第五章 一元函数的导数及其应用 复习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 高中数学第五章导数单元复习卷，全面覆盖导数计算、极值与单调性等核心知识，梯度设计合理，注重数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言（模型观念）考查，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导函数计算（第2题）、极值（第3题）、单调性（第7题）|基础巩固与综合判断结合，如多选10题考查零点与极值点关系| |填空题|3题/15分|极值点（第12题）、切线方程（第13题）|聚焦易错点，如第13题含参数切线问题| |解答题|5题/77分|单调性讨论（第15题）、恒成立问题（第18题）|分层设计，从基础运算到综合应用，如第19题结合切线与恒成立，贴合高考命题趋势|

第五章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知是函数的导函数，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，求导得， 所以. 2．设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 3．已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由已知得，令，得，判断单调性，根据极小值求出参数的值. 【详解】由已知得，令，得， 当时，单调递减， 当或时，单调递增， 所以的极小值为，解得. 故选：A. 4．已知函数的导函数为，且，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】D 【分析】要解决这个问题，可以通过换元法先求出函数的表达式，再对其求导，最后代入计算出最后结果。 【详解】已知，令（），由对数的定义，由可得，代入得： ，即， 对其求导得，将代入得. 故选：D. 5．是定义在上的可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，利用导数研究其单调性，进而得到结论． 【详解】解：设，，则， 在区间上单调递减， ，∴g(b)<g(a),即， 故选：B． 6．已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的导数为奇函数求解即可 【详解】当时，， 因为为偶函数，所以，当时两边求导得， 所以，， 所以的图象在处的切线方程为，即 7．若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在上不单调，意味着其导数在该区间内有正有负，即在内有零点，将分离参数为，通过构造函数，求与0的大小，得到的单调性，从而求出的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】，，在上不单调， 在上有变号零点， 即存在， 使得， 在上有解，在上有解， ，，， ，即，解得，在上是增函数； ，即，解得，在上是减函数. 又，，，， 在上有解，， 当时，，设，， 当，解得，得在上是增函数； 当，解得，得在上是减函数. 则在处取最小值为，在上恒成立，即在上恒成立，得到在是增函数，不满足题意，说明不满足题意，同理也不满足题意，综上可得. 故选：B 8．已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式，判断函数奇偶性，对函数求导并判断其单调性，比较三个数值的大小，进而利用单调性做出判断. 【详解】由题意可知：函数为偶函数， 当时，函数，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 因为函数为偶函数，所以， 作差：，所以， 又因为，所以， 所以，而函数在上单调递减， 所以，也即， 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A，，A正确； 选项B，，B正确； 选项C，，C错误； 选项D，，D正确. 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，只有一个零点 B．若有极值点，则的取值范围为 C．存在负数，使得在上单调递增 D．过点且与曲线相切的直线只有一条 【答案】AD 【分析】对于选项A，设，当时，得到，即在上单调递增，，，从而得解； 对于选项B，若有极值点，有两个不等实数根，通过求出的范围即可； 对于选项C，当时，，设，为的两根，得到在上单调递减； 对于选项D，不妨设切点为，则，求出切线方程，代入 ，解得，从而得解. 【详解】对于选项A，，令，， 当时，，则，在上单调递增，，，故A正确； 对于选项B，若有极值点，有两个不等实数根，，解得，B错误； 对于选项C，当时，由，可得， 设，为的两根，则，， 所以，故在上单调递减，C错误； 对于选项D，不妨设切点为，则， 切线方程为， 整理得，又切线过点， 所以，即，解得， 所以过点且与曲线相切的直线只有一条，D正确. 故选：AD. 11．已知函数，则（ ） A．在上单调递减 B．的极大值为1 C．的图象关于对称 D．若方程的解为，则=1 【答案】ABD 【分析】选项A，求出的解集得递减区间；选项B，利用导数求出的极大值；选项C，求出，得到，则不是奇函数，从而的图象不关于对称；选项D，由，得到，通过因式分解得到， 解出，的值，从而得到的值. 【详解】选项A，，， 当时，，，故选项A正确； 选项B，当时，，在上单调递减； 当或时，，在和上是增函数. 则在处，取极大值，且极大值为，故选项B正确； 选项C，，，不是奇函数，的图象不关于对称，故选项C不正确； 选项D，，又，，， ，， ，，， 或，，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．函数的极值点为_________． 【答案】3 【分析】利用导数研究函数的单调性，即可得到极值点. 【详解】， 令，得或， ∵,∴当时，；当时，. ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴只有一个极值点． 故答案为：3. 13．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 14．已知函数，若，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由题设有，利用均值代换后可得，分类讨论后结合零点分布可求最小值. 【详解】由题设得， 即为， 故， 整理得到：， 令，，则， 故， 故，由对称性不妨设， 若，则， 故， 故， 整理得：， 故，矛盾. 若，则， 设，则， 故在有解， 令，， 故或， 故或， 故或，故， 故即 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求导得，令可求的单调递减区间； （2）由（1）易判断在时单增，在时单减，进而求出. 【详解】（1），令，得，即， 所以的单调递减区间为； （2）当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即的最大值为. 16．已知函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是 （1）求a 、b的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1）；（2）答案见解析． 【分析】（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出，． （2）求出导函数的符号，判断函数的单调性即可得到函数的极值． 【详解】（1）因为函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是， 所以切线斜率是，且， 求得，即点 又函数，则 所以依题意得 解得 （2）由（1）知 所以 令，解得或 当，或；当， 所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是 所以当变化时，和变化情况如下表： 0 极大值 极小值 所以， 17．已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1）；（2）极小值为. 【解析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数求出函数的极值点，列表分析函数的单调性，进而可求得函数的极值. 【详解】（1），，则，， 因此，函数的图象在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且，得，列表如下： 极小值 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 则函数在处取得极小值，且极小值为. 【点睛】本题考查利用导数求函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的极值，考查计算能力，属于基础题. 18．已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)时，在上单调递减，时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （2）由，不等式恒成立，转化为，构造函数，分类讨论求解单调性，求出的范围. 【详解】（1）由，求导得，， 当时，，则在上单调递减， 当时，令，则， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 故时，在上单调递减， 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由，不等式恒成立， 转化为， 构造函数， 求导 若时，则，所以在单调递减， 由于对于成立， 当时，则， 故，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，但是，不满足题意. 故整数的最大值为. 19．设函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的值； (2)当时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由切线方程可得切线斜率，再由导数的几何意义可得所求值； （2）构造函数，再分，，三种情况讨论，当及，都可得与条件矛盾，只有满足条件，从而可得所求值范围. 【详解】（1）由，函数的定义域为，， 因为曲线在点处的切线方程为，所以， 因此的值为. （2）因为，令，则， ①当时，因为，所以，，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以，与“时恒成立”矛盾，故不成立，所以. ②当时，则，所以时，， 所以在上单调递增，则，即， 因此在上单调递增，则，与“时恒成立”矛盾，故不成立. ③当时，，而，所以，因此， 所以在上单调递减，故，即， 因此在上单调递减，则，满足“时恒成立”的条件 综上所述，当时恒成立，实数的取值范围为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知是函数的导函数，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．设函数，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．已知函数的导函数为，且，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 5．是定义在上的可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（    ） A． B． C． D． 6．已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，只有一个零点 B．若有极值点，则的取值范围为 C．存在负数，使得在上单调递增 D．过点且与曲线相切的直线只有一条 11．已知函数，则（ ） A．在上单调递减 B．的极大值为1 C．的图象关于对称 D．若方程的解为，则=1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．函数的极值点为_________． 13．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 14．已知函数，若，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求的最大值. 16．已知函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是 （1）求a 、b的值； （2）求函数的极值. 17．已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 18．已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 19．设函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的值； (2)当时恒成立，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $