精品解析：江苏南京市励志高级中学2025-2026学年高二第二学期第三次调研考试数学试卷

励志高级中学2025--2026年度高二年级第二学期第三次调研考试 数学试卷 （时间：120 分钟 满分：150 分） 命题人：查澄贤 审核人：魏首亮 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图中，线性相关性系数最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点的分布特征可直接判断 【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1. 故选：A 2. 设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ） A. {5} B. {1} C. {0，5} D. {0，1} 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合相等求解. 【详解】解：因为， 所以， 解得或， 的取值集合为， 故选：C 3. 设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性可得答案. 【详解】，得：. 故选：C． 4. 设复数的共轭复数为，为虚数单位，复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的坐标得出对应的复数，再由共轭复数的定义得出，由模长公式、复数的运算得出答案. 【详解】由题意可知 则 故选：B 5. 2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先按4人分3组、每组至少1人用排列组合求出总基本事件数，再分别算出甲在指定灯区且甲乙不到同一赏灯区时，该灯区2人和仅甲1人两类情况的方法数，联立得到同时满足事件的事件数，求出联合概率，再套用条件概率公式算出最终条件概率. 【详解】记事件: 甲游览机场跑道无人机灯区，事件: 甲与乙不到同一赏灯区，则， 因为每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区，则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个赏灯区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若游览机场跑道无人机灯区有2人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的游览情况种数为， 若游览机场跑道无人机灯区只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个赏灯区， 此时，不同的游览情况种数为， 因此，， 由条件概率公式可得. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出和的值，再利用整体思想，将转化为，用余弦的和角公式展开求值即可. 【详解】，，， 又，， ，， ，， ，， 则 ， 故选：C． 7. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期. 【详解】因为. 所以，函数的最小正周期为：. 故选：B 8. 已知函数在上有最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数分析函数的单调性，结合二次函数性质分类讨论导函数单调性情况即可求解. 【详解】由函数求导可得，. 设，其开口向上，对称轴为， 因为函数在上有最大值， 所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且， 则，即两根同号， 则有，解得或. 当时，对称轴，则要使函数在上有最大值， 则，所以，解得， 此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合； 当时，对称轴，此时方程的两根均为负根， 则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值. 综上，. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ） A. ，，是两两互斥的事件 B. 事件与相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A，根据相互独立事件的定义判断B，根据条件概率公式判断C，根据全概率公式判断D. 【详解】对于A：从甲罐取出一个球，取出球的颜色可能是红球、白球、黑球， 显然不可能同时是两个颜色，所以，，是两两互斥的事件，故A正确； 对于B：因为，，而， 所以事件与不相互独立，故B错误； 对于C：因为，，所以，故C正确； 对于D：因为， 所以 ，故D正确； 故选：ACD 10. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质求出函数的对称轴与对称中心可判断A和B；根据的值域结合周期可判断C和D. 【详解】对于A，令，得， 所以函数的对称轴方程为，故A错误； 对于B，令，得， 所以函数的对称中心为， 当时，对称中心为，故B正确； 对于C，因为，， 且，所以，， 即时取最大值，当时取最小值， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为，所以， 即当时取最大值，当时取最大值， 所以当时，取最值，令，则， 即，所以， 即，故D错误. 故选：BC. 11. 下列结论中，正确的有（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5 B. 若随机变量，则 C. 若，且，则C，D相互独立 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】BC 【解析】 【分析】由分位数的计算方法即可判断A；由正态分布曲线的对称性即可判断B；根据条件概率公式及对立事件即可判断C；根据独立性检验即可判断D选项． 【详解】对于A，先排序：1,2,4,5,6,8,9，，第五位数据6，故A错误； 对于B，， 则，故B正确； 对于C，， 由条件概率公式得，得到，即C，D相互独立，故选项C正确； 对于D，没有充分证据推断X与Y有关联，故D错误． 故选：BC． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知的展开式中项的系数为30，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式展开，设的二项式展开式通项为，分别求出、的系数可得答案． 【详解】原式， 设的二项式展开式通项为 ， 令，得的系数为，令，得的系数为， 所以项的系数，得：． 故答案为：． 13. 已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值. 【详解】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. 14. 过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设过原点直线与双曲线交点关于原点对称，取双曲线上点，利用点差法得出，结合已知斜率之积为得到关系，再由双曲线离心率公式及即可求出离心率. 【详解】设，，. 由在双曲线上得，. 两式作差得. ，，. 由题意，离心率，. 代入得，故. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记为数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）若，求整数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，利用构造法以及整体代换思想可得是以为首项、为公比的等比数列，从而得出结论； （2）利用分组求和法以及等比数列的前n项和求解即可. 【小问1详解】 已知，， ， 是以为首项、为公比的等比数列， ． 【小问2详解】 由（1）可知，， ， ， ； 由，可得， 为整数， 的最小值为2026． 16. 某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据： 女 男 未参加跳绳比赛 参加跳绳比赛 （1）能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关 （2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率． 附：其中． 【答案】（1）有 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对即可. （2）利用分层抽样求出抽取的12人中参加与未参加跳绳的人数，再借助组合计数问题求出古典概率. 【小问1详解】 由表格中的数据，得， 所以有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关． 【小问2详解】 利用分层抽样的方法从女生这人中抽取人，则未参加跳绳比赛的有人，参加跳绳比赛的有人， 老师甲从这人中随机选取人，记“至少有人参加跳绳比赛”为事件， 则， 所以至少有人参加跳绳比赛的概率是. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，平面AEC． （1）求证：点E是棱PD的中点； （2）若平面ABCD，，PC与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接BD，BD与AC交于，点F，连接EF，结合四边形ABCD为矩形可得为BD的中点，根据平面AEC可得，进而求证即可； （2）方法一：结合平面ABCD可得就是PC与平面ABCD所成的角，进而得到，进而得到平面PAD，在平面PAD内作，垂足为G，连接GC，可得，进而得到是二面角的平面角，进而求解即可； 方法二：结合平面ABCD可得就是PC与平面ABCD所成的角，进而建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用法向量求解即可. 【小问1详解】 连接BD，BD与AC交于，点F，连接EF， 四边形ABCD为矩形，为BD的中点， 平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于EF，， 又点F是BD的中点，点E是棱PD的中点. 【小问2详解】 方法一：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，， 则就是PC与平面ABCD所成的角， 故，解得． 四边形ABCD为矩形，， 又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线，平面PAD， 如图，平面PAD内作，垂足为G，连接GC，则， 是二面角的平面角． 在直角三角形PAD中，，点E是PD的中点， ，且 平面PAD，平面PAD，，故， 二面角的平面角的正切值为． 方法二：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD， ，则就是PC与平面ABCD所成的角， 又四边形ABCD为矩形，， 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为， 由，可得， 则， 故 解得，所以， 又是平面AED的一个法向量，且为锐角， 故， 则，即， 所以二面角的平面角的正切值为． 18. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）讨论在上的零点个数. 【答案】（1） （2）当时，无零点；当时，一个零点；当时，两个零点. 【解析】 【分析】(1)求出切点坐标及切线斜率后即可求解 (2)分离参数将零点问题转化为直线与曲线交点个数问题，再利用导数研究函数单调性与最值求解即可. 【小问1详解】 ，所以在处的切点坐标为， ，则， 故在处的切线方程为. 【小问2详解】 讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点，无零点； 当时，与有一个交点，一个零点； 当 时，与有两个交点，两个零点. 综上：当时，无零点；当时，一个零点；当时，两个零点. 19. 在平面直角坐标系中，已知，平面内一动点满足,成等差数列，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于A，B两点. ①若点的坐标为，求线段AB的长； ②若的面积是面积的3倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）;直线： 【解析】 【分析】（1）利用等差数列条件推导轨迹方程. （2）①结合直线与椭圆联立求解几何量；②利用同底，点横坐标是点横坐标的三倍求解即可. 【小问1详解】 设动点，已知：，，且,,成等差数列， 由等差数列性质得：, 易得：,所以， 根据椭圆定义：，， 中心在原点，焦点在轴上， 故曲线方程为：. 【小问2详解】 ①直线过点,，故直线方程为：， 联立：，代入消元并通分得：， 解得：，，所以点, , 故线段. ②当斜率不存在时，即，此时四点共线，不构成三角形，不符合题意. 当斜率存在时，设直线为：，，. 联立：，展开通分得：， 三角形和三角形是同底的，要使三角形的面积是三角形的3倍， 即， ，， 观察发现：，即同号，不妨设：， 代入和与积： ， ， 代入得：， 化简得：， 故方程为：. 综上：（1）曲线方程：. （2）①线段.②直线方程：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 励志高级中学2025--2026年度高二年级第二学期第三次调研考试 数学试卷 （时间：120 分钟 满分：150 分） 命题人：查澄贤 审核人：魏首亮 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图中，线性相关性系数最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ） A. {5} B. {1} C. {0，5} D. {0，1} 3. 设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 4. 设复数的共轭复数为，为虚数单位，复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上有最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ） A. ，，是两两互斥的事件 B. 事件与相互独立 C. D. 10. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 11. 下列结论中，正确的有（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5 B. 若随机变量，则 C. 若，且，则C，D相互独立 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知的展开式中项的系数为30，则______． 13. 已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 14. 过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记为数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）若，求整数的最小值． 16. 某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据： 女 男 未参加跳绳比赛 参加跳绳比赛 （1）能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关 （2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率． 附：其中． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，平面AEC． （1）求证：点E是棱PD的中点； （2）若平面ABCD，，PC与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正切值． 18. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）讨论在上的零点个数. 19. 在平面直角坐标系中，已知，平面内一动点满足,成等差数列，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于A，B两点. ①若点的坐标为，求线段AB的长； ②若的面积是面积的3倍，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $