精品解析：天津市河东区第七中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

天津七中高一年级月考数学试卷 一、单选题： 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，结合复数的除法运算化简可得结论. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 2. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 如果，，，那么 B. 如果，，，那么 C. 如果，，，那么 D. 如果，，，，那么 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中的线面关系、面面关系逐一判断即可. 【详解】若，，，则，故A正确； 若，，，则或，故B错误； 由，，推不出，故C错误； 由，，，推不出，故D错误； 故选：A 3. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（ ） A. 35 B. 40 C. 42 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质先计算参数，再根据图象计算即可. 【详解】易知，所以， 即， 而月用电量落在内的户数为. 故选：B 4. 在中，（分别为角的对边），则的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 5. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据半圆的弧长与圆锥底面圆的周长相等，可求得底面圆的半径，进而得高，然后由圆锥的体积公式，得解． 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆锥的高为，则， 所以，解得， 所以圆锥的高， 所以体积． 故选：B． 6. 如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质可得直角三角形，再利用线面垂直的判定得出BC⊥平面PAC，从而得到直角三角形的个数. 【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC． ∴△ABC为直角三角形． 又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内， ∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形， 又PA∩AC＝A，平面PAC,∴BC⊥平面PAC． ∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形， 从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形． 故选：D. 7. 正四面体ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，则异面直线CE和AF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，则可得∥，所以可得异面有线CE和AF所成角，然后利用余弦定理求解即可 【详解】连接，取的中点，连接， 因为为的中点， 所以∥， 所以为异面有线CE和AF所成角或其补角， 设正四面体的棱长为2，则，, 所以， 所以在中，由余弦定理得 , 所以异面有线CE和AF所成角的余弦值为， 故选：C 8. 在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到所求二面角的平面角，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，连接，设， 因为正方体，所以，， 所以就是平面与平面所成二面角， 设正方体的边长为，则，，， 所以，故C正确. 9. 已知正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四面体顶点到底面之间的距离即可. 【详解】如图所示 三棱锥为边长为的正四面体 所以，， 故点到平面的距离为 故选：C 10. 我市某小区有居民10000人，若要按不同年龄段抽取一个500人的样本，其中抽取60岁以上的老年人120人，则该小区60岁以上老年人的人数为___________； 【答案】2400 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义求解即可 【详解】设该小区60岁以上老年人的人数为人， 则由题意得，解得， 所以该小区60岁以上老年人的人数为2400人， 故答案为：2400 11. 如图，在 中， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得 ，再结合三点共线的性质得求解即可. 【详解】解：由题意得 因为三点共线， 所以 所以 故答案为： 12. 若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】确定到底面的距离为正四棱柱的高，即可求得结论． 【详解】∵正四棱柱， ∴平面平面， 平面， 平面, 到底面的距离为正四棱柱的高 ∵正四棱柱的底面边长为，与底面成角， 故答案为:． 13. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍（chú méng）”是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个“刍甍”，，，M是DE的中点，N是AB上的点.若平面BCF，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】过M作，由中位线性质可得，连接BP，根据线面平行的判定定理与性质定理确定的值. 【详解】过M作，MP为梯形EFCD中位线，，连接BP， ，，，则M，N，B，P四点共面， 平面BCF，∴平面平面，平面，，又，∴四边形为平行四边形， ，. ． 14. 如图，在棱长均相等的正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论： ①PC∥平面OMN； ②平面PCD∥平面OMN； ③OM⊥PA； ④直线PD与直线MN所成角的大小为90°. 其中正确结论的序号是________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据线面平行的判定可判定①；由面面平行的判定可判断②；由勾股定理可得PC⊥PA，结合PC⊥PA可判断③；通过线面直线所成角的定义及题设可证得∠PDC即为直线PD与直线CD所成的角，结合△PDC为等边三角形可判断④. 【详解】连接AC，如图 ∵O为底面正方形的中心，∴是的中点， 又M为侧棱PA的中点，∴PC∥OM， 又PC⊄平面OMN，OM⊂平面OMN，所以PC∥平面OMN， 故结论①正确； 同理PD∥平面OMN，又PCPD＝P，PC，PD平面PCD， 所以平面PCD∥平面OMN，故结论②正确； 由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以. 又∥，所以，故结论③正确； 由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB. 又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以MN∥CD， 所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即∠PDC. 又△PDC为等边三角形，所以，故④错误. 故答案为：①②③. 15. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量线性运算可将化为，由向量数量积的运算律和定义可构造方程求得，由此可得； 作，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数最小值的求法可求得结果. 【详解】，，，， ， ，又，； 作，垂足为， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，，， 设，，， 解得：，， ，，， ， 则当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 三、解答题： 16. 在中，角，，所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小：. （2）若，，的面积为. ①求b，c的长； ②求的值. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据诱导公式及两角和的正弦公式计算可得； （2）①由面积公式得到，再由余弦定理得到，解得即可； ②由余弦定理求出，再根据同角三角函数基本关系求出，再利用二倍角公式及两角差的正弦公式计算可得； 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得 又， 所以， 即 所以， 又，故. 在中，，所以. 【小问2详解】 ①的面积，得， 由余弦定理，得， 由，，可得， 整理得，解得， 又，故，. ②方法一： 由余弦定理，得， 又，，，故， 所以， ， ， 故 . 方法二： 由正弦定理，得，故， 又，故，， 从而. ， ， . 17. 在正四棱柱中，E为的中点.，． （1）求证：平面BDE； （2）求异面直线与DE所成角的余弦值. 【答案】（1）连接交于点F，连接， ∵正四棱柱，为AC中点， 又为的中点， ∴在中有， 而平面，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于点F，连接EF，根据线面平行定理证明； （2）取中点G，连接，，确定异面直线与DE所成角即为直线与所成角，根据异面直线夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点G，连接，， 是正四棱柱，，， ∴四边形为平行四边形，， ∴异面直线与DE所成角即为直线与所成角， ，，， ∴在中，， 所以异面直线与DE所成角的余弦值． 18. 在矩形中，，E是的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥. （1）若平面平面，求四棱锥的体积; （2）若，求证：平面平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直得锥体的高，再利用锥体体积公式求体积. （2）先证线面垂直，再由线面垂直推出面面垂直. 【小问1详解】 如图所示，取的中点，连接，由题意知，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，即为四棱锥的高． 在等腰中，，， 而梯形的面积， 四棱锥的体积． 【小问2详解】 取的中点，连接、，则， ，， ，、平面， 平面， 平面， ， 由（1）知，， 又、平面，且与是相交的， 平面， 平面， 平面平面． 19. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作的中点，连接，则由三角形中位线定理及平行四边形的性质可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理证得平面，则，由，可得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （3）连接交于点，连接，则可得平面，所以与平面所成角为，然后在中求解即可. 【小问1详解】 作的中点，连接， 由得分别为的中点， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面 【小问2详解】 因为，所以， 因为底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 所以， 因为，，所以，， 又因为平面， 所以平面； 【小问3详解】 连接交于点，连接， 因为点分别为的中点， 所以， 所以平面， 所以为在平面中的射影， 所以与平面所成角为， 由已知得 所以， 因为为锐角，所以， 所以与平面所成角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津七中高一年级月考数学试卷 一、单选题： 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 如果，，，那么 B. 如果，，，那么 C. 如果，，，那么 D. 如果，，，，那么 3. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（ ） A. 35 B. 40 C. 42 D. 45 4. 在中，（分别为角的对边），则的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 正四面体ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，则异面直线CE和AF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 我市某小区有居民10000人，若要按不同年龄段抽取一个500人的样本，其中抽取60岁以上的老年人120人，则该小区60岁以上老年人的人数为___________； 11. 如图，在 中， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为________. 12. 若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为__________. 13. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍（chú méng）”是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个“刍甍”，，，M是DE的中点，N是AB上的点.若平面BCF，则______． 14. 如图，在棱长均相等的正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论： ①PC∥平面OMN； ②平面PCD∥平面OMN； ③OM⊥PA； ④直线PD与直线MN所成角的大小为90°. 其中正确结论的序号是________. 15. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为____________． 三、解答题： 16. 在中，角，，所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小：. （2）若，，的面积为. ①求b，c的长； ②求的值. 17. 在正四棱柱中，E为的中点.，． （1）求证：平面BDE； （2）求异面直线与DE所成角的余弦值. 18. 在矩形中，，E是的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥. （1）若平面平面，求四棱锥的体积; （2）若，求证：平面平面. 19. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $