精品解析：天津市天华高级中学2025-2026学年高一第二学期第二次阶段考试数学试卷

天华高级中学2025-2026学年度高一年级第二学期第二次阶段考试 数学 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 2. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】 如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中 所以原图形的面积为. 故选：D. 3. 在三角形中，，，，则（   ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求解出角，然后由内角和定理求解角即可. 【详解】由可得：， 所以，又， 所以， 结合内角和定理，所以. 故选：B 4. 已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可. 【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：根据线面垂直的定义可知，C正确； 对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误. 故选：C 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，，， 则向量在向量上的投影向量为. 6. 已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥底面圆的半径为，求出侧面积和表面积得解. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为， ，， . 故选：B. 7. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理计算即可. 【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得， 即，又与是不共线向量， 所以解得. 故选：B． 8. PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，平面，则由线面垂直的性质可得A对；而，则由线面垂直的判定定理可得平面，即B对；由此推出D对；采用反证法排除C选项. 【详解】 由题意有，平面， ∵平面， ∴，故A对； 而，且，平面， ∴平面，故B对； 由平面可得，，故D对； 若，因为，可得平面，则，与已知矛盾，故C错； 故选：C． 9. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，则,所以异面直线与所成角就是直线与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解． 【详解】由题意，取的中点，连接，则, 所以异面直线与所成角就是直线与所成角， 设正三棱柱的各棱长为,则， 设直线与所成角为， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值为，故选D． 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10. 庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，由柱体和锥体的体积公式，计算可得所求值. 【详解】解：取的中点，连接， 可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半， 则三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 则几何体的体积为. 故选：D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知是虚数单位，则______． 【答案】1 【解析】 【详解】由， 则. 12. 已知向量，的夹角为，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用模长与数量积的关系及数量积公式计算即可得. 【详解】， 则，即，则或， 由向量，的夹角为，故，故. 13. 已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由正方体内切球半径为1，则该正方体棱长为， 故该正方体外接球的半径为该正方体体对角线一半，即为， 则该正方体外接球的表面积. 14. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化得到，结合余弦定理求得. 【详解】因为， 由正弦定理得，整理可得， 则，且，故. 故答案为： 15. 在边长为的菱形中，，且，，则_______；若为线段上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】依题意可得，根据平面向量线性运算及基本定理求出、，建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，利用坐标法及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又且、不共线，所以，所以； 如图建立平面直角坐标系，则，，， 所以，由，所以， 所以，因为为线段上的动点， 设，所以，所以， 所以， 所以 ，所以当时取得最小值，且最小值为. 故答案为：； 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 复数，其中． （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）根据复数的分类列式求解即可； （3）根据复数的几何意义列式求解即可. 【小问1详解】 若复数为实数，则，解得或． 【小问2详解】 若复数为纯虚数，则，解得，所以． 【小问3详解】 若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得，可得， 所以实数的取值范围为. 17. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且为钝角． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案. （2）由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积． （3）由正余弦的二倍角公式可得答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以． 因为角C为钝角，所以角A为锐角，所以. 【小问2详解】 由（1），由余弦定理，，， 得，所以， 解得或，，不合题意舍去， ∴， 故△ABC的面积为. 【小问3详解】 因为，， 所以 . 19. 如图所示，在直三棱柱中，，点是的中点. （1）求证:平面; （2）求证: 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设与的交点为,连接,可证得，从而可得线面平行； （2）由勾股定理逆定理得，由直棱柱性质可得，从而有线面垂直，再得线线垂直． 【详解】解:（1）设与的交点为,连接, 四边形为矩形，∴是的中点， 又∵是的中点，∴. ∵平面平面, ∴平面． （2）在直三棱柱中， 底面三边长，所以 又因为, 所以平面. 因为平面，所以 【点睛】本题考查证明线面平行，证明线线垂直，掌握线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理是解题关键． 20. 如图，已知平面ABC，，，，，，点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面，得到平面，即可得到平面平面，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用面面垂直的性质定理即可得到平面； （2）根据，点为中点得到，即可将直线与平面所成角转化为直线与平面所成角，由（1）的结论可得为直线与平面所成角，然后利用勾股定理得到，的长度，即可求直线与平面所成角. 【小问1详解】 ∵平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面， ∵，点为中点， ∴， ∵平面平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 取中点，连接，， ∵，，，点为中点， ∴四边为平行四边形，∴， ∴直线与平面所成角和直线与平面所成角相等， ∵平面， ∴为直线与平面所成角， ∵点为中点，， ∴，，， ∴，又，所以， 所以直线与平面所成角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天华高级中学2025-2026学年度高一年级第二学期第二次阶段考试 数学 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 3. 在三角形中，，，，则（   ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 9. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 10. 庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知是虚数单位，则______． 12. 已知向量，的夹角为，，，则________. 13. 已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________． 14. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.则______. 15. 在边长为的菱形中，，且，，则_______；若为线段上的动点，则的最小值为_______． 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 复数，其中． （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 17. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且为钝角． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求． 19. 如图所示，在直三棱柱中，，点是的中点. （1）求证:平面; （2）求证: 20. 如图，已知平面ABC，，，，，，点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $