两人获得执业医师证书的概率 . 故有两人获得执业医师证书的概率为. 变式6．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据独立事件的乘法公式计算求解；②根据独立事件的乘法公式和概率加法公式计算求解； （2）根据独立事件的乘法公式结合基本不等式计算可解. 【详解】（1）①由题意可得，解得或， 因为，所以，，解得； ②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况： 第一种，药物恰好治愈2只小白鼠，药物治愈0只小白鼠，其概率为； 第二种，药物恰好治愈0只小白鼠，药物治愈2只小白鼠，其概率为； 第三种，药物恰好治愈1只小白鼠，药物治愈1只小白鼠，其概率为； 所以，两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为； （2）设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $