精品解析：江西省九江市2025--2026学年度八年级下学期阶段性评估二数学试卷

2025—2026学年度八年级下学期阶段评估（二） 数学 ▶下册第一章～第五章第2节◀ 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列交通标识既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 单行路 B. 禁止驶入 C. 环岛行驶 D. 连续弯路 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 2. 分式有意义，x需要满足的条件是（ ） A. B. C. ，且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，依据“分式有意义时分母不为0”这一性质求解即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0 ∴对于分式，需满足 ∴ 故选：D． 3. 若，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式的基本性质：1、不等式两边同时加上或者减去相同的数，不等式的符号不变；2、不等式两边同时乘上或者除以相同的正数，不等式的符号不变；3、不等式两边同时乘上或者除以相同的负数，不等式的符号改变；据此进行逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴ ，故该选项不符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵ ，∴，原结论不成立，故该选项符合题意； D、∵，∴，则，故该选项不符合题意； 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解定义（因式分解要求结果为几个整式的乘积形式）以及平方差公式，完全平方公式等知识内容，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、等式本身成立，但右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若将线段平移至的位置，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过点A与点的纵坐标变化，求出平移的纵坐标变化量；再通过点B与点的横坐标变化，求出平移的横坐标变化量；利用该变化量，分别求出，的值，再求得不等式的解集，即可求解． 【详解】解：点的坐标为， 线段向下平移了一个单位长度， 点的坐标为， 线段向左平移了3个单位长度， ，， 不等式为 解得： 解集在数轴上表示: 6. 如图，将一个正五边形和一个正六边形的底边放在直线上，且为它们的公共顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出正五边形和正六边形的一个内角的度数和一个外角的度数，根据三角形的内角和定理以及周角的定义，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简______. 【答案】. 【解析】 【分析】约去分子与分母的公因式即可. 【详解】. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了分式的约分，解题的关键是把分式化成最简分式. 8. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 9. 若，则的值为_____． 【答案】##0.2 【解析】 【详解】解：设，则，其中，代入，得 10. 图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】理解题意，由大正方形的面积小正方形的面积图2的图形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：依题意，图1的图形的面积=大正方形的面积小正方形的面积， 图2的图形的面积， 故． 11. 一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要____小时． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了分式除法的应用，甲单独做一小时可完成工程总量的，乙单独做一小时可完成工程总量的，二人合作一小时可完成工程总量的．工程总量除以二人合作一小时可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需时间． 【详解】解：设该工程总量为1，二人合作完成该工程所需小时． 故答案为：． 12. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在第一象限内且落在一次函数的图象上，轴于点．动点在轴上运动，连接，．当为等腰直角三角形时，的长为_____． 【答案】4或或3 【解析】 【分析】先求出点坐标，再分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， 设， ∵轴， ∴， 当为等腰直角三角形时，分3种情况： ①时，则轴，， ∴，，解得， ∴， ∴， ∴； ②当时，则与点重合，，解得， ∴； ③当时，则，即点在的中垂线上，， 设的中点为，则，即， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为4或或3. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成各题 （1）因式分解：． （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． （2）根据分式的减法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 如图，这是某品牌感冒口服液的部分说明书．若王大婶感冒期间严格按照说明书上用法用量进行口服，求王大婶平均一次服用这种药品的剂量的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组，并求解即可． 【详解】解：由图可知，每天的用量为，分次服用， ∴单次最小用量为每天次，共计；单次最大用量为每天次，共计， ∴， 解得． 答：王大婶平均一次服用这种药品的剂量的取值范围为． 15. 已知分式． （1）若分式的值为0，则的值为_____． （2）若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2）且 【解析】 【分析】（1）根据分式为0，得出分母不为0，分子为0进行列式计算，即可作答． （2）根据分式的值为正数，得出，，再解得且，即可作答． 【小问1详解】 解：∵分式的值为0， ∴， ∴，， 即若分式的值为0，则的值为2； 【小问2详解】 解：∵分式的值为正数， ∴分式有意义， ， ， 分式的值为正数， ， ， 且． 16. 试利用因式分解说明：能被24整除． 【答案】见解析 【解析】 【详解】解： ． 为整数， 能被24整除． 17. 如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格，点，均在格点上．直线，为河流的两岸，且与网格线重合．（请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹） （1）在图1中的直线上找一点，使得最短． （2）在图2中河流上搭建一座天桥，要求天桥与河流两岸互相垂直，且使得由点到点的路线最短． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作点关于直线的对称点；连接，与直线的交点即为所求的点；此时，根据“两点之间线段最短”，取得最小值． （2）将点沿垂直河流的方向向下平移2个单位，得到点，连接与，与河流下沿的交点即为天桥的一端；将点沿垂直河流的方向向上平移2个单位，得到点；连接与，与河流上沿的交点即为天桥的一端；则即为天桥位置． 【小问1详解】 解：如图，点为所求．（作法不唯一） 【小问2详解】 解：如图，线段为所求． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 下面是甲、乙两名同学解答一道数学题目的第一步做法． 先化简，再求值：，其中． 甲同学解：原式 …… 乙同学解：原式 （1）甲同学的依据是_____，乙同学的依据是_____．（填序号） ①分式的基本性质；②等式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． （2）请选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 【答案】（1）①；④ （2）甲，，1 【解析】 【小问1详解】 解：甲同学的依据是分式的基本性质，乙同学的依据是乘法分配律． 故答案为：①；④； 【小问2详解】 解：选择甲同学的做法： 原式 ． 当时，原式 ． 选择乙同学的做法： 原式 ． 当时，原式 ． 19. 小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． （1）请结合小逸同学的方法分解因式：． （2）已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）为等腰三角形，见解析 【解析】 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解 ，推出，即可得出结论. 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：为等腰三角形． 理由：． ，，是的三边长， ， ，即， 为等腰三角形． 20. 定义：对任意正实数，规定，例如，，……利用以上规律解答下列问题． （1）计算：_____． （2）对任意正实数，求出的结果． （3）计算：． 【答案】（1）1 （2）2 （3）4051 【解析】 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）先求出，再根据同分母的分式加法计算法则计算； （3）根据（2）得到的结论求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：由题意可得， ． 【小问3详解】 解： ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如，都是“假分式”；，都是“真分式”．“假分式”可以化为整式与“真分式”的和或差的形式．例如，． （1）已知式子：①；②；③；④．其中属于分式的是_____；属于“假分式”的是_____；属于“真分式”的是_____．（填序号） （2）若分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 【答案】（1）①③④；③；①④ （2）符合条件的整数的值是0，1，，2 【解析】 【分析】（1）根据分式的定义判断，根据假分式的定义，分子的次数大于或等于分母的次数的分式为假分式进行判断即可； （2）先把分式化为带分式的形式，然后问题即可求解． 【小问1详解】 解：式子：①；②；③；④． 其中属于分式的是①③④；属于“假分式”的是③；属于“真分式”的是①④； 【小问2详解】 解：． ∵分式的值为整数，为整数， ，均为整数， 或或或， ∴符合条件的整数的值是0，1，，2． 22. 如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 【小问1详解】 证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图1，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为，将绕点顺时针旋转，点为点旋转后的对应点，连接． （1）四边形_____（填“是轴对称”或“是中心对称”或“既是轴对称又是中心对称”）图形． （2）求点与点的坐标． （3）如图2，延长．将绕点顺时针旋转（）得到，线段与射线交于点．当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）既是轴对称又是中心对称 （2）点的坐标为，点的坐标为 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的特征，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，根据等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理进行求解即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，四边形既是轴对称又是中心对称图形． 【小问2详解】 解：如图1，过点作轴于点，过点作轴于点． 为等边三角形，点的坐标为， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 由旋转的性质可得， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：的长为或． 由（2）知，，， ， ． 由旋转得． 如图2，当时， ， ， ， ， ． 如图3，当时， ， 为等边三角形， ， ． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度八年级下学期阶段评估（二） 数学 ▶下册第一章～第五章第2节◀ 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列交通标识既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 单行路 B. 禁止驶入 C. 环岛行驶 D. 连续弯路 2. 分式有意义，x需要满足的条件是（ ） A. B. C. ，且 D. 3. 若，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若将线段平移至的位置，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将一个正五边形和一个正六边形的底边放在直线上，且为它们的公共顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简______. 8. 不等式组的解集为______． 9. 若，则的值为_____． 10. 图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 11. 一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要____小时． 12. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在第一象限内且落在一次函数的图象上，轴于点．动点在轴上运动，连接，．当为等腰直角三角形时，的长为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成各题 （1）因式分解：． （2）计算：． 14. 如图，这是某品牌感冒口服液的部分说明书．若王大婶感冒期间严格按照说明书上用法用量进行口服，求王大婶平均一次服用这种药品的剂量的取值范围． 15. 已知分式． （1）若分式的值为0，则的值为_____． （2）若分式的值为正数，求的取值范围． 16. 试利用因式分解说明：能被24整除． 17. 如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格，点，均在格点上．直线，为河流的两岸，且与网格线重合．（请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹） （1）在图1中的直线上找一点，使得最短． （2）在图2中河流上搭建一座天桥，要求天桥与河流两岸互相垂直，且使得由点到点的路线最短． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 下面是甲、乙两名同学解答一道数学题目的第一步做法． 先化简，再求值：，其中． 甲同学解：原式 …… 乙同学解：原式 （1）甲同学的依据是_____，乙同学的依据是_____．（填序号） ①分式的基本性质；②等式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． （2）请选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 19. 小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． （1）请结合小逸同学的方法分解因式：． （2）已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 20. 定义：对任意正实数，规定，例如，，……利用以上规律解答下列问题． （1）计算：_____． （2）对任意正实数，求出的结果． （3）计算：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如，都是“假分式”；，都是“真分式”．“假分式”可以化为整式与“真分式”的和或差的形式．例如，． （1）已知式子：①；②；③；④．其中属于分式的是_____；属于“假分式”的是_____；属于“真分式”的是_____．（填序号） （2）若分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 22. 如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求证：． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图1，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为，将绕点顺时针旋转，点为点旋转后的对应点，连接． （1）四边形_____（填“是轴对称”或“是中心对称”或“既是轴对称又是中心对称”）图形． （2）求点与点的坐标． （3）如图2，延长．将绕点顺时针旋转（）得到，线段与射线交于点．当为直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $