一次函数与反比例函数综合题 高频考点必刷题 2026年中考数学复习备考

**基本信息** 聚焦一次函数与反比例函数综合应用，以待定系数法、数形结合为核心，构建从解析式求解到几何综合的递进式训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心方法|1-5题|待定系数法求解析式、数形结合比较函数值|概念生成（函数定义→交点坐标）| |综合应用|6-10题|面积计算（分割/坐标法）、图形变换（平移）|原理推导（坐标关系→面积公式）| |拓展提升|11-15题|存在性问题（分类讨论）、相似三角形（推理证明）|应用拓展（几何性质→代数表达）|

一次函数与反比例函数综合题 高频考点必刷题 2026年初中数学中考复习备考 1．一次函数与反比例函数，交于点和点，过点A作轴，垂足为C． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． (3)直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围． 2．一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，过点M作x轴的垂线，交一次函数的图象于点，结合图象，写出，的大小关系． 3．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的反比例图像上有一点，使得，请求出点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的自变量x的取值范围； (3)如图2，将一次函数的图象沿y轴向上平移t个单位长度后，与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D，若点C的纵坐标为，求t的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出一次函数值小于反比例函数值时的取值范围． 6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点．以为边在左侧作正方形． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 8．如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)已知点，观察图象，不等式的解集为______； (3)点D在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．求的面积． 9．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函最的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为． （1）求该反比例函数解析式； （2）当面积为4时，求点的坐标； （3）在（2）的情况下，直线过线段上一点，求的取值范围． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点D，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的关系式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将直线向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，且的面积为18，求平移后直线的关系式． 12．如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．    (1)求一次函数与反比例函数表达式． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求上述反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 14．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数第三象限图象上一点，过点作直线交轴于点． ①若直线与反比例函数的图象只有一个交点，连接，，求的面积； ②是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．(1)， (2)12 (3)或 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用： （1）把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出，再根据三角形的面积公式求出即可； （3）直接观察图象，即可求解． （1）解：把点代入，得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入，得：， ∴点， 把点，点代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵点，轴， ∴， ∴的面积为； （3）解：观察图象得：当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值， 即一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围为或． 2．(1)， (2)当时，； 当时，； 当时， （1）直接代入即可求解； （2）根据一次函数、反比例函数的表达式画出函数图象，标出M、N点的各种情况的位置，数形结合即可求解． （1）解：将点分别代入、，得：， 解得，， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为（）； （2）由（1）知，一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为（），画出函数图象，如图， 观察图象可得： 当时，， 当时，； 当时，． 3．(1)， (2) （1）先将点的坐标代入反比例函数的解析式求出，从而求出反比例函数的解析式，最后将点的坐标代入解析式就可以求出的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由直线解析式求得、的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的纵坐标，进而求得点的坐标． （1）解：比例函数的图像过点， ， 在双曲线上， ， 一次函数的图像经过、两点， 解得： 一次函数的解析式； （2）在中，当时，；当时，则， ，， ∴， ， ， ， ， 由题意得：， 又点P在反比例函数图像上， 的坐标为． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积等，数形结合是解题的关键． 4．(1)， (2) (3) 本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）直接根据图象，进行求解即可； （3）先求出点坐标，平移，求出直线的解析式，进而求出点坐标，求出的长即为的值． （1）解：将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． 将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为． （2）由图象可知，当时，直接写出的自变量x的取值范围为：． （3）将代入，得， ∴点C的坐标为． ∵， ∴设直线的表达式为． 将代入，得，解得， ∴点D的坐标为． 又∵， ∴， ∴． 5．(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 (2) (3)或 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点． （1）由点A坐标确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式即可； （2）求出直线与x轴的交点坐标，再根据三角形的面积的计算方法进行计算即可； （3）根据两个函数图象的交点坐标得出答案． （1）解：将点代入反比例函数得， ， ∴反比例函数的关系式为； 把点代入反比例函数得， ， ∴点， 设直线的关系式为， ∴， 解得， ∴直线的关系式为， 即反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为； （2）解：当时，即， 解得， 即直线与x轴的交点坐标为， ∴； （3）解：由图象的交点坐标可知， 当或时，一次函数值小于反比例函数值． 6．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) 本题考查待定系数法求解析式，函数图象的交点，坐标系中三角形的面积． （1）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式．把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出m的值，得到反比例函数的表达式； （2）结合函数图象关于原点中心对称可知，根据求解即可． （1）解∶∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴，解得，     ∴一次函数的表达式为． ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：射线与反比例函数的图象交于点C， 结合函数图象关于原点中心对称可知， 过点作轴于点E，过点作轴于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴． 7．(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)点在反比例函数的图象上，理由见解析． (1)根据待定系数法求解即可； (2) 过点D作轴于点G，过点B作轴于点F，则．在中，当时，.进而求得，证明．得，，从而得．进而带入解析式即可判断． （1）解：把点，代入，得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得 ∴． 把分别代入， 得，解得： ∴一次函数的表达式为 （2）解：点在反比例函数的图象上 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点， 则． 在中，当时， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴ ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上 本题考查待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，以及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题关键． 8．(1)， (2)或 (3)4 （1）先将点代入求出值，再将求出的点坐标代入求解即可； （2）不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时交点的横坐标的取值范围； （3）先求出点坐标，即可求解，再由求解即可． （1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， 将点代入得，， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由题意得，一次函数图象与反比例函数图象交于点，， ∴由函数图象可得，不等式的解集为或 （3）解：将点的横坐标代入，则 ∴ ∵过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E， ∴点E横坐标为4， ∴将点E横坐标4代入得，， ∴， ∴， ∴． 9．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； (2)； (3)的面积为． （）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式，把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出的值，得到反比例函数的表达式； （）由与关于原点对称得到，然后根据图象即可求解； （3）由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点，然后根据求解即可． （1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵射线与反比例函数的图象交于点， ∴与关于原点对称， ∴， ∴根据图象可得，不等式的解集为； （3）解：由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 10．（1）；（2）(5，)；（3） （1）将点代入解析式计算即可 （2）利用点B的坐标表示三角形的面积列方程即可 （3）将A、B两点代入一次函数解析式即可得出 解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（1，2）    ∴k＝2 ∴反比例函数的解折式为：． （2）∵点B（m，n）的图象上，    ∴，即mn＝2， ∵， ∴m＝5 ∴ ∴B的坐标为（5，）． （3）将A（1，2），B（5，）分别代入y＝ax－1得：，， ∴a的取值范田为． 本题考查反比例函数的解析式、利用一次函数写比例系数的取值范围、利用三角形的面积列方程是关键．方程思想是常用的解题思路． 11．(1) (2) (3) 本题考查待定系数法反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的交点、一次函数平移问题、一次函数图象与反比例函数图象的综合判断，用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）把点代入求得点C坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）首先求出和时的函数值，然后判断出在第二象限内，y随x的增大而减小，进而求解即可； （3）设平移后的直线交y轴于点M，设点M坐标为，连接，由的面积为18，求得，再根据一次函数平移的性质即可求解． （1）解：设反比例函数解析式为， ∵直线图象经过点， ∴， ∴， 又∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵ ∴在第二象限内，y随x的增大而减小 ∴当时，； （3）解：设平移后的直线交y轴于点M，设点M坐标为，连接，如图， 则，即 ∴， ∴， ∴， ∴平移后直线解析式为． 12．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) (3)存在，，或，或或． 本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，勾股定理，分类讨论是解题的关键． （1）将代入的得，于是得到反比例函数的解析式为，将，代入解方程组即可得到结论； （2）过作轴于点，过作轴于点，得到，于是得到结论； （3）根据点与点关于原点对称，得到，设，①当时，②当时，③当时，根据勾股定理即可得到结论． （1）将代入的得， 反比例函数的解析式为， 将代入得， ， 将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）过作轴于点，过作轴于点   ，，，， 的面积四边形的面积的面积，梯形的面积四边形的面积的面积， 的面积梯形的面积； （3）延长交反比例函图象于点， 点与点关于原点对称， ， 设， ，，， ①当时，， ， 解得， ，或，； ②当时，， ， 解得， ； ③当时，， ， 解得， ， 综上所述，，或，或或． 13．(1)， (2) (3)或 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求两函数的解析式的应用． （1）将点的坐标代入反比例函数 ，求出，将点的坐标代入反比例函数求出，利用待定系数法确定一次函数解析式； （2）设与轴交于点，根据一次函数解析式得出，进而根据，进行计算即可． （3）找到一次函数图象在反比例函数图象之上的的取值范围即可． （1）解：将点代入，得：， 解得：， 则反比例函数解析式为：； 将点代入，得：，则 将点的坐标代入一次函数解析式，得： ，解得：， 故一次函数解析式为：． （2）解：设与轴交于点， 一次函数解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， ， ． （3）解：根据函数图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围为：或． 14．(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． （1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∴此时最大， 点关于轴的对称点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 15．(1)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：； (2)①；②存在，或 （1）将点代入，得出一次函数的表达式，先求出点坐标，再求反比例函数表达式即可得解； （2）①连接，设直线交轴于点，根据题意设出直线的解析式，进而联立反比例函数解析式，根据直线与反比例函数的图象只有一个交点，得出，，再求得直线的解析式，根据，即可求解； ②根据题意得出，分两种情况讨论，情形一：，情形二： ，根据相似三角形的性质进行分析，即可求解． （1）解：将点代入得， 解得： ∴一次函数的表达式为： 将代入 ∴ 解得：， ∴， 将代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：①解：如图，连接，设直线交轴于点， ∵直线 ∴设直线的解析式为 联立 ∴ 即 ∵直线与反比例函数的图象只有一个交点， ∴ 又∵ ∴ ∴直线的解析式为 当时， ∴ 设直线的解析式为 代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 当时 ∴ ∵ ∴ ②解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点 ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴与相似，点与点对应，分两种情况讨论， 情形一：， ∴ ∴ ∴ 设 ，则 ∴ ∴，代入 解得：（负值舍去） ∴ 情形二： ，则 过点作轴于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ，则 依题意， 解得： ∴, ∴ 综上所述：存在，或 学科网（北京）股份有限公司 $