精品解析：山东省日照市东港区日照港中学2025-2026学年九年级下学期第三 次阶段测试数学试卷

2026年九年级学业水平模拟考试（三）数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对各选项图形逐一进行判断即可． 【详解】解：选项图形（正方形及其内切圆）既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 选项图形是轴对称图形，但绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； 选项图形是轴对称图形，但绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； 选项图形（平行四边形及对角线）是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意． 2. 2025年，山东省经济运行稳健向好、进中提质，全年地区生产总值达到10.3万亿元，成为全国第三个过10万亿元省份．数据“10.3万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵1万亿， ∴万亿． 3. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从几何体左边看到的图形即可 【详解】解：该几何体的左视图如下： 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的三视图，注意观察角度不同分别得出视图是解题关键． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 5. 我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一个问题，大意是：有人用银子买骆驼和马两种牲口，买10匹马的价钱和买6匹骆驼的价钱是一样的，但是每匹骆驼比每匹马贵8两银子，问一匹马、一匹骆驼各值多少两银子？设一匹马值x两，一匹骆驼值y两，则根据条件列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设一匹马值两，一匹骆驼值两，根据题意得， ． 6. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（ ）． A. B. 13 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标规律. 利用规律求出和的值. 再代入计算即可得到结果． 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等， 又点与点关于轴对称， ，， ． 7. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 以原点 O 为位似中心，位似 比为，把扩大，则点 B 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，根据以原点为位似中心的两个位似图形的对应点的坐标之间的关系，倍或倍，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：或， 即：或； 故选D． 8. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在格点上，连接、，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，连接，证明，再进一步求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 根据网格得到，， ∴， ∴， ∴ ． 9. 如图，将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点E落在边上，且，若，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算、旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握弧长公式是解题的关键． 连接，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据旋转的性质、矩形的性质求出，即旋转角为，，即弧对应的半径为，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可知，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，即旋转角为， ， 又， ， 弧的长为． 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点P为“大美点”．例如点，，，…，都是“大美点”．若二次函数的图象上只有三个“大美点”，其中一个“大美点”是，当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入可得，再由的图象上只有三个“大美点”可得对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，可求得、，进而可求的取值范围． 【详解】解：一个“大美点”是， ， ， 的图象上只有三个“大美点”， 对应的或这两个一元二次方程必有一个有两个相等的实数根， 当时，有， ， 化简得：， ，此方程无解， 当时，有， ， 化简得：， ， ， ， 原二次函数为， ， ， 当时，二次函数有最大值为， 当时，， 关于抛物线的对称轴直线的对称点为， 当时，函数的最小值为，最大值为， 的取值范围为：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出使二次根式有意义的x的一个值为____________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵二次根式有意义 ∴ ∴ ∴写出使二次根式有意义的x的一个值为3（答案不唯一）． 12. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法，请利用如图所示的图形分解因式__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形面积计算即可求解． 【详解】解：各个图形组合成长方形，其面积和为，长方形的面积为， ∴ ． 13. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m、n．则点在平面直角坐标系中位于第______象限． 【答案】 三 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出，的值，再根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断点所在象限即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 设方程的两根分别为， 由根与系数的关系可得 ， ， 即点为，位于第三象限． 14. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于；②分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交于点．若测得，则点到的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】如图所示，过点作交的延长线于点，根据作图得出，则，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行线间的距离处处相等，即可求解． 【详解】解： 如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据作图可知为的角平分线，， ∴ ∴点E到的距离为 故答案为：3． 【点睛】本题考查了基本作图，作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线之间的距离，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接，是上的一个动点，连接，，且，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，由矩形的性质可得，证明得出，即点在以为直径的上，连接交于，此时最短，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上，如图所示，连接交于，此时最短，为， ， 则，， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算及化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 17. 数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积． 同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值． 【答案】四边形的面积为；的值为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、作图—基本作图、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，证明为等边三角形，得出，，由作图可得，垂直平分，证明，得出，推出四边形为菱形，求出，，再由菱形的面积公式计算即可得解；由平行四边形的性质可得，，，则，由作图可得，平分，垂直平分，得出，由等角对等边可得，从而可得，，证明，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 由作图可得，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为； ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 由作图可得，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示： 甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元） （1）每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？ （2）该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案． 【答案】（1）每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元； （2）购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组和函数关系式． （）设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元，由题意得，再解方程组即可； （）设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，求得，然后根据“乙种水果数量不多于甲种水果的倍”求出的范围即可求解． 【小问1详解】 解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元， ∴由题意得：，解得：， 答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元； 【小问2详解】 解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元， 则， ∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍， ∴， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时，， 答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大． 19. 2025年3月9日，十四届全国人大三次会议举行记者会，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，将持续推进体重管理年行动，普及健康生活方式．“少年强则国强”，关注青少年健康是头等大事．其中，青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表）， 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 为了解学校学生体重指数分布情况，九年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据． 【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图（扇形统计图为男女生总人数）． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）若一位女生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则她的体重指数（）属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”） （2）扇形统计图中A等级的圆心角度数为 ；将条形统计图补充完整； （3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”学生的人数； （4）根据以上统计数据，针对该校学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 【答案】（1）B （2）36º，见解析 （3）“肥胖”的学生约为120人 （4）该校多数学生体重标准，存在少数同学体重不标准，甚至肥胖，这部分同学应该健康饮食，多锻炼身体．（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据体重指数公式计算即可判断出答案； （2）用等级的人数除以可得总人数，用总人数乘，再减去等级的男生人数，进而得出等级的女生人数，再补全条形统计图即可； （3）利用样本估计总体，可估计出全校体重指标为“肥胖”的学生人数； （4）答案不唯一，言之有理即可． 【小问1详解】 解：，， 她的体重指数属于B等级； 故答案为：B； 【小问2详解】 解：本次调查的样本容量是：， A等级的圆心角度数为：， 等级的女生人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解： （人）． 答：估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为120人； 【小问4详解】 解：该校大多数学生体重标准，存在少数同学体重不标准，甚至肥胖，这部分同学应该健康饮食，多锻炼身体． 20. 如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线，交于点C，连接，点D在上，过点D作，交于点F，作，垂足为点E．，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及解直角三角形． （1）通过证明三角形全等得到角相等，再结合切线的性质和等腰三角形的性质，证明半径与直线垂直，从而判定直线为圆的切线； （2）利用解直角三角形求出相关线段的长度，再通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质列出方程，求解圆的半径． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ，， ， 在与中， ， ， ， 是的切线，点A为切点， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，， ， ， ， ， 即的半径为． 21. 如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． （1）如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）先证明，再利用三角函数的意义进行计算即可； （2）如图3中，作交的延长线于点，解直角三角形得出是，进一步相减可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可得：窗户旋转角时，测得， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图3中，作交的延长线于点， 在中，， ， ∴， ， 在中，， ． ∴ ∴端点N在此过程中滑动的长度为：． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）将抛物线向下平移个单位后与轴交于、两点，若线段，求的取值范围； （3）若定义：当在抛物线的对称轴同一侧，且满足时，称为二次函数的黄金区间．请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，黄金区间为 【解析】 【分析】（1）把代入求得a的值即可解答； （2）先求得平移后新的函数解析式，再求出新函数解析式于x轴的交点坐标，再根据线段列关于t的不等式求解即可； （3）分对称轴左侧和右侧两种情况，结合函数增减性和黄金区间的定义，建立方程或方程组，求解并判断是否有符合条件的区间即可解答． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：抛物线向下平移个单位后的函数解析式为， 令，则． 设方程的两根为​，则． 由根与系数的关系可得， ∵， ∴，即，解得：． 所以 t 的取值范围为． 【小问3详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线，开口向上，顶点为． ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 黄金区间定义： 在对称轴同一侧，且． ①区间在对称轴右侧（），此时y随x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴m，n 是方程 的两个根，解得， ∴，即； ②区间在对称轴左侧，此时y随x的增大而减小； ∴当时，，当时，， ∴​ 两式相减： ， ∵，即， ∴，即， 将代入得，即， ∴， ∴方程无实根，故左侧不存在黄金区间． 综上，存在黄金区间，为． 23. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”作辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． （1）【问题提出】如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，如图2．进而证明________，可得出结论．他的结论应是________． （2）【触类旁通】如图3，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【知识应用】2026年4月13日，针对某国军舰在南海的非法巡航及侦察活动，中国人民解放军南部战区在南海某海域组织联合反制演习．演习中，我方055型万吨驱逐舰“延安舰”（代号“蓝刃”）与型电子侦察船“天权星舰”（代号“天眼”）协同行动，模拟对“敌”舰队的跟踪与电子压制．如图4，指挥中心设在永暑礁附近的O点．演习开始前，055驱逐舰位于O点北偏西的A处，815侦察船位于O点南偏东的B处，且（两舰到指挥中心距离相等）．接到“敌舰现身”的紧急指令后：055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东方向前出，实施电子侦察与信号定位．2小时后，055舰到达C点，815船到达D点．此时，指挥中心通过雷达确认：（即两舰与指挥中心连线之间的夹角）．试求此时两舰之间的距离（单位：海里）． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3）100海里 【解析】 【分析】（1）由题意可知，得到，，再证明，推出，得到，最后根据即可得出结论； （2）延长，使，连接，先证明，得到，推出，接着证明，得到，最后根据即可得出结论； （3）延长，使，连接，在点的正西方向取一点，在点的正南方向取一点，在点的正北方向取一点，在点的正北方向取一点，接着证明，得到，推出，得到，接着证明，推出，到． 【小问1详解】 解：如图，将绕点A顺时针旋转得到， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，，， ∴, ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：成立，理由如下： 延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长，使，连接，在点的正西方向取一点，在点的正南方向取一点，在点的正北方向取一点，在点的正北方向取一点，如图所示： 由题意可知，，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 又， ∴， ∴， ∵055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东方向前出，实施电子侦察与信号定位．2小时后，055舰到达C点，815船到达D点． ∴（海里），（海里）， ∴（海里）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业水平模拟考试（三）数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年，山东省经济运行稳健向好、进中提质，全年地区生产总值达到10.3万亿元，成为全国第三个过10万亿元省份．数据“10.3万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一个问题，大意是：有人用银子买骆驼和马两种牲口，买10匹马的价钱和买6匹骆驼的价钱是一样的，但是每匹骆驼比每匹马贵8两银子，问一匹马、一匹骆驼各值多少两银子？设一匹马值x两，一匹骆驼值y两，则根据条件列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（ ）． A. B. 13 C. 3 D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 以原点 O 为位似中心，位似 比为，把扩大，则点 B 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在格点上，连接、，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点E落在边上，且，若，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点P为“大美点”．例如点，，，…，都是“大美点”．若二次函数的图象上只有三个“大美点”，其中一个“大美点”是，当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出使二次根式有意义的x的一个值为____________． 12. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法，请利用如图所示的图形分解因式__________． 13. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m、n．则点在平面直角坐标系中位于第______象限． 14. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于；②分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交于点．若测得，则点到的距离为______． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接，是上的一个动点，连接，，且，则线段的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算及化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积． 同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值． 18. 某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示： 甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元） （1）每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？ （2）该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案． 19. 2025年3月9日，十四届全国人大三次会议举行记者会，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，将持续推进体重管理年行动，普及健康生活方式．“少年强则国强”，关注青少年健康是头等大事．其中，青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表）， 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 为了解学校学生体重指数分布情况，九年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据． 【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图（扇形统计图为男女生总人数）． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）若一位女生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则她的体重指数（）属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”） （2）扇形统计图中A等级的圆心角度数为 ；将条形统计图补充完整； （3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”学生的人数； （4）根据以上统计数据，针对该校学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 20. 如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线，交于点C，连接，点D在上，过点D作，交于点F，作，垂足为点E．，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． （1）如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）将抛物线向下平移个单位后与轴交于、两点，若线段，求的取值范围； （3）若定义：当在抛物线的对称轴同一侧，且满足时，称为二次函数的黄金区间．请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由． 23. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”作辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． （1）【问题提出】如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，如图2．进而证明________，可得出结论．他的结论应是________． （2）【触类旁通】如图3，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【知识应用】2026年4月13日，针对某国军舰在南海的非法巡航及侦察活动，中国人民解放军南部战区在南海某海域组织联合反制演习．演习中，我方055型万吨驱逐舰“延安舰”（代号“蓝刃”）与型电子侦察船“天权星舰”（代号“天眼”）协同行动，模拟对“敌”舰队的跟踪与电子压制．如图4，指挥中心设在永暑礁附近的O点．演习开始前，055驱逐舰位于O点北偏西的A处，815侦察船位于O点南偏东的B处，且（两舰到指挥中心距离相等）．接到“敌舰现身”的紧急指令后：055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东方向前出，实施电子侦察与信号定位．2小时后，055舰到达C点，815船到达D点．此时，指挥中心通过雷达确认：（即两舰与指挥中心连线之间的夹角）．试求此时两舰之间的距离（单位：海里）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $