精品解析：安徽卓越县中联盟2025-2026学年高二下学期5月学情调研数学试卷（B卷）

高二数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知A，B，C，D四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，，，则样本数据中变量间呈负相关且线性相关程度最强的是（ ） A. A组 B. B组 C. C组 D. D组 【答案】B 【解析】 【详解】当时，变量之间呈负相关；越接近于1，变量的线性相关程度越强. 由已知条件得，，，， 因此负相关的为A组、B组，排除C、D选项； 计算得，，可知更接近1，即B组的负相关线性程度最强. 2. 已知离散型随机变量X服从两点分布，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，则， 所以. 3. 由5，6，7组成的无重复数字的三位数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由5，6，7组成无重复数字的三位数，本质是3个不同元素的全排列，总个数为， 偶数的个位数字必须为偶数，三个数字中仅6是偶数，因此个位固定为6，剩余百位、十位由5、7排列，个数为， 根据古典概型概率公式，所求概率为. 4. 教育局为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从市一中的美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有50、20、30名学生，则不同的抽样结果共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分层随机抽样的等比例原则计算各兴趣小组抽取人数，再结合分步乘法计数原理计算不同抽样结果的组合数. 【详解】由题意可知，三个兴趣小组总人数为，抽样比为. 因此美术组抽取人数，音乐组抽取人数，舞蹈组抽取人数. 则不同的抽样结果共有. 5. 一袋子中有编号为1，2，3，4，5的5个相同的玩具，现每次随机取出一个玩具并记下其编号后放回，直到奇数编号的玩具一共出现8次时停止．设停止时共取了X次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，每次有放回取玩具，取到奇数编号的概率为，取到偶数编号的概率为，各次取玩具的结果相互独立. 事件等价于：前9次取玩具的过程中恰好有7次取到奇数，且第10次取到奇数. 前9次恰好有7次取到奇数的概率为，再乘以第10次取到奇数的概率， 所以. 6. 设，则的展开式中的系数为（ ） A. B. 96 C. D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】先将原式括号内的代数式化简为完全平方形式，转化为标准二项式后，利用二项展开式通项公式求解对应的系数即可. 【详解】因为，对括号内代数式变形得， 因此原式可化为. 根据二项式定理，的展开式通项为（，）， 则的展开式通项为 ， ​令的指数等于5，即，解得. 代入系数表达式得. 7. 某学校组织科技竞赛，现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，则不同的分配方法共有（ ） A. 540种 B. 450种 C. 360种 D. 90种 【答案】A 【解析】 【分析】先按每组人数的三类分配情况分别计算分组方法，再分配到三项不同工作，求和得到总方法数. 【详解】将6名指导教师分配到3项工作，每项至少1人，人数分配共三类： 人数为的分组：从6人中选4人作为一组，剩余2人各成一组，分组方法共种， 将3组分配到3项不同工作，有种分配方式，该类共种方法； 人数为的分组：从6人中选3人、剩余3人中选2人、最后1人各成一组， 分组方法共种，将3组分配到3项工作，有种分配方式， 该类共种方法； 人数为的分组：平均分成3组需消去重复，分组方法共种， 将3组分配到3项工作，有种分配方式，该类共种方法. 因此总分配方法数为种. 8. 已知数列：1，2，3，…，2026，从中任选三项组成一个新数列，则所有新数列中的最小项之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据任意三个不同项可组成个数列，再得出最小项之和结合组合数的性质计算求解. 【详解】由题知，任意三个不同项可组成个数列； 在所有递增的新数列中，以1为最小项的新数列有个， 以2为最小项的新数列有个，以3为最小项的新数列有个， ，以2024为最小项的新数列有个， 此时，所有新数列中的最小项之和为 . 所以所有新数列中的最小项之和为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则m的值可以为（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】AC 【解析】 【详解】已知， 则，，解得. 若，解得. 若，解得. 10. 已知X的分布列为 X 0 1 P a 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由分布列性质得，解得. 选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：期望， 故，错误； 选项D：由于， 则方差， 由方差性质，正确. 11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两张1号奖券，一张2号奖券和一张3号奖券；2号盒子内装有两张1号奖券，一张3号奖券；3号盒子内装有三张1号奖券，两张2号奖券．若第一次先从1号盒子内随机抽取1张奖券，将取出的奖券放入与奖券同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一张奖券，则下列说法错误的是（ ） A. 在第一次取到2号奖券的条件下，第二次取到1号奖券的概率为 B. 第二次取到3号奖券的概率为 C. 第二次取到2号奖券的概率为 D. 现将21个相同的玩偶放入这3个编号的盒子中，每个盒子至少分得一个玩偶的分法共有210种 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用全概率公式求解；对于D，相同元素的分配问题，利用隔板法即可求解. 【详解】记第一次抽到第号奖券的事件分别为，则有， 对于A，在第一次抽到2号奖券的条件下，将2号奖券放入2号盒子内，因此第二次抽到1号奖券的概率为，故A错误； 对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号奖券的事件分别为， 而两两互斥，和为，且， 记第二次抽到3号奖券的事件为， 则，故B正确； 对于C，记第二次在第号盒子内抽到2号奖券的事件分别为， 而两两互斥，和为，且， 记第二次抽到2号奖券的事件为， 则，故C错误； 对于D，将21个相同的玩偶放入这3个编号的盒子中，每个盒子至少分得一个玩偶的分法共有种不同的放法，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量X服从正态分布，且，则________ 【答案】## 【解析】 【详解】因为随机变量服从正态分布，其概率密度曲线关于直线对称. 由，可得对称轴，因此. 又已知，且连续型随机变量在单点处的概率为0， 故. 因此. 13. 某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司n名员工，通过专用系统进行综合评级得出优秀有3人，良好有a人，及格有b人，若从中任选两人则两人都是优秀的概率为．现从中任选3人，记其中优秀的人数为，则的期望________ 【答案】 ## 【解析】 【分析】先利用古典概型概率公式求出总员工数，再根据超几何分布的期望公式计算的期望. 【详解】从名员工中任选2人，共有种等可能的选法；其中2人均为优秀的选法共种. 由古典概型的概率公式可得，代入组合数表达式化简得. 因为，解得（负根舍去）. 为从6人中任选3人中的优秀人数，总体中优秀共3人，非优秀共人， 故服从参数为（总体容量）、（总体中优秀个体数）、（抽取样本量）的超几何分布. 由超几何分布的期望公式，代入参数得. 14. 设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得，， 令，得， 又，则的对称中心为，则， 则 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，． （1）求的通项公式； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 由(1)得. 则 由于，故，因此， 故得证. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式与等比中项性质，结合已知等式求出首项和公差，得到通项公式； （2）对通项裂项后用裂项相消法求和，再放缩证明不等式 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则. 因为成等比数列，所以，即，整理得. 因为，解得. 又由，所以，进而.解得. 因此的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 已知，其中，，，，且的展开式中各二项式系数的和为256． （1）求n的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值． 【答案】（1） ，二项式系数最大项为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和为的性质列方程求，再根据偶数次二项展开式中二项式系数最大项为中间项计算对应项； （2）采用赋值法分别求出常数项和所有项的系数和，两式作差得到所求系数和. 【小问1详解】 二项展开式的所有二项式系数之和为，由题意得，解得（）. 因为为偶数，故展开式中二项式系数最大的项为第项. 由二项展开式通项公式（），得 . 【小问2详解】 由（1）知，. 令，代入原式得，解得. 令，代入原式得，即 . 因此. 17. 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点． （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据．完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关； 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 40岁及以上 60 100 总计 200 （2）某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入x（亿元）与经济收益y（亿元）的数据，统计如下： 研发投入x/亿元 1 2 3 4 5 经济收益y/亿元 2.5 4 6.5 9 10.5 依据表中统计数据，求出y关于x的经验回归方程并预测研发投入8亿元时的经济收益． 参考数据：，． 参考公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 经验回归方程的斜率，截距． 【答案】（1） 2×2列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 能认为选择新能源汽车与年龄有关； （2） 经验回归方程为 ，预测研发投入8亿元时的经济收益为17亿元. 【解析】 【分析】（1）先补全2×2列联表，计算卡方统计量后与对应的临界值比较，判断两个变量是否独立； （2）利用给定参考数据计算回归系数，得到经验回归方程后代入求解预测值. 【小问1详解】 40岁以下选择传统汽车的人数为，总计100； 40岁及以上选择新能源汽车的人数为； 总计选择新能源汽车人数为，选择传统汽车人数为. 补全2×2列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 提出零假设：选择新能源汽车与年龄无关。 代入卡方公式计算得 ，由于， 根据小概率值的独立性检验，拒绝，即能认为选择新能源汽车与年龄有关. 【小问2详解】 由题给参考数据可知斜率 ， 样本均值，， 截距 . 故关于的经验回归方程为 . 将代入回归方程得 ， 即预测研发投入8亿元时经济收益为17亿元. 18. 目前中国数字经济已进入快速发展阶段，传统产业数字化转型不断加快．数据显示，成本、市场、产能是企业进行数字化转型的核心驱动因素，现统计300家想进行数字化转型的企业，把成本、市场、产能分别作为首要因素的企业数占比分别为，，． （1）若从把成本、市场、产能分别作为首要因素的企业中分别抽取6家，4家，2家参加座谈会，再从这12家企业中随机抽取4家进行发言，求选到的4家企业中至少有2家把成本作为首要因素，且恰有1家把产能作为首要因素的概率； （2）将这300家企业中把成本、市场、产能分别作为首要因素的企业数占比作为所有想进行数字化转型的企业中把成本、市场、产能分别作为首要因素的占比． （ⅰ）从所有想进行数字化转型的企业中随机抽取11家，记把市场作为首要因素的企业数为Y，求Y的期望和方差； （ⅱ）从所有想进行数字化转型的企业中随机抽取3家，记抽取的把成本、市场分别作为首要因素的企业数差的绝对值为X，求X的分布列及期望． 【答案】（1） （2）（ⅰ），； （ⅱ）随机变量X的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可； （2）（ⅰ）利用二项分布期望与方差公式即可求解；（ⅱ）利用多项式分布求得分布列，进而可求得期望. 【小问1详解】 从12家企业中抽取4家共有种不同的抽法， 第一类：抽到的4家企业中恰有2家把成本作为首要因素， 恰有1家把产能作为首要因素的企业有种抽法， 第二类：抽到的4家企业中恰有3家把成本作为首要因素， 恰有1家把产能作为首要因素的企业有种抽法， 故选到的4家企业中至少有2家把成本作为首要因素，且恰有1家把产能作为首要因素的企业有种抽法， 所以选到的4家企业中至少有2家把成本作为首要因素，且恰有1家把产能作为首要因素的概率为； 【小问2详解】 （ⅰ）每家企业把市场作为首要因素的概率为， 抽取11家企业，随机变量，所以， ； （ⅱ）的取值为， ， ， ， ， 所以随机变量X的分布列为： 0 1 2 3 所以. 19. 已知函数在点处的切线为． （1）若时，与x轴平行，求a的值； （2）若在处取得极大值，求a的取值范围； （3）过点A的直线与垂直，当，都与x轴相交时，交点的横坐标分别是，．若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1求导得，由已知可得，求解即可. （2）由（1）知，令，解得或，若在处取得极大值，则左侧，，右侧..因为恒成立，令，分情况讨论得出的取值范围. （3）当时，求导得，由题知过点的直线与垂直，且都与轴相交，则切线，的斜率存在且不为0，所以的斜率切线的斜率，垂直于的切线的斜率，所以，，代入并化简计算可得其范围. 【小问1详解】 已知， 求导得， 当时，直线与x轴平行，即 ， 解得. 【小问2详解】 由（1）知，令，解得或. 若在处取得极大值，则左侧，右侧. 因为恒成立，令， 则当时，开口向上，要使左侧，右侧， 则，解得， 当时，只有唯一解，在此处取极小值，不符合题意； 当时，开口向下，要使左侧，右侧， 则需满足， 因为，故，所以显然不成立. 综上，若在处取得极大值，需满足， 所以a的取值范围. 【小问3详解】 当时，，. 由题知过的切线与轴相交，交点的横坐标是，且， 则，的斜率存在且不为0. 所以切线的斜率， 垂直于的直线的斜率. 所以，. 所以， 因为 ， 当时，， 当时，， 所以的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知A，B，C，D四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，，，则样本数据中变量间呈负相关且线性相关程度最强的是（ ） A. A组 B. B组 C. C组 D. D组 2. 已知离散型随机变量X服从两点分布，满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 由5，6，7组成的无重复数字的三位数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 教育局为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从市一中的美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有50、20、30名学生，则不同的抽样结果共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 一袋子中有编号为1，2，3，4，5的5个相同的玩具，现每次随机取出一个玩具并记下其编号后放回，直到奇数编号的玩具一共出现8次时停止．设停止时共取了X次，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的展开式中的系数为（ ） A. B. 96 C. D. 48 7. 某学校组织科技竞赛，现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，则不同的分配方法共有（ ） A. 540种 B. 450种 C. 360种 D. 90种 8. 已知数列：1，2，3，…，2026，从中任选三项组成一个新数列，则所有新数列中的最小项之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则m的值可以为（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 8 10. 已知X的分布列为 X 0 1 P a 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两张1号奖券，一张2号奖券和一张3号奖券；2号盒子内装有两张1号奖券，一张3号奖券；3号盒子内装有三张1号奖券，两张2号奖券．若第一次先从1号盒子内随机抽取1张奖券，将取出的奖券放入与奖券同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一张奖券，则下列说法错误的是（ ） A. 在第一次取到2号奖券的条件下，第二次取到1号奖券的概率为 B. 第二次取到3号奖券的概率为 C. 第二次取到2号奖券的概率为 D. 现将21个相同的玩偶放入这3个编号的盒子中，每个盒子至少分得一个玩偶的分法共有210种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量X服从正态分布，且，则________ 13. 某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司n名员工，通过专用系统进行综合评级得出优秀有3人，良好有a人，及格有b人，若从中任选两人则两人都是优秀的概率为．现从中任选3人，记其中优秀的人数为，则的期望________ 14. 设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算：________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，． （1）求的通项公式； （2）求证：． 16. 已知，其中，，，，且的展开式中各二项式系数的和为256． （1）求n的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值． 17. 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点． （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据．完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关； 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 40岁及以上 60 100 总计 200 （2）某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入x（亿元）与经济收益y（亿元）的数据，统计如下： 研发投入x/亿元 1 2 3 4 5 经济收益y/亿元 2.5 4 6.5 9 10.5 依据表中统计数据，求出y关于x的经验回归方程并预测研发投入8亿元时的经济收益． 参考数据：，． 参考公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 经验回归方程的斜率，截距． 18. 目前中国数字经济已进入快速发展阶段，传统产业数字化转型不断加快．数据显示，成本、市场、产能是企业进行数字化转型的核心驱动因素，现统计300家想进行数字化转型的企业，把成本、市场、产能分别作为首要因素的企业数占比分别为，，． （1）若从把成本、市场、产能分别作为首要因素的企业中分别抽取6家，4家，2家参加座谈会，再从这12家企业中随机抽取4家进行发言，求选到的4家企业中至少有2家把成本作为首要因素，且恰有1家把产能作为首要因素的概率； （2）将这300家企业中把成本、市场、产能分别作为首要因素的企业数占比作为所有想进行数字化转型的企业中把成本、市场、产能分别作为首要因素的占比． （ⅰ）从所有想进行数字化转型的企业中随机抽取11家，记把市场作为首要因素的企业数为Y，求Y的期望和方差； （ⅱ）从所有想进行数字化转型的企业中随机抽取3家，记抽取的把成本、市场分别作为首要因素的企业数差的绝对值为X，求X的分布列及期望． 19. 已知函数在点处的切线为． （1）若时，与x轴平行，求a的值； （2）若在处取得极大值，求a的取值范围； （3）过点A的直线与垂直，当，都与x轴相交时，交点的横坐标分别是，．若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $