精品解析：安徽省合肥市第九中学2023-2024学年高二下学期5月教学质量检测数学试题

合肥九中2023-2024学年第二学期教学质量检测 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 命题教师：陈盼 审题教师：王兴 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知，，若，则m的值为（ ）． A. B. C. 3 D. 4 2. 若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 设数列的前项和为，若，则（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 4. 现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ）. A. B. C. D. 5. 如图，在三棱柱中，G是与的交点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. 函数在处有极小值 C. 函数在区间内有个极值点 D. 导函数在处有极大值 10. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第6项和第7项的二项式系数相等 B. 奇数项的二项式系数和为256 C. 常数项为84 D. 有理项有2项 11. 如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（ ） A. 点到侧棱的距离相等 B. 正四棱柱外接球的体积为 C. 若，则平面 D. 点到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线：被圆截得的弦长是______． 13. 期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种． 14. 已知数列中，，，则通项公式______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在等差数列中，已知公差，且 成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 16. 如图，平面，四边形为直角梯形，，，. （1）证明：. （2）若，点E在线段上，且，求二面角的余弦值. 17. 在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． （1）求，， （2）若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 18. 已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，讨论的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥九中2023-2024学年第二学期教学质量检测 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 命题教师：陈盼 审题教师：王兴 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知，，若，则m的值为（ ）． A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解 【详解】因为，所以，即，解得． 故选：C 2. 若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得导函数，根据函数单调性与导数的关系得到,对于上恒成立，利用正弦函数的性质得到的取值范围. 【详解】解：由已知得，即,对于上恒成立， ∴， 故选：D. 【点睛】本题考查导数与函数的单调性的关系，涉及三角函数的性质，不等式恒成立问题，属基础题. 3. 设数列的前项和为，若，则（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，利用等比数列的通项公式可求得结果. 【详解】当时，，所以， 又，得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据得到是解题关键. 4. 现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设第1次抽到理科题的事件为A，第2次抽到理科题的事件为B，分别求得 ，代入公式求解. 【详解】设第1次抽到理科题的事件为A，第2次抽到理科题的事件为B， 所以 , 所以第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为, 故选：D 【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5. 如图，在三棱柱中，G是与的交点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量线性运算即可求解. 【详解】因为为三棱柱，所以， . 故选：. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义，判断函数奇偶性，利用导数研究该函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则其定义域为， 因为，故函数为偶函数， ，， 令，解得，可得下表： 极小值 极小值 故选：A. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据综合条件，结合双曲线定义，利用余弦定理计算即得. 【详解】令双曲线的焦距为，依题意，，解得， 在中，，由余弦定理得， 整理得，所以双曲线C的离心率为. 故选：C 8. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式恒成立等价于不等式恒成立，设，，原不等式等价于恒成立，再利用导数对进行讨论，得到（）时，取得最小值，即可求解. 【详解】不等式恒成立等价于不等式恒成立， 设，，则， 令，，则， 所以在上单调递增，令，得， 设，可知在上单调递增，且的值域为， 则存在，使得直线和函数的图象有一个交点， 即存在，使得成立，即， 所以时，，即，所以在上单调递减； 时，，即，所以在上单调递增. 所以当时，取得唯一极小值，即最小值， 不等式恒成立等价于恒成立， 即， 代入，得， 化简得：，即，解得：， 所以，则a的取值范围是， 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. 函数在处有极小值 C. 函数在区间内有个极值点 D. 导函数在处有极大值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的图象，利用极值点、极值的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知在左右两侧均有，所以不是的极值点，故选项A错误， 对于选项B，由图知在左右两侧的符号：左侧，右侧， 所以函数在处有极小值，故选项B正确， 对于选项C，根据图象可知，有个极值点，左右两侧均有， 所以不是的极值点，故选项C错误， 对于选项D，由的图象知，在左侧单调递增，在右侧单调递减， 所以在处有极大值，故选项D正确， 故选：BD. 10. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第6项和第7项的二项式系数相等 B. 奇数项的二项式系数和为256 C. 常数项为84 D. 有理项有2项 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解. 【详解】的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误； 由已知可得二项式系数之和为，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等， 所以奇数项的二项式系数和为，故B正确； 展开式的通项为 ，令，解得． 故常数项为，故C正确； 有理项中x的指数为整数，故，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误． 故选：BC 11. 如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（ ） A. 点到侧棱的距离相等 B. 正四棱柱外接球的体积为 C. 若，则平面 D. 点到平面的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和空间距离的向量方法计算方法即可求解. 【详解】对于A, 到侧棱的距离等于, 到侧棱的距离相等且等于,故A错误； 对于B，设正四棱柱外接球的直径为，则有, 即，所以外接球的体积等于，故B正确； 对于C，建立空间直角坐标系，如图， 则, 因为，所以, 所以，，, 所以，所以与平面不垂直，故C错误； 对于D,由以上知，设平面的法向量为， 则有，, ,即，令则， 所以， 因为,所以点到平面的距离为，故D正确. 故选:BD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线：被圆截得的弦长是______． 【答案】 【解析】 【分析】确定圆心和半径，计算得到直线过圆心，得到弦长. 【详解】圆，即圆， 圆心为，半径为， 直线过圆心，故弦长为. 故答案为： 13. 期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种． 【答案】60480 【解析】 【分析】解法一：先排除了语文，数学，英语之外的6科，剩下三个位置给语文，数学，英语；解法二：插空法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排语文，数学，英语，只有一种排法，然后再让剩下6科逐个插空；解法三：除法．9门课程任意排，语文，数学，英语有种排法，再相除即可． 【详解】解法一：空位法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排除了语文，数学，英语之外 的6科，总共有种排法，剩下三个位置给语文，数学，英语，因为它们的顺序 确定，只有一种方法，故共有60480种排法． 解法二：插空法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排语文，数学，英语，只有 一种排法，然后再让剩下6科逐个插空，总共有种排法． 解法三：除法．9门课程任意排，总共有种排法．语文，数学，英语有种排法．因 为语文，数学，英语的前后顺序已经确定，所以总共有种排法． 故答案为：60480 14. 已知数列中，，，则通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】对已知条件变形，可得为等差数列. 【详解】由已知，显然， 两端同时除以，得，又 所以，数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 所以，. 所以，. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在等差数列中，已知公差，且 成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为和的关系，解方程可求得的通项公式； （2）根据题意利用裂项相消法求得其前n项和. 【小问1详解】 ∵ 成等比数列，则， ∴，解得或（舍去）， 故数列的通项公式. 【小问2详解】 由题意可得：， ∴， 故数列的前项和. 16. 如图，平面，四边形为直角梯形，，，. （1）证明：. （2）若，点E在线段上，且，求二面角的余弦值. 【答案】（1）如图所示： 由题意易知. 作，垂足为H，则，故. 因为，所以. 因为平面，平面，所以. 因为平面，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意易证，，从而得到平面，再利用线面垂直的性质即可证明. （2）首先以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解二面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，且， 所以. 以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 从而，，，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 设平面的法向量为， 则，令，得. 设二面角为，由图可知为锐角， 则. 17. 在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． （1）求，， （2）若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）， （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）法一：根据古典概型结合条件概率运算求解；法二：根据独立事件概率乘法公式结合条件概率运算求解； （2）根据题意结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】 方法一： 由题意可得：， “第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点， 因为，， 所以， 故． 方法二：， “在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，， 故． 【小问2详解】 被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3， ，， ，， X的分布列： X 0 1 2 3 P X的数学期望. 18. 已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2） ①若直线的斜率不存在，设方程为， 则点，，，， 由，即，解得，此时直线的方程为； ②若直线的斜率存在，设的方程为，由题意可得， 设，，，， 则，整理可得：， ， 且，， 由，可得，即， 即，，， 故直线的方程为，即直线过定点， 综上所述：直线过定点． 【解析】 【分析】（1）由等轴双曲线的离心率可得椭圆的离心率，再由直线与圆相切，可得的值，由，，与离心率的关系求出的值，进而求出椭圆的方程； （2）由（1）可得的坐标，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由斜率之和可可得参数的关系，可证得直线恒过定点． 【小问1详解】 ∵等轴双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率， 又∵直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切， ∴，即， 可得，即， 则椭圆的方程为：； 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，讨论的零点个数. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导得，再解不等式，即可得答案； （2）对分四种情况讨论，即，，，，再利用导数结合零点存在性定理和极限思想，即可得答案； 【详解】（1）当，， 则， 因为，则， 所以当时，， 所以时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）因为， 则. （i）当时，因为，则， 则时，，所以时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，， 当时，即时，， 所以当时，函数没有零点，即函数的零点个数为0. 当时，即，， 所以当时，函数有且只有一个零点，即函数的零点个数为1. 当时，即，， 则存在一个实数，使得， 当时，，，对任意的， 则，取，因为，则， 则，则存在，使得， 即时，函数的零点个数为2； （ii）当时，令，则，则， 即函数有且只有一个零点，即函数的零点个数为1. 综上所述：当时，函数的零点个数为0； 当或时，函数的零点个数为1； 当时，函数的零点个数为2. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分类讨论不能遗漏. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $