精品解析：江西省九江第一中学2025-2026学年八年级下学期数学第二次阶段测试试题

九江一中2025－2026学年八年级下学期第二次月考数学试题练习 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此判断即可． 【详解】解：A、的右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、的右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、的右边不是整式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或除以不为零的数或整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A．分式的分子分母同时减去一个数，所得的分式与原分式的值不一定相等，故 错误； B． 分式的分子分母同时除以同一个不为0的数时，分子分母的各项都要除，故错误； C． 分式的分子分母同时平方后，所得的分式与原分式的值不一定相等，故错误； D． 由分式的左边可得，故分式的分子分母同除以a，分式的值不变，故，正确． 故选：D． 3. 若不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则符合该解集的不等式组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴得到不等式组的解集，再根据不等式的性质，解出各选项中不等式组的解集，最后进行比较即可． 【详解】解：根据数轴上解集的表示方法得到关于x的不等式组的解集为， A、，此不等式组无解，不符合题意； B、，解集为：，符合题意； C、，解集为：，不符合题意； D、，解集为：，不符合题意 ． 4. 在平面直角坐标系中，将点A先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标平移规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，列等式求解即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点， ∴横坐标：，解得， 纵坐标：，解得， ∴点的坐标为． 5. 岩石会“说话”，山川有“韵律”，大自然中蕴涵着无尽的秘密，吸引着热爱研学的重庆一中的师生们走进其中一探究竟．甲、乙两同学分别从距离活动地点千米和千米的两地同时出发参加活动，甲同学的速度是乙同学速度的1.5倍．乙同学比甲同学提前分钟达到活动地点．若假设乙同学的速度是千米/小时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意并找准等量关系，正确列出分式方程是解题关键． 设乙同学的速度是千米/小时，则甲同学的速度为千米/小时，根据题意乙同学比甲同学早到分钟列出方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是千米/小时，则甲同学的速度为千米/小时， 甲同学所花时间为小时，乙同学所花时间小时， 乙同学比甲同学提前分钟小时达到活动地点， 得：． 故选：B． 6. 已知，，设，，结论Ⅰ：当时，；结论Ⅱ：当时，，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( ) A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【解析】 【分析】先将M、N式分别通分合并，再根据结论Ⅰ、Ⅱ的情况解答． 【详解】解：， ， 结论Ⅰ：当时，观察M、N两式，分母一样，对于分子， ， ， M、N的分子、分母是一样的， ， 故结论Ⅰ正确． ， ， 结论Ⅱ：， 原式， ，， ， ， ， ， 故结论Ⅱ正确． 故选：A． 【点睛】本题考查代数式的化简运算，要注意运算关系和顺序，合理利用题中给出的结论，正确化简是解答本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 代数式有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据“二次根式被开方数为非负数，分式的分母不为0”列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：且． 8. 如图，已知，交于点，则时的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 把代入求解，得出点的坐标，根据图象，在点及其右侧时，，得出的取值范围即可． 【详解】解：∵，交于点， ∴把代入得：， 解得：， ∴点的坐标为， ∴由图象得：在点及其右侧时，的图象在的图象的上方，即， ∴时的取值范围为， 故答案为：． 9. 已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC一定是_____三角形． 【答案】等腰 【解析】 【分析】先把等式左边进行因式分解可化为(a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b），移项提取公因式可得（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，根据三角形三边之间的关系两边之和大于第三边，可得a﹣b＝0，即可得出答案． 【详解】解：由a2﹣b2＝c（a﹣b）， （a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b）， （a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， （a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∵三角形两边之和大于第三边，即a+b＞c， ∴a+b﹣c≠0， ∴a﹣b＝0，即a＝b， 即△ABC一定是等腰三角形． 故答案为：等腰． 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系及因式分解，合理利用因式分解进行计算是解决本题的关键． 10. 如图，与关于点成中心对称，若，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称的性质可得点是和的中点，从而求出的长，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而求出的长； 【详解】解：与关于点成中心对称，  点是和的中点， ， ， ， ， 是直角三角形， 在直角三角形中， ， 由勾股定理得：，  ． 11. 观察下列分式：，，，，…（其中，），用任意一个分式除以它前面一个分式得到的结果是_____，根据规律，请写出第2026个分式_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先计算后一个分式除以前一个分式，得出第一个空的结果，再分别从符号，分子的次数，分母系数，分母的次数四个维度总结第个分式的规律，将代入规律得到第2026个分式； 【详解】解：计算任意分式除以它前面一个分式：取第二个分式除以第一个分式：， 验证第三个分式除以第二个分式：， ∴任意一个分式除以它前面一个分式的结果为； 第个分式（为正整数）的规律：第个分式的符号为，分子部分：的次数为，分母部分：系数为，的次数为， ∴第个分式可表示为， ∴第2026个分式为． 12. 如图，在中，，，，是边上的点，将绕点逆时针旋转，使得点落在直线上的点处．若的垂直平分线经过一边的中点，则的长为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先求出，，由旋转可知，，，分三种情况：①当的垂直平分线经过的中点时，②当的垂直平分线经过的中点时，③当的垂直平分线经过的中点时，根据线段垂直平分线的性质和解直角三角形求解即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 由旋转可知，，， ， ①当的垂直平分线经过的中点时，连接， ，， ， ， ，， ； ②当的垂直平分线经过的中点时，，令垂直平分线与交于点，连接， 由垂直平分线的性质可知，， ， ，， ， 是等边三角形， ， 过点作于点，则四边形是矩形， ， ， ， ； ③当的垂直平分线经过的中点时，，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相关知识并分类讨论． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先统一分母，再合并计算； （2）先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分即可得到结果； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：   ． 14. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分式方程两边同乘去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验根是否使原方程分母不为零，即可得到原方程的解； （2）先整理方程，再将分式方程两边同乘去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验根是否使原方程分母不为零，即可得到原方程的解； 【小问1详解】 解：， 两边同乘去分母得：， 展开得， 移项合并得， 检验：当时， ， 因此是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 整理方程得， 两边同乘去分母得： ， 整理得， 移项合并得， 检验：当时，， 因此是原方程的解． 15. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E． （1）求证：∠C＝∠CDE． （2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，平行线的性质即可得证； （2）根据等边三角形的判定定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE∥AB， ∴∠CDE＝∠B， ∴∠C＝∠CDE； 【小问2详解】 △DEC是等边三角形， 理由：∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠A＝60°， 由（1），△DEC是等腰三角形， ∴△DEC是等边三角形． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形性质和判定以及平行线的性质，得出△DEC是等腰三角形是解题关键． 16. 先因式分解，再计算求值：，其中，． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先利用互为相反数的平方相等变形，提取公因式完成因式分解，再代入、的值计算即可． 【详解】解：  ， 把，代入得， 原式 ． 17. 关于x的方程：－＝1. (1)当a＝3时，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求a的值． 【答案】（1）x＝－2；（2）a＝－3. 【解析】 【分析】（1）将a=3代入,求解－＝1的根,验根即可, （2）先求出增根是x＝1，将分式化简为ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值. 【详解】解：(1)当a＝3时，原方程为－＝1, 方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1， 解这个整式方程得x＝－2， 检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0， ∴x＝－2是原分式方程的解． (2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1， 若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1， 将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3. 【点睛】本题考查解分式方程,属于简单题,对分式方程的结果进行验根是解题关键. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． （1）请你判断29是否为“完美数”； （2）已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【答案】（1）是 （2）时，为“完美数”，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用 （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用完全平方公式，将配成完美数，可求的值， 【小问1详解】 解：， 是完美数， 【小问2详解】 解：时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴，也是整数， ∴当，即，是完美数． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先利用分式运算法则化简所求代数式，再根据已知等式结合分式有意义的条件确定的值，最后代入计算得到结果； 【详解】解： ， ∵ ， ∴或 ， ∵分式有意义，分母和除式均不为， ∴ 且， ∴ ， 将 代入化简后的式子，得原式 ． 20. 阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”； 第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： （1）将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； （2）若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【答案】（1） （2）图见解析，，，，16 【解析】 【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可； （2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可． 【小问1详解】 解：，常数项， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，常数项， 画“十字图”如下： ，，，16． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 深圳市高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的倍，通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时． （1）求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车？ （2）如果高速收费站一共有10条收费通道，请问至少要开通多少条通道才能在早高峰2个小时的时间段内通过5000辆车？ 【答案】（1）人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车． （2）至少要开通8条通道 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车，根据通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时建立方程求解即可； （2）设开条通道，则开条人工收费通道，根据2个小时的时间段内要至少通过5000辆车建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车． 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的根，且符合题意， ∴， 答：人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车． 【小问2详解】 解：设开条通道，则开条人工收费通道． 根据题意得： 解得：． ∵为整数， ∴的最小值是8． 答：至少要开通8条通道． 22. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，，则8，16，24这三个数都是“奇特数”． （1）按照上述规律，设两个连续正奇数为，（其中n为正整数），试说明它们的平方差是8的倍数； （2）如图所示，拼接的正方形边长是从1开始的连续正奇数，按此规律拼叠到正方形，其边长为43，求阴影部分的总面积． 【答案】（1）解： ， ∵n为正整数， ∴是8的倍数， 即两个连续正奇数为，（其中n为正整数），它们的平方差是8的倍数； （2） 解： ． 【解析】 【分析】（1）根据题意，运用平方差公式计算即可； （2）根据题意得到，结合平方差公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 三、解答题（本大题共12分） 23. 【阅读理解】 （1）如图1，等边内有一点，若，求的度数． 将绕顶点旋转至处，得，可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程． 【基本运用】 （2）请你利用第（1）题的解答方法，解答问题： 如图2，中，为上的点，且，，求的长． 【能力提升】 （3）如图3，在中，，点为内一点，连接则的最小值是 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可以得到边相等角相等，再利用相等的边证明三角形全等，最后进行等边转化，进而求出的长； （3）根据旋转的性质可以得到等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求出当四点共线的时候的值最大，最后根据勾股定理即可得到值． 【详解】（1）解：∵由旋转的性质可知 ∴，， ∴ ∴为等边三角形，， ∴ ∴是直角三角形 ∴ （2）解：如图所示，把绕点逆时针旋转得到 由旋转的性质可知，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在和中 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴由勾股定理： ∴ ∵， ∴ （3）解： ∵在中，，， ∴ ∴ ∵绕点顺时针方向旋转 ∴如图所示 ∴ ∵，， ∴ ∵绕点顺时针方向旋转，得到 ∴，， ∴是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∴当四点共线，的值最小 在中 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了几何变换综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，利用旋转构造全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江一中2025－2026学年八年级下学期第二次月考数学试题练习 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则符合该解集的不等式组为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点A先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 岩石会“说话”，山川有“韵律”，大自然中蕴涵着无尽的秘密，吸引着热爱研学的重庆一中的师生们走进其中一探究竟．甲、乙两同学分别从距离活动地点千米和千米的两地同时出发参加活动，甲同学的速度是乙同学速度的1.5倍．乙同学比甲同学提前分钟达到活动地点．若假设乙同学的速度是千米/小时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知，，设，，结论Ⅰ：当时，；结论Ⅱ：当时，，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( ) A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 代数式有意义，则x的取值范围为_____． 8. 如图，已知，交于点，则时的取值范围为__________． 9. 已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC一定是_____三角形． 10. 如图，与关于点成中心对称，若，，，则的长为_____． 11. 观察下列分式：，，，，…（其中，），用任意一个分式除以它前面一个分式得到的结果是_____，根据规律，请写出第2026个分式_____． 12. 如图，在中，，，，是边上的点，将绕点逆时针旋转，使得点落在直线上的点处．若的垂直平分线经过一边的中点，则的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 解下列方程： （1）； （2）． 15. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E． （1）求证：∠C＝∠CDE． （2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由． 16. 先因式分解，再计算求值：，其中，． 17. 关于x的方程：－＝1. (1)当a＝3时，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求a的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． （1）请你判断29是否为“完美数”； （2）已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 19. 已知，求代数式的值． 20. 阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”； 第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： （1）将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； （2）若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 深圳市高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的倍，通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时． （1）求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车？ （2）如果高速收费站一共有10条收费通道，请问至少要开通多少条通道才能在早高峰2个小时的时间段内通过5000辆车？ 22. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，，则8，16，24这三个数都是“奇特数”． （1）按照上述规律，设两个连续正奇数为，（其中n为正整数），试说明它们的平方差是8的倍数； （2）如图所示，拼接的正方形边长是从1开始的连续正奇数，按此规律拼叠到正方形，其边长为43，求阴影部分的总面积． 三、解答题（本大题共12分） 23. 【阅读理解】 （1）如图1，等边内有一点，若，求的度数． 将绕顶点旋转至处，得，可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程． 【基本运用】 （2）请你利用第（1）题的解答方法，解答问题： 如图2，中，为上的点，且，，求的长． 【能力提升】 （3）如图3，在中，，点为内一点，连接则的最小值是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $