精品解析：安徽省淮南市大通区2024-2025学年九年级中考二模数学试卷

2025年安徽省初中学业水平考试名校联考（二） 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，与实数25互为倒数的是（ ） A. 25 B. 52 C. D. 2. 决胜“十四五”，奋进新征程．安徽省政府工作报告明确了2025年安徽经济社会发展的主要预期目标，其中全员劳动生产率达168000元/人左右，城镇常住居民人均可支配收入增速高于全国平均水平．数据168000用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 如图是由四个同样大小的正方体搭建的几何体，下列结论正确的是（ ） A. 它的主视图和左视图相同 B. 它的主视图与俯视图相同 C. 它的主视图、左视图和俯视图都相同 D. 它的主视图、左视图和俯视图互不相同 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 6. 中国传统乐器种类繁多，历史悠久，承载着丰富文化内涵和艺术价值．某校开设了二胡、琵琶、笛子、唢呐四种器乐社团，小明和小丽随机选择其中的一个社团，则两人选择同一个社团的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 8. 已知实数a，b满足，，且，则下列结论一定成立是（ ） A. B. C. D. 9. 已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 10. 如图，为线段上一点（不包括端点），四边形和四边形均为矩形，三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，，，记矩形和矩形的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数p的值可以为______．（写出一个即可） 13. 如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为______． 14. 如图，在四边形中，，，，E为对角线上一点，且，． （1）若，则______； （2）CD长的最小值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 16. 为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； （2）如图，O为格点，以点O为中心，在网格中画出的中心对称图形． 18. 某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ （1）请你补充航航和悦悦探究，即______，______，______； （2）请你解决涛涛同学提出的问题． 20. 如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求直径的长． 六、（本题满分12分） 21. 人工智能（）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次抽查样本容量为______，扇形统计图中的值为______°，m的值为______． （2）请补全频数直方图． （3）学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 在矩形中，为对角线上一点（），连接，过点作交的延长线于点，交于点，设． （1）如图1，已知． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）求证：． （2）如图2，若，，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（，，为常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上（不包括端点，），且，求的最小值； （3）若是第四象限内抛物线上的一点，横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年安徽省初中学业水平考试名校联考（二） 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，与实数25互为倒数的是（ ） A. 25 B. 52 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的定义，两个数乘积为1则互为倒数．计算25与各选项的乘积，仅D选项满足条件． 【详解】解：∵， ∴ 与25互为倒数数是． 故选D． 2. 决胜“十四五”，奋进新征程．安徽省政府工作报告明确了2025年安徽经济社会发展的主要预期目标，其中全员劳动生产率达168000元/人左右，城镇常住居民人均可支配收入增速高于全国平均水平．数据168000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：数据168000用科学记数法表示为． 故选：C 3. 如图是由四个同样大小的正方体搭建的几何体，下列结论正确的是（ ） A. 它的主视图和左视图相同 B. 它的主视图与俯视图相同 C. 它的主视图、左视图和俯视图都相同 D. 它的主视图、左视图和俯视图互不相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，据此结合图形画出对应的三视图即可得到答案． 【详解】解：该几何体三视图如下所示： ∴它的主视图、左视图和俯视图互不相同， 故选：D 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，积的乘方，合并同类项以及单项式乘单项式．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，积的乘方，合并同类项，单项式乘单项式的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查含有角的直角三角形的性质、弧长计算．明确圆心角和半径是解题的关键．由含有角的三角形可先求出半径，再由弧长公式得出劣弧的长． 【详解】解：含有角的三角尺的顶点B为圆心， ，， ，， 长为半径画，交边于点D， ， ， ， 劣弧的长为：． 故答案为：B． 6. 中国传统乐器种类繁多，历史悠久，承载着丰富的文化内涵和艺术价值．某校开设了二胡、琵琶、笛子、唢呐四种器乐社团，小明和小丽随机选择其中的一个社团，则两人选择同一个社团的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，分别用表示四种器乐社团，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：用表示二胡、琵琶、笛子、唢呐四种器乐社团，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中，两人选择同一个社团的情况有4种， ∴； 故选C． 7. 如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，取的中点构建平行四边形是解题的关键．取的中点，则，连接，根据三角形中位线的性质可证得四边形是平行四边形，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，则，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 已知实数a，b满足，，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过对方程进行变形，得，推再与第一个方程相加，整理得，即，由得，故可得． 【详解】解：∵①，②， 由②得③， 得，， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9. 已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，连接，连接，交于点G，证明直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形，延长交小圆于点P，连接，易证，得到，此时，；延长交小圆于点P，同理可得． 【详解】解：根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动， 连接，连接，交于点G， ∵O为边长为2的正六边形的中心， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形， ∴，，， ∴，， 延长交小圆于点P，连接，则， 在和中， ∴ ∴，即， 此时，； 延长交小圆于点P，连接，同理可得， 此时，； 故选：B． 10. 如图，为线段上一点（不包括端点），四边形和四边形均为矩形，三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，，，记矩形和矩形的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，过点作交的延长线于点，可证，得到，，即得，，进而即可判断求解，正确求出与之间的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ∴， ∵四边形和四边形均为矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴是的二次函数，开口向下，顶点坐标为， ∴A选项正确， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先计算的化简结果和的值，然后相减． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数p的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式和解一元一次不等式的步骤． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式大于零，求出p的取值范围，解接一元一次不等式，再取整数解． 【详解】解：方程的判别式为， 由于有两个不相等的实数根，故，即， 解得， 因此，整数p可以取 2、1、0 等， 故答案为：2． 13. 如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得，则设，得到方程，解得，再根据反比例函数k的几何意义得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 设， ∵若，， ∴， 解得， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：10． 14. 如图，在四边形中，，，，E为对角线上一点，且，． （1）若，则______； （2）CD长的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，先根据等腰三角形的性质得到，由（1）得，证明得到，，则，进而求得，证明，根据垂线段最短和平行线间的距离处处相等可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ，即， 解得， 故答案为：； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点． ， ， 由（1）得， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点运动到时最小，此时， 长的最小值为4． 故答案为：4． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴不等式的解集为， 在数轴上表示出解集，如图所示： 16. 为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 【答案】需准备的预算金额为1950元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元，根据“购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元”列二元一次方程组，解方程组求出笔记本和马克杯的单价，再计算预算金额即可． 【详解】解：设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元．根据题意，得 ， 解得， 所以，准备的预算金额（元）． 答：需准备的预算金额为1950元． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； （2）如图，O为格点，以点O为中心，在网格中画出的中心对称图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换、中心对称变换等知识点，掌握平移的性质以及中心对称变换的性质是解题的关键． （1）先根据平移变换确定的对应点，然后再顺次连接即可； （2）先根据中心对称变换确定的对应点，然后再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求． 【小问2详解】 解：如图：即为所求． 18. 某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是解直角三角形的应用—坡度坡角问题．分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G．设，则，根据的坡度， 可得，，，从而得到．在中，利用锐角三角函数解答即可． 【详解】解：分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G． 由题意知，． 的坡度， ， 可设，则． 的坡度， ，，， ，解得， ． 中，， ． 答：改造后的路基底宽长约为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ （1）请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； （2）请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】（1）；； （2）存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【小问1详解】 解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． 【小问2详解】 解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 20. 如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求直径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、平行线分线段成比例、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接．由切线的性质可得，再根据圆周角定理、等边对等角以及等量代换可得，即，再根据平行线的性质即可证明结论； （2）由平行线分线段成比例可得，进而得到设，则．在中，根据勾股定理列方程可求得x的值，进而确定直径AB的长． 【小问1详解】 证明：如图：连接， 为的切线， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）知， ． ，， 设，则． 在中，， 解得（负值舍去）， ． 六、（本题满分12分） 21. 人工智能（）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次抽查样本容量为______，扇形统计图中的值为______°，m的值为______． （2）请补全频数直方图． （3）学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 【答案】（1）80；22.5；31.25 （2）见解析 （3）小涵的观点正确，小涛的观点错误．见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图与扇形统计图，中位数的概念，解决本题的关键是能读懂频数分布直方图与扇形统计图中的相关信息． （1）根据良好与中等所对应的圆心角可得总人数，再由圆心角计算公式以及人数计算即可． （2）根据中等学生人数与良好学生人数补全频数直方图即可． （3）根据中位数的概念计算中位数即可判断小涛的说法，计算不低于75分的人数即可判断小涵的说法． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，良好与中等所对应的圆心角为， ∴待合格，合格与优秀所对应的圆心角为， 即占总人数的， 由频数直方图可知，待合格，合格与优秀的人数为（人）， 即总人数为（人）； 待合格对应的圆心角为； 合格所占百分比为． 故答案为：80；22.5；31.25． 【小问2详解】 解：C等级即中等学生人数为15人， ∴良好学生人数为（人）， 补全频数直方图如图所示． 【小问3详解】 解：小涵的观点正确，小涛的观点错误，理由如下． 理由：本次抽样调查的样本容量是80，待合格和合格共30人，72分至75分的有8人， ∴第40人和第41人都是76分，所以这次抽取成绩的中位数是76分，所以小涛的观点错误． ∵（人）， ∴九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人，所以小涵的观点正确． 七、（本题满分12分） 22. 在矩形中，为对角线上一点（），连接，过点作交的延长线于点，交于点，设． （1）如图1，已知． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）求证：． （2）如图2，若，，求的值． 【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）（ⅰ）根据已知等边对等角可得。进而证明，根据线段的和差以及等量代换即可得证； （ⅱ）过点作，交于点，交于点．证明得出，设，，进而根据勾股定理，即可得证； （2）过点作，交于点，交于点．设，则，证明，得出，根据已知可得，，代入比例式，即可求解． 【小问1详解】 解： （ⅰ）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． （ⅱ）如图1，过点作，交于点，交于点， ， 矩形为正方形， ，和均为等腰直角三角形， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， 设，， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图2，过点作，交于点，交于点． 设，则， ， ∴ ∴ ∴， ， 为的中点，为的中点， ，， ， 解得（负值舍去）． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（，，为常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上（不包括端点，），且，求的最小值； （3）若是第四象限内抛物线上的一点，横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，当时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解析式，结合对称轴代入公式即可求得； （2）利用坐标表示，然后利用二次函数的性质求的最小值； （3）利用点的坐标表达线段长度，再利用线段表达面积，最后利用求出的值 【详解】解：（1）由题意得解得 抛物线的表达式为． （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点． 设， 解得： 即：直线的函数表达式为． 由题意，得点，，其中， ，， ， 当时，取最小值为． （3）如图，当时；， 解得：， 即：点， 点，，，其中， ． ，， ， ． ，， ， 解得，（舍去）， 的值为． 【点睛】本题考查了二次函数图象、性质及最值、待定系数法求函数解析式、二次函数与三角形及梯形的面积等，关键是二次函数的性质的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $