精品解析：天津市滨海新区塘沽第二中学2025-2026学年高一第二学期第一次月考数学试题

天津市滨海新区塘沽第二中学2025-2026学年高一第二学期第一次月考数学试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. 已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ） A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 2. 化简：（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 4. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则角（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. -3 D. 6. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 在中，为边上的中线，为边的中点，若，则可用表示为 A. B. C. D. 9. 在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 10. 设的内角，，所对边的长分别为，，．若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 12. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ） ①若，则定为等腰三角形； ②若，则一定是钝角三角形； ③若点是边上的点，且，则的面积是面积的； ④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形； ⑤动点的轨迹一定通过的内心． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 13. 已知复数（为虚数单位），则 ___________. 14. 已知向量，，若，则________. 15. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，其中，则的面积为___________． 16. 已知圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为______． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________． 18. 已知为一个单位向量，，若在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 19. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，则的值为___________． 20. 如图，中，，为的三等分点，为边上的动点． ①当时，则________； ②的最小值为________． 三、解答题（本大题共4小题，共50分） 21. 已知向量满足. （1）若，求向量的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 22. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 23. 已知与的夹角为. （1）求； （2）求及； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 24. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积的最大值，并求此时的值； （3）若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市滨海新区塘沽第二中学2025-2026学年高一第二学期第一次月考数学试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. 已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ） A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数为实数列式求解即可. 【详解】因为为实数，所以， 故选：C 【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】. 故选：A. 3. 设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的基本定理依次判断求解. 【详解】对于A，若A，B，C三点共线，则，， 即，则，此时无解，故A错误； 对于B，若A，B，D三点共线，则，， 而，即， 则，解得，故B正确； 对于C，若A，C，D三点共线，则，， 而，即， 则，此时无解，故C错误； 对于D，若B，C，D三点共线，则，， 即，则，此时无解，故D错误. 4. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则角（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求出，得解. 【详解】由正弦定理，可得，又， 或. 故选：B. 5. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. -3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义计算即可. 【详解】由题意知，. 故选：D. 6. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为向量，， 所以量，，， 则在向量上的投影向量为为. 故选：D. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得出对边长度和对角正弦值的比值，然后换元作比即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可知：， ∴，，∴. 故选：C. 8. 在中，为边上的中线，为边的中点，若，则可用表示为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的运算，求得的表达式. 【详解】依题意， . 故选：B 【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的运算，属于基础题. 9. 在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 10. 设的内角，，所对边的长分别为，，．若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用正弦定理可得，再由余弦定理解方程可得，，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【详解】解：因为，由正弦定理可得， 由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以， ∴． 故选：D 11. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】使用余弦定理角化边求解. 【详解】由，得， 即，由余弦定理，， 因为，所以， 由，得，整理得，所以是等边三角形 12. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ） ①若，则定为等腰三角形； ②若，则一定是钝角三角形； ③若点是边上的点，且，则的面积是面积的； ④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形； ⑤动点的轨迹一定通过的内心． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一结合三角函数性质、余弦定理、向量线性运算及三角形五心的向量特征判断各命题正误，统计正确命题个数即可. 【详解】 对①，在中，由得或， 即或，故为等腰三角形或直角三角形，故①错误； 对②，由余弦定理得，已知，且，故 ， 又，则 ，即为钝角，为钝角三角形，故②正确； 对③，由，移项得，即， 故，如图所示： 与同高，面积比等于底边长之比，因此，故③错误； 对④，若，则为的重心； 若，则为的外心， 当三角形的重心与外心重合时，为等边三角形，故④正确； 对⑤，由得 ， 其中、分别为、方向上的单位向量， 二者和的方向与的角平分线方向一致， 故动点的轨迹为的角平分线，必过的内心，故⑤正确； 综上，正确命题为②④⑤，共个，故C正确. 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 13. 已知复数（为虚数单位），则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法运算得，再计算模即可得答案. 【详解】解：因为， 所以. 故答案为; 14. 已知向量，，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】由，所以，所以， 故答案为：. 15. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，其中，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【详解】在中，，所以， 由斜二测画法可知，的如图所示： 在中，，，所以的面积为. 16. 已知圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】使用扇形的弧长公式与圆锥的体积公式求解. 【详解】设圆锥的母线长为，由圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，，得， 则圆锥的高为：， 所以圆锥的体积为： 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________． 【答案】## 【解析】 【详解】由，根据正弦定理得，而， 则. 18. 已知为一个单位向量，，若在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 【答案】 【解析】 【详解】设与的夹角为， 由于在上的投影向量为，则，又，， 则，即，而，则. 19. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填. 考点：余弦定理及三角形面积公式的运用． 【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到. 20. 如图，中，，为的三等分点，为边上的动点． ①当时，则________； ②的最小值为________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】设，根据可得计算可求得①中的结果，将的表达式写成关于的函数，利用二次函数性质计算可得其最小值. 【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 设，易知， ①由可得，即， 因此； ②因为为边上的动点，可得，且， 则 ， 当时，的最小值为. 故答案为：4；. 三、解答题（本大题共4小题，共50分） 21. 已知向量满足. （1）若，求向量的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用向量的线性坐标运算求解即可； （2）使用向量的夹角的坐标公式求解即可； （3）将两个向量互相垂直转化为数量积等于零求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ，所以夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ，由与垂直，得， 则，解得. 22. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理角化边，余弦定理计算； （2）使用正弦定理求解； （3）使用两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为，，由正弦定理可知，，，，由余弦定理，所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理，得； 【小问3详解】 因为，所以，则为锐角，， 则，， 所以. 23. 已知与的夹角为. （1）求； （2）求及； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义求解. （2）利用数量积的运算律求解. （3）利用向量的夹角公式及共线向量的意义求解. 【小问1详解】 由与的夹角为，得. 【小问2详解】 由（1）得， . 【小问3详解】 由向量与的夹角为锐角，得，且向量与不共线， 则，即，解得且， 所以实数的取值范围是. 24. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积的最大值，并求此时的值； （3）若，求． 【答案】（1） （2）面积最大值为，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角形内角和与诱导公式化简，求出，再结合角的范围确定. （2）先用余弦定理列出的关系式，借助基本不等式求出的最大值，代入三角形面积公式求得面积最值，最后根据取等条件算出的值. （3）由正弦定理求出，根据大边对大角判断为锐角，算出；再用二倍角公式求，最后利用两角差的余弦公式计算. 【小问1详解】 由正弦定理，为外接圆半径. 所以有. 整理得. 在中，，故. 因为，所以，于是，即. 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，代入，，得. 由基本不等式，可得，即. 当且仅当时等号成立. 三角形面积，因此. 当时，，解得. 综上，面积的最大值为，此时. 【小问3详解】 由正弦定理，结合，，得. 则. 由，得，故为锐角，. 由二倍角公式，，. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $