精品解析：安徽淮南市第二十五中学等校2026春季九年级第二次模拟数学试卷

2026春季九年级第二次模拟数学试卷 考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 如图，数轴上表示的点是（ ） A. M B. N C. P D. Q 【答案】A 【解析】 【详解】解：数轴上表示的点是点M． 2. 新华社北京5月5日电，记者从国家邮政局获悉，“五一”假期全国邮政快递业揽收快递包裹13.4亿件，同比增长2.3%，其中“13.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义计算求值即可； 【详解】解：13.4亿=1340000000=1.34×109， 故选： D． 【点睛】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1的数表示成a×10n的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数． 3. “工”字型零件如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图的定义（左视图是从几何体左侧看所得到的图形）即可求解． 【详解】解：由几何体可知，左视图是 故选：C． 【点睛】此题考查了三视图的判断，解题的关键是熟知左视图的定义． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质、立方根定义，单项式乘以单项式运算法则，有理数的乘方运算，逐一计算各选项即可判断正误，得到正确结果． 【详解】解：、，该选项计算错误，不符合题意； 、根据立方根的性质，可得，该选项计算正确，符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意． 5. 如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。 【详解】解：因为AD垂直BC， 则△ABD和△ACD都是直角三角形， 又因为 所以AD=， 因为sin∠C=， 所以AC=2， 因为EF为△ABC的中位线， 所以EF==1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键． 6. 已知关于x的一次函数y＝kx+3k+1，不论k为何值，该函数的图象都经过点P，则点P的坐标为（　　） A. （﹣3，1） B. （1，﹣3） C. （3，1） D. （1，3） 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数是含有参数k，把含有k的项合并同类项可以得到y=（x+3）k+1，此时让x+3的值为0，求出对应y值，即为点P坐标． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+3k+1，不论k为何值，该函数的图象都经过点P， ∴y＝kx+3k+1=（x+3）k+1，当x+3=0时，x=-3，y=1 所以点P的坐标为（﹣3，1）． 故选A． 【点睛】考查含有字母的一次函数恒过定点问题，此类问题与字母的取值无关问题相似，学生需要将含有参数的项合并同类项，使其系数为0，求出对应的坐标即可，掌握方法是关键． 7. 如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键 利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解． 【详解】如图：连接，交于点O， 因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，；，；，；， ． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴，， ∴， ∵四边形面积为，， ∴， 解得 ． ∴ 在中 ． 故选：B． 8. 如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图：连接，交于点O， 因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，；，；，；， ． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴，， ∴， ∵四边形面积为，， ∴， 解得 ． ∴ 在中，根据勾股定理得： ． 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 且 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出直线的表达式为，然后和抛物线联立得到，然后根据判别式求出，然后分和两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：设直线的表达式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 将直线和二次函数联立得，，即， 整理得，， ∵直线与抛物线有两个交点， ∴， 解得， 当时，抛物线开口向下 ∵抛物线与线段有两个不同的交点， ∴当时，；当时，， ∴， 解得： ∴； 当时，抛物线开口向上， ∵抛物线与线段有两个不同的交点， ∴当时，；当时，， ∴， 解得． 综上a的取值范围为：或． 10. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点E，把绕点B逆时针方向旋转得到，延长交于点M，连接，交于点N．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质和全等三角形的性质可知，易得，即可判断结论①；结合且，即可判断结论②；首先确定在以为直径的圆上，由圆周角定理可得，即可判断结论③；过点作，交于，证明，再设，在中利用勾股定理解得，进而确定，易得，即可判断结论④． 【详解】解：由旋转可知，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故结论①正确， ∵，， ∴，故结论②错误； 如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③正确； 如图，过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，在中，， ∴， ∴（负根已舍去）， ∵， ∴， ∴，故结论④正确． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知的平方根是，则x的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵x+1的平方根是±2， ∴x+1=4， ∴x=3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了平方根的定义，一个整数的平方根有两个，它们互为相反数． 12. 如图，为的直径，点，在上，若，则的度数是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可求得，而是等腰三角形，根据三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴，， ∵、是的半径， ∴，即是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴． 13. 如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；；则从第（）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图示情况，得出黑球和白球出现的规律，求出第n个图中球的总数和黑球的个数，即可求出从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率． 【详解】解：根据图示规律，第n个图中，黑球有n个，球的总数有1+2+3+4+5+…+n=， 则从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是=． 故答案为． 【点睛】此题将规律性问题与概率公式相结合，考查了同学们的综合运用能力，而计算出球的总数和归纳出黑球的个数是解题的关键． 14. 对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“⊗”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，， （1）计算：_____； （2）若不含项，则_____． 【答案】 ①. 14 ②. 15 【解析】 【分析】（1）按照新定义的运算顺序直接计算即可； （2）先推导的一般形式，再根据新定义求出，利用不含项得到项系数为0，结合正整数性质求解． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、（本题每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 去分母得，， 移项、合并同类项得， 得． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． （1）以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出； （2）计算的面积． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查作图位似变换、三角形的面积等知识点，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质确定得对应点，然后顺次连接即可； （2）利用网格结合三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求． 【小问2详解】 解：由图可知，的面积为． 四、（本题每小题8分，满分16分） 17. 如图1是一个手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，B转动，经测量，，．当AB，BC转动到，时，求点C到的距离．（结果保留小数点后一位） 参考数据：，1.73，． 【答案】点C到的距离为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点C作，垂足为N，过点B作，垂足为M，过点C作，垂足为D，可得的长，，从而求出，可得，然后求出的长即可解答． 【详解】解：过点C作，垂足为N，过点B作，垂足为M，过点C作，垂足为D， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 答：点C到的距离为． 18. 在平面直角坐标系中，函数和直线（k为常数，且）的图像如图所示，若函数与的图像有一个交点． （1）求m，k的值； （2）过动点作平行于x轴的直线，分别交函数和的图像于点B、C，在点P的运动过程中，点P、B、C三点中一点是另外两点的所连线段的中点，求此时n的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）把交点的坐标代入函数的解析式，先计算m的值，再代入解析式计算即可． （2）根据，得到，，分类利用中点坐标公式建立等式计算求解即可． 【小问1详解】 ∵函数和直线（k为常数，且）的图像有一个交点， ∴， ∴， 把点代入，得， ， 解得， 故． 【小问2详解】 ∵点作平行于x轴的直线，分别交函数和的图像于点B、C，且数和直线， ∴，， 当点B是线段的中点时，根据题意，得，整理，得， ∵， ∴方程无解； 当点C是线段的中点时，根据题意，得，整理，得， 解得，； 当点P是线段的中点时，根据题意，得，整理，得， 解得，（舍去）； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，方程的解法，熟练掌握待定系数法，交点的意义是解题的关键． 五、（本题每小题10，满分20分） 19. “太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年带来的太空科普课极大地激发了同学们探索宇宙奥秘的热情．为进一步丰富学生的航天知识，学校组织了“太空科普知识比赛”．九（1）班和九（2）班各选拔了10名学生参加比赛．这20名学生的比赛成绩的有关统计数据见表1和表2（计分采用10分制且得分均取整数，成绩达到6分或6分以上为及格、达到9分或10分为优秀）： 表1：比赛成绩表 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （1）班 5 8 8 9 8 10 5 8 5 10 （2）班 10 6 9 6 7 4 5 10 10 8 表2：有关统计数据表 平均数 中位数 众数 方差 及格率 优秀率 7.6 8 3.82 70% 30% 7.5 10 4.94 80% 40% （1）在表2中，______，______； （2）有人说（2）班的及格率、优秀率高于（1）班，所以（2）班的成绩比（1）班好，但也有人坚持认为（1）班成绩比（2）班好，请你给出支持（1）班成绩好的两条理由； （3）若从这两班获满分的同学中随意抽2名同学参加“区太空科普知识大赛”，求参赛同学恰好是（2）班同学的概率． 【答案】（1）8，7.5 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义，平均数的计算公式解答即可； （2）根据平均分及方差即可说明理由； （3）列举所有的等可能的情况，再根据概率是计算公式计算可得． 【小问1详解】 解：∵数据8出现了4次，最多，∴众数a=8； ； 故答案为：8，7.5； 【小问2详解】 如①（1）班的平均分比（2）班高，所以（1）班成绩比（2）班好； ②（1）班学生得分的方差比（2）班小，说明（1）班成绩比（2）班稳定； 【小问3详解】 （1）班满分的同学有2位，设为a，b，（2）班满分的同学有3位，设为，，，一共有5名满分同学，从中随意抽2名，每人被抽到的可能性相同，共有：，，，，，，，，，，10种等可能结果，其中两名学生均是（2）班的有3种情况． ∴参赛同学恰好是（2）班同学的概率为． 【点睛】此题考查了调查统计表，众数的定义，平均数的计算公式，利用已知数据进行分析比较，概率是计算公式，正确理解统计表中的数据得到相应的信息是解题的关键． 20. 如图，在四边形ABCD中，，，以BC为直径的半与边AD相切于点E． （1）求证：； （2）若，求DE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接OE，先由切线的性质和平行线的性质得出，再由等边对等角和等量代换证得； （2）如图，连接BE，易知，又因为所以，再证，得，设带入计算即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接OE， ∵半与AD相切于点E， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接BE， ∵，， ∴， ∵， ∴． 设，则， ∵BC为的直径， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 即DE的长为． 【点睛】此题考查了圆的切线、平行线、等腰三角形等的性质以及相似三角形，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用上述知识求证求解． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． 密铺方式构建：运用密铺知识得到图1所示的拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （1）密铺规律探究：为方便研究，称图2为图1的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，图1每增加一个图2所示的拼接单元，则增加 ① 个正六边形和 ② 个正三角形，长度增加 ③ ，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为 ④ ． 【项目分析】 ①项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． ②基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． ③方式确定： （ⅰ）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ⅱ）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与六个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （ⅲ）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （2）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接（如图3）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼10块拼接第一行单元，即共用去10个正六边形和60个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图3所示的阴影正六边形）．最终需用11个正六边形和60个正三角形组件，本方案每行的成本为 ⑤ 元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺21行．本方案所需的总成本为 ⑥ 元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令，解得，所以每行可以先拼12块拼接单元，即共用去12个正六边形和72个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余，无法再摆放组件．方案二每行的成本为 ⑦ 元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得 ，故需铺18行．方案二所需的总成本为 ⑧ 元． 【项目实施】 （3）根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动，应选择方案 ⑨ ． 【答案】（1）1；6；60； （2）115；2415；132；2376 （3）二 【解析】 【分析】（1）通过观察图2所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出个拼接单元拼成一行的长度； （2）根据两种方案每行所需两种组件的数量、每种组件的价格以及拼接行数计算每行成本和总成本． （3）比较两种方案的总成本即可作出判断． 【小问1详解】 解：如图，每增加一个拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形；增加的总长度为3个边长，即； 有一个拼接单元时的长度为70 cm， 有2个拼接单元式时的长度为， 有3个拼接单元时的长度为， … 所以x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 【小问2详解】 解：方案一： 因为每行需要11个正六边形和60个正三角形组件，正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元，则 每行的成本为（元）； 需要铺21行， 所以所需的总成本为（元）； 方案二： 因为每行需要12个正六边形和72个正三角形组件，则 每行的成本为（元）； 需要铺18行， 所以所需的总成本为（元）． 【小问3详解】 解：， 选择方案二． 七、（本题满分12分） 22. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． （1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； （2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】（1）图1的正方形面积较大 （2）在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． 【小问2详解】 解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． （1）当、时，求此函数图象的对称轴； （2）当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出，然后代入进行求解即可． 【小问1详解】 解：当、时，二次函数可化为：， ∴此函数图象的对称轴为． 【小问2详解】 解：当时，二次函数可化为：， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵在时，y随的增大而减小； ∴， ∵在时，随的增大而增大； ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵若点，，均在该函数的图象上， ∴， ， ∴ ； ； ∵， ∴，整理得： ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴，解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季九年级第二次模拟数学试卷 考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 如图，数轴上表示的点是（ ） A. M B. N C. P D. Q 2. 新华社北京5月5日电，记者从国家邮政局获悉，“五一”假期全国邮政快递业揽收快递包裹13.4亿件，同比增长2.3%，其中“13.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “工”字型零件如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知关于x的一次函数y＝kx+3k+1，不论k为何值，该函数的图象都经过点P，则点P的坐标为（　　） A. （﹣3，1） B. （1，﹣3） C. （3，1） D. （1，3） 7. 如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 8. 如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 且 D. 或 10. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点E，把绕点B逆时针方向旋转得到，延长交于点M，连接，交于点N．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知的平方根是，则x的值为__________． 12. 如图，为的直径，点，在上，若，则的度数是____． 13. 如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；；则从第（）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是____________． 14. 对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“⊗”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，， （1）计算：_____； （2）若不含项，则_____． 三、（本题每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． （1）以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出； （2）计算的面积． 四、（本题每小题8分，满分16分） 17. 如图1是一个手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，B转动，经测量，，．当AB，BC转动到，时，求点C到的距离．（结果保留小数点后一位） 参考数据：，1.73，． 18. 在平面直角坐标系中，函数和直线（k为常数，且）的图像如图所示，若函数与的图像有一个交点． （1）求m，k的值； （2）过动点作平行于x轴的直线，分别交函数和的图像于点B、C，在点P的运动过程中，点P、B、C三点中一点是另外两点的所连线段的中点，求此时n的值． 五、（本题每小题10，满分20分） 19. “太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年带来的太空科普课极大地激发了同学们探索宇宙奥秘的热情．为进一步丰富学生的航天知识，学校组织了“太空科普知识比赛”．九（1）班和九（2）班各选拔了10名学生参加比赛．这20名学生的比赛成绩的有关统计数据见表1和表2（计分采用10分制且得分均取整数，成绩达到6分或6分以上为及格、达到9分或10分为优秀）： 表1：比赛成绩表 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ （1）班 5 8 8 9 8 10 5 8 5 10 （2）班 10 6 9 6 7 4 5 10 10 8 表2：有关统计数据表 平均数 中位数 众数 方差 及格率 优秀率 7.6 8 3.82 70% 30% 7.5 10 4.94 80% 40% （1）在表2中，______，______； （2）有人说（2）班的及格率、优秀率高于（1）班，所以（2）班的成绩比（1）班好，但也有人坚持认为（1）班成绩比（2）班好，请你给出支持（1）班成绩好的两条理由； （3）若从这两班获满分的同学中随意抽2名同学参加“区太空科普知识大赛”，求参赛同学恰好是（2）班同学的概率． 20. 如图，在四边形ABCD中，，，以BC为直径的半与边AD相切于点E． （1）求证：； （2）若，求DE的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． 密铺方式构建：运用密铺知识得到图1所示的拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （1）密铺规律探究：为方便研究，称图2为图1的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，图1每增加一个图2所示的拼接单元，则增加 ① 个正六边形和 ② 个正三角形，长度增加 ③ ，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为 ④ ． 【项目分析】 ①项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． ②基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． ③方式确定： （ⅰ）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ⅱ）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与六个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （ⅲ）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （2）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接（如图3）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼10块拼接第一行单元，即共用去10个正六边形和60个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图3所示的阴影正六边形）．最终需用11个正六边形和60个正三角形组件，本方案每行的成本为 ⑤ 元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺21行．本方案所需的总成本为 ⑥ 元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令，解得，所以每行可以先拼12块拼接单元，即共用去12个正六边形和72个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余，无法再摆放组件．方案二每行的成本为 ⑦ 元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得 ，故需铺18行．方案二所需的总成本为 ⑧ 元． 【项目实施】 （3）根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动，应选择方案 ⑨ ． 七、（本题满分12分） 22. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． （1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； （2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． （1）当、时，求此函数图象的对称轴； （2）当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $