精品解析：江苏省太湖高级中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试卷

高二阶段性检测试卷 数学 5.25 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求切点坐标，再求函数在切点处的导数值得到切线斜率，最后由点斜式整理得到切线方程. 【详解】函数 的定义域为，切点为： 得 ，即切点为； ，代入得斜率 ； 切线方程为 ，整理得. 3. 已知，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题图可知，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C错误； 由图可知，，所以， ，所以D正确． 4. 袋子中有大小相同的5个球，其中红球3个，白球和蓝球各一个，从中任取2个，已知取出的2个球中有一个是红球，则另外一个也是红球的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出“有一个红球”的情况数，再求出“有一个红球且另外一个也是红球”的情况数，最后根据条件概率公式求解. 【详解】从5个球中任取2个球，共有种情况数. “没有红球”即从白球和蓝球这2个非红球中取2个球的情况数有种， 那么“取出的2个球中至少有一个红球”的情况数为种. “有一个红球且另外一个球也是红球”的情况数有种. 记“至少有一个红球”，“取出的两个球都是红球”. ，即有一个红球，则另外一个也是红球的概率为. 5. 设，且，若能被4整除，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】将51改写为 ，利用二项式定理展开，除常数项外其余项均为4的倍数，只需常数项与的和能被4整除即可求解. 【详解】首先对变形得， 根据二项式定理展开：  ， 由于52是4的倍数，因此展开式中所有含52的项都能被4整除，仅最后一项不含因数4， 因此：   ， 要使 能被4整除，需能被4整除，结合且，可得，解得. 6. 已知函数 ．若在上有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式分离常数得到，再利用导数分析函数的单调性求出最值，进而得到的取值范围. 【详解】，即 ，整理得. 不等式在上有解，等价于，其中 . . 当时，，单调递减. 当时，，单调递增. 因此在处取得最小值，最小值为 . 由 ，所以的取值范围是 . 7. 现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（ ） A. 32 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】先确定最大数与最小数之差为3的数对组合为(1，4)、(2，5)两类，分别计算每类符合要求的抽取方法数，相加得到总方法数. 【详解】由卡片数字取值为1~5，可得三个数的最大数与最小数之差为3时， 对应的（最小数，最大数）组合仅为和两类，且两类情况互斥，分别计算如下： 当最小数为1、最大数为4时，三次抽取的数字均属于集合 ， 且必须至少包含1个1和1个4. 由容斥原理，该类方法数为：  ， 当最小数为2、最大数为5时，三次抽取的数字均属于集合 ， 且必须至少包含1个2和1个5， 同理可得该类方法数也为18种. 因此总抽取方法数为种. 8. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的性质求解即可. 【详解】记原式为，所以 . 则， 因为，所以. 对任意正整数，有， 因此，所以 . 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 若与的回归直线方程是，相关系数，则下列说法错误的是（ ） A. B. 变量x，y线性正相关且相关性较强 C. 相应于点的残差约为0.4 D. 当时，的估计值为－14.4 【答案】ABD 【解析】 【分析】由样本中心在回归方程上求参数可判断A；由相关系数的意义及回归方程的斜率符号可判断B；利用残差的定义求残差可判断C；将8代入回归方程求估计值可判断D. 【详解】对于A，由表格知： ， 所以，可得 ，A错误； 对于B，由相关系数 且回归方程斜率为负， 则变量线性负相关且相关性较强，B错误； 对于C，由 ，故残差为，C正确； 对于D，由，D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 精确到0.01的近似数为1.63 B. 3个比赛项目，4人报名参加．每人参加1项，有64种不同的报名方法 C. 若，则． D. 若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有15个 【答案】AD 【解析】 【分析】本题综合考查二项式近似计算、分步计数原理、二项式系数的和、隔板法计数四类知识点，需逐个选项对应分析判断. 【详解】选项A： ， 则 ，精确到0.01为1.63，A正确； 选项B：每人有3种项目可选，4人共有种报名方法，而非，B错误； 选项C：令得所有系数的绝对值和为，令得， 故，C错误； 选项D：设五位数万位，其余四位为非负整数， 转化为求 （ ）的非负整数解， 方程的非负整数解可以看作将2个1，用4块隔板分成5份，允许隔板相邻， 2个1和4个隔板共有个位置，从中选出4个位置放隔板，剩下的两个位置放1， 即由隔板法得 ，D正确. 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为 C. 方程共有3个实根 D. 若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可判断A；并结合函数的图象，求函数的最值，利用函数图象的交点求参数的取值范围，即可判断B；由，且，并结合函数的图象，可求得实根的个数，即可判断C；结合函数的图象的交点，并根据1个正整数解，结合临界值，求参数的取值范围，可判断D. 【详解】选项A，， 当或时，，当时，， 所以在，上单调递减，在上单调递增，A错误； B选项，方程有且只有两个实根，即曲线与直线有且只有两个交点， 由A选项分析， 在处取得极小值， ，在处取得极大值，， 而时，恒有成立，∴的最小值是，即 ，对恒成立，曲线与直线图像如下，    由图知，当 或时，曲线与直线有且只有两个交点，故B正确； C选项，由，得，解得， 令，且，由图像知，有两解分别为： ，，所以或，而 ， 则有两解， ，也有两解， 综上，方程 共有4个根，C错误； 对于D选项，直线过原点，且，，， 记，，， 易判断，，      不等式恰有1个正整数解，即曲线在上对应的值恰有1个正整数， 由图像，可得，即，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 某一随机变量的分布列如下表，且，则______． X 0 1 2 3 P 0.3 m 0.1 n 【答案】 ## 【解析】 【分析】先利用离散型随机变量分布列概率和为1的性质与已知 联立求解，再计算，最后根据期望的线性性质计算 . 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质，所有概率之和为1，可得：   化简得 . 结合题设条件 ，联立得方程组： 解得，代入得. 根据数学期望的定义计算：  ， 所以 . 13. 长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】记“每天玩手机超过1小时的学生”，“每天玩手机不超过1小时的学生”，“任意调查一人，此人近视”， 则，且互斥，，. 依题意，，即 ，解得. 故从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为. 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得2分．多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．若抛掷2次骰子，最终得分为X，则随机变量X的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为，则当取最大值时的值为______ 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】单次得分概率分布已知，求期望后乘以2得两次总得分期望；设得2分的次数为，则总得分 ，概率对应二项分布 ，得最大值在 处，可得的值. 【详解】设单次抛掷骰子得分为. 时，对应点数2,3,4,5，概率； 时，对应点数1,6，概率. 单次得分期望为 抛掷2次总得分的期望为. 设50次中，得2分的次数为（ ，为整数）， 则得1分的次数为，总得分 ， 于是 ，且 . 概率， 要使最大，即求二项分布 的最可能值. 由 ， 为整数， 故最大值在和处取得，对应和. 即当取最大值时的值为或. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【小问1详解】 由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当 时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是 . 【小问2详解】 由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当 时，需满足的所有元素都不在的范围内，且 （即）， 即：   或  ，解 得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即 . 16. 在的二项展开式中，所有奇数项的二项式系数和为，所有项的系数和为，且． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的有理项． 【答案】（1）二项式系数最大的项为和 （2）有理项为、、 【解析】 【分析】（1）应用二项式系数和性质列式计算得出，再应用二项式系数最大的性质计算求解； （2）利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【小问1详解】 ，令，得，由，得，解得． 所以展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项． ，． 【小问2详解】 二项式的展开式的通项公式为， 当时，为有理项， 当时，，此时有理项为， 当时，，此时有理项为， 当时，，此时有理项为， 所以有理项为、、. 17. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且每次向左移动的概率为，向右移动的概率为． （1）求质点在4s后位于2的概率； （2）记质点在5s后最终位置到原点的距离为随机变量X，求X的分布列和期望． 【答案】（1） （2） 1 3 5 【解析】 【分析】（1）根据题意，质点移动4次，设向右移动次数为，利用位置公式确定的值，再利用独立重复试验概率公式求解； （2）确定移动5次后质点可能的位置，进而确定随机变量的取值，分别计算各取值对应的概率，列出分布列并计算期望. 【小问1详解】 设质点向右移动的次数为，则向左移动的次数为，其中， 质点最终的位置坐标为 ，令，解得， 即质点在4次移动中，有3次向右，1次向左.， 因为每次移动相互独立，且向左移动的概率为，向右移动的概率为， 所以所求概率为. 【小问2详解】 质点移动5次，设向右移动的次数为，则向左移动的次数为，其中， 质点最终的位置坐标为 ， 随机变量表示最终位置到原点的距离，即， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，， 所以随机变量的可能取值为, , , , 所以的分布列为： . 18. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 （1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，，. . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）线性回归方程为，预测性能得分约为分 （2）依据的独立性检验，训练效率与训练数据质量有关 【解析】 【分析】（1）先根据数据算样本均值，再用公式求回归系数和得线性回归方程，最后代入值预测. （2）提出零假设，根据列联表数据算卡方值，与临界值比较后判断是否拒绝零假设. 【小问1详解】 由题意可得，n=6，，， 又因为，，所以根据公式计算回归系数可得：  ， ， 所以，关于的线性回归方程为： ， 当参数量亿时，代入可得： ， 即预测参数量为14亿时，模型性能得分约为分（或​分）. 【小问2详解】 零假设：训练效率与训练数据质量无关，根据列联表可得： ，，，，， 所以卡方统计量为， 因为对应的临界值为，，所以拒绝， 依据的独立性检验，认为训练效率与训练数据质量有关. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，没有极小值 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）根据导函数求函数的最值； （3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. 【小问2详解】 当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，. 【小问3详解】 ，定义域是 求导可得， 令，定义域是 求导可得 分类讨论， 当时，，因此在上是减函数，； 当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求； 当时，，，因此存在，使得，即， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 因此，只需要，即时，在上存在零点； 当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求； 当时，，即，在上是增函数，，不符合题目要求， 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二阶段性检测试卷 数学 5.25 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 袋子中有大小相同的5个球，其中红球3个，白球和蓝球各一个，从中任取2个，已知取出的2个球中有一个是红球，则另外一个也是红球的概率（ ） A. B. C. D. 5. 设，且，若能被4整除，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 已知函数 ．若在上有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（ ） A. 32 B. 36 C. 48 D. 60 8. （ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 若与的回归直线方程是，相关系数，则下列说法错误的是（ ） A. B. 变量x，y线性正相关且相关性较强 C. 相应于点的残差约为0.4 D. 当时，的估计值为－14.4 10. 下列说法正确的是（ ） A. 精确到0.01的近似数为1.63 B. 3个比赛项目，4人报名参加．每人参加1项，有64种不同的报名方法 C. 若，则． D. 若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有15个 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为 C. 方程共有3个实根 D. 若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 某一随机变量的分布列如下表，且，则______． X 0 1 2 3 P 0.3 m 0.1 n 13. 长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为______． 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得2分．多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．若抛掷2次骰子，最终得分为X，则随机变量X的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为，则当取最大值时的值为______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 在的二项展开式中，所有奇数项的二项式系数和为，所有项的系数和为，且． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的有理项． 17. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且每次向左移动的概率为，向右移动的概率为． （1）求质点在4s后位于2的概率； （2）记质点在5s后最终位置到原点的距离为随机变量X，求X的分布列和期望． 18. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 （1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，，. . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $