精品解析：2026年云南楚雄彝族自治州武定县初中学业水平考试数学测试卷（二模）

2026年初中学业水平考试 数学测试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果风车顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作（ ） A. B. C. D. 2. 2025年一季度，丽江市接待游客约20076000人次，增长．20076000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 三角板和直尺摆放如图所示，三角板顶点在直尺下沿线上，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果反比例函数的图象过点，那么这个函数的图象应在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 圆柱 7. 正九边形的一个内角等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为1的小正方形网格中，相交于点，点都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 下列几何图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 11. “樱云织诗笺少年拾春行”，2025年3月，昆明市第三中学举办“樱”为有你春日校园创意文化活动．小明随机调查了学校30名初中同学制作书笺的数量，数据如下表所示： 人数 书笺数量（张） 则制作书笺数量的中位数和众数分别是（ ） A. 4，10 B. 2，4 C. 4，4 D. 3，4 12. 若有一组按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第个多项式是（ ） A. B. C. D. 13. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 14. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 15. 如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：________． 17. 云南省曲靖市罗平县是闻名全国的“油菜花之乡”，这里盛产的油菜花菜在国内外都享有盛誉．某农科院培育了甲、乙、丙三个品种的油菜花，统计近三年这三个品种油菜花的亩产量平均数和方差如表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 505 520 520 方差 5.5 5.5 7.8 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择_______品种（填“甲”“乙”或“丙”）． 18. 妈妈生日快到了，小明想亲手制作一个圆锥形的生日帽送给妈妈．经测量，要制作的生日帽底面直径为，母线长为，则制作这个生日帽最少需要材料______cm． 19. 如图， 已知，的垂直平分线交于点D，则_______ 度． 三、解答题（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 21. 如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：． 22. 随着中国网民规模突破亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使伽瑶，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？ 23. 为推进开展学校科学教育，某校组织学生开展了“科技创新月”活动，计划进行以下四项实验活动：A：马德堡半球；：塑料袋火箭；：色彩爆炸；D：火山爆发（要求全校学生都必须参加）．张老师将代表这四项实验活动的字母A、B、C、D分别写在四个大小相同的小球上，并将小球装在不透明的布袋中，参加活动的同学从布袋中随机摸出一个小球并记下小球上的字母，然后将小球放回，再去做对应的实验．甲抽到的实验结果记为，乙抽到的实验结果记为． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校参加活动的甲、乙两名同学所做的实验恰好相同的概率． 24. 如图，平行四边形的周长为，的平分线交边于点，交对角线于点，点在上，，过点作于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 25. 某智慧社区计划推广垃圾分类，需采购两种智能设备，智能垃圾桶（T 型）：自动分类 可回收物；垃圾分拣机器人（R 型）：精准分拣有害垃圾．若购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；若购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元． （1）求每台T 型设备和每台R 型设备的单价； （2）若社区需采购两种设备共20台（均需采购），且T型设备数量不超过R型数量的， 为 使总费用最低，应分别采购T 型和R 型设备多少台?最低总费用为多少元? 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为，点，点，点． （1）若抛物线经过点，，，求抛物线的表达式． （2）对于抛物线，若，，．当抛物线与线段有且只有一个公共点时，求的取值范围． 27. 如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点，交于点，连接，过点作，交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求的值； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试 数学测试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果风车顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，用正数和负数表示两种具有相反意义的量，由此求解即可，理解具有相反意义的量是解此题的关键． 【详解】解：如果风车顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作， 故选：D． 2. 2025年一季度，丽江市接待游客约20076000人次，增长．20076000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，满足，为整数，的值等于原数的整数位数减1． 【详解】解：． 3. 三角板和直尺摆放如图所示，三角板顶点在直尺下沿线上，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平角的定义求得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵三角板顶点在直尺下沿线上，， ∴ ∵直尺的两边平行， ∴ 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需要利用同底数幂除法、完全平方公式、合并同类项、幂的乘方的运算法则逐一判断选项． 【详解】解：A、根据同底数幂的除法法则，，故此选项错误； B、根据完全平方公式，，故此选项错误； C、根据合并同类项法则，，故此选项错误； D、根据幂的乘方法则，，故此选项正确． 5. 如果反比例函数的图象过点，那么这个函数的图象应在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的图象性质，先根据点的坐标求出比例系数的值，再根据的符号判断函数图象所在象限． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， 根据反比例函数的性质，当时，函数的图象在第二、四象限． 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 圆柱 【答案】B 【解析】 【详解】解：主视图和左视图均为三角形，表明该几何体为锥体， 俯视图为圆且中心有一点，表明该几何体的底面为圆， 故该几何体是圆锥． 7. 正九边形的一个内角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用多边形内角和公式求解正九边形的单个内角度数，正多边形所有内角相等，用内角和除以边数即可得到结果. 【详解】解：∵边形内角和公式为，正九边形的边数， ∴正九边形内角和为， ∵正九边形每个内角相等， ∴正九边形的一个内角为． 8. 如图，在边长为1的小正方形网格中，相交于点，点都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，相似三角形的性质是解题的关键． 根据图示可得，得到相似比为，根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 9. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数是非负数，分式分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴需同时满足二次根式有意义和分式分母不为0的条件， ∴ ，解得 ． 10. 下列几何图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：图1不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 图2不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 图3既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 图4是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 符合题意的只有图3 故选：D． 【点睛】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，熟练地掌握概念是解决本题的关键． 11. “樱云织诗笺少年拾春行”，2025年3月，昆明市第三中学举办“樱”为有你春日校园创意文化活动．小明随机调查了学校30名初中同学制作书笺的数量，数据如下表所示： 人数 书笺数量（张） 则制作书笺数量的中位数和众数分别是（ ） A. 4，10 B. 2，4 C. 4，4 D. 3，4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，根据中位数和众数的定义求解即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：第和第个数据分别为和 则中位数是： 出现的次数最多，则众数是 故选：D． 12. 若有一组按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式的规律探索，根据前几个多项式找到规律是解题的关键； 根据前几个多项式的构成可以发现：第个多项式的第1项是，第2项是，即可得到答案. 【详解】解：因为第1个多项式是， 第2个多项式， 第3个多项式是， 第4个多项式是， …， 可以发现：第个多项式的第1项是，第2项是， 则第个多项式是； 故选：C. 13. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 14. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理可得，再由余弦的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 15. 如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，圆周角定理；连接，．根据圆内接四边形对角互补可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ， ， 故选：D 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的方法步骤，注意分解要彻底． 17. 云南省曲靖市罗平县是闻名全国的“油菜花之乡”，这里盛产的油菜花菜在国内外都享有盛誉．某农科院培育了甲、乙、丙三个品种的油菜花，统计近三年这三个品种油菜花的亩产量平均数和方差如表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 505 520 520 方差 5.5 5.5 7.8 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择_______品种（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了平均数与方差的运用，理解平均数，方差表示的意义是关键． 根据平均数判定选择乙、丙，再根据方差选择乙即可． 【详解】解：∵甲的平均数小于乙、丙， ∴选择乙、丙， ∵乙的方差小于丙的方差，即乙的稳定性比甲的稳定性好， ∴应选择乙品种， 故答案为：乙 ． 18. 妈妈生日快到了，小明想亲手制作一个圆锥形的生日帽送给妈妈．经测量，要制作的生日帽底面直径为，母线长为，则制作这个生日帽最少需要材料______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥展开图是扇形，结合扇形面积公式直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵生日帽底面直径为，母线长为， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查圆锥展开图侧面是扇形及扇形公式：． 19. 如图， 已知，的垂直平分线交于点D，则_______ 度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质， 先根据“等边对等角”求出，再根据线段垂直平分线的性质得，然后结合“等边对等角”求出，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30． 三、解答题（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根的定义、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别运算，再相加减即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 平行线的性质，由线段的和差关系可得出，由平行线的性质可得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∵ ∴ 在和中， ∴． 22. 随着中国网民规模突破亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使伽瑶，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？ 【答案】原计划平均每天制作个摆件． 【解析】 【分析】设原计划平均每天制作个，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原计划平均每天制作个，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作个摆件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 23. 为推进开展学校科学教育，某校组织学生开展了“科技创新月”活动，计划进行以下四项实验活动：A：马德堡半球；：塑料袋火箭；：色彩爆炸；D：火山爆发（要求全校学生都必须参加）．张老师将代表这四项实验活动的字母A、B、C、D分别写在四个大小相同的小球上，并将小球装在不透明的布袋中，参加活动的同学从布袋中随机摸出一个小球并记下小球上的字母，然后将小球放回，再去做对应的实验．甲抽到的实验结果记为，乙抽到的实验结果记为． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校参加活动的甲、乙两名同学所做的实验恰好相同的概率． 【答案】（1）图见解析，16种； （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率及简单的概率计算，理解题意是解题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及计算甲、乙两名同学所做实验恰好相同的概率，先统计符合条件的可能数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果； 【小问2详解】 解：由树状图可知，该校参加活动的甲、乙两名同学所做的实验恰好相同的结果有4种， ∴该校参加活动的甲、乙两名同学所做的实验恰好相同的概率为． 24. 如图，平行四边形的周长为，的平分线交边于点，交对角线于点，点在上，，过点作于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质得出，证明，可得四边形ABFE是平行四边形，根据进而根据菱形的判定得出即可； （2）延长交于点，根据已知求得，进而证明，根据相似三角形的高之比等于相似比，进而得出，再根据菱形的性质求得面积，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，即， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形； ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的面积为 25. 某智慧社区计划推广垃圾分类，需采购两种智能设备，智能垃圾桶（T 型）：自动分类 可回收物；垃圾分拣机器人（R 型）：精准分拣有害垃圾．若购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；若购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元． （1）求每台T 型设备和每台R 型设备的单价； （2）若社区需采购两种设备共20台（均需采购），且T型设备数量不超过R型数量的， 为 使总费用最低，应分别采购T 型和R 型设备多少台?最低总费用为多少元? 【答案】（1）每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元 （2）采购 T 型 设 备 5 台 和 R 型 设 备 15 台 时 ， 总 费 用 最 低 ， 为 9250元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组，不等式组和函数关系式是解题的关键． （1）设每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元，根据购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元建立方程组求解即可； （2）设购买R 型设备台，则购买T型设备台，总费用为W元，根据题意列出W关于m的一次函数关系式，再根据T型设备数量不超过R型数量的，列出不等式组求出m的取值范围，最后根据一次函数的现在求解即可． 【小问1详解】 解：设每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元， 由题意得， 解得， 答：每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买R 型设备台，则购买T型设备台，总费用为W元， 由题意得， ∵T型设备数量不超过R型数量的，  ∴， ∴，且m为整数， ∵， ∴W随m增大而增大， ∴当时，W有最小值，最小值为，此时， 答：采购 T 型 设 备 5 台 和 R 型 设 备 15 台 时 ， 总 费 用 最 低 ，最低 为 9250元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为，点，点，点． （1）若抛物线经过点，，，求抛物线的表达式． （2）对于抛物线，若，，．当抛物线与线段有且只有一个公共点时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出抛物线的顶点坐标为，再分三种情况：当抛物线的顶点在线段上时；当抛物线经过点时；当抛物线经过点时；分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：将，，代入，得， 解得． 该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：对于抛物线，若，， ，则抛物线． 抛物线的顶点坐标为． ①当抛物线的顶点在线段上时， 可得． ．此时抛物线的顶点坐标为，即点； ②当抛物线经过点时， 可得， 解得，． 又抛物线与线段有且只有一个公共点， ； ③当抛物线经过点时， 可得， 解得，． 又抛物线与线段有且只有一个公共点， ． 综上所述，的取值范围是或． 27. 如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点，交于点，连接，过点作，交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求的值； （3）证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，角平分线的定义得到，再利用圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）延长至点，使得，连接、，利用圆内接四边形得到，证明，再证明是等腰直角三角形，即可求解； （3）连接，证明，推出，再证明，得到，即可证明． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 为的直径， ． 是的平分线， ， ， ， ， ， 为半径， 直线是的切线； 【小问2详解】 解：延长至点，使得，连接、，如图， 是的平分线， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ，  在和中， ， ，， 是直径， ， ， 即：， 是等腰直角三角形， ． ， ． 【小问3详解】 证明：连接，如图， 是的平分线， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，圆的切线的判定定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $