第六章 计数原理章末复习卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 本卷为高中数学计数原理章末复习卷，以成都国际友城大会、短道速滑等现实情境及杨辉三角文化素材为载体，覆盖排列组合、二项式定理等核心知识，注重数学思维与应用能力考查，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|排列应用（如志愿者岗位安排）、二项式系数（如展开式系数计算）、杨辉三角性质（如第48行数字和余数）|情境具时代性（国际大会、速滑跑道清理），多选题融合文化与逻辑推理| |填空题|3题/15分|组合数计算、二项式定理应用、最短路线问题（城市道路示意图）|基础与实际结合，如最短路线体现数学眼光| |解答题|5题/77分|排列组合综合（如排队照相多条件限制）、二项式定理（系数和、特定项）、杨辉三角应用（历史文化情境）|分层设计，如15题四问从基础到复杂条件，19题结合杨辉三角性质考查数学语言表达|

第六章 计数原理章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．5月14日至16日，“2026成都国际友城合作与发展大会”（以下简称大会）在成都举行．大会期间，需从4位志愿者中选3位安排到三个不同的工作岗位，每个岗位1人，其中甲不能安排在岗位，则不同的安排方法共有（     ） A．9种 B．12种 C．15种 D．18种 2．在二项式的展开式中的系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 3．为了保障速滑比赛的安全，志愿者小王、小李、小方需要清理、、、、、六条短道速滑跑道，每人至少清理一条跑道，则小王清理三条跑道的情况共有多少种（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 4．除以8的余数为（     ） A．1 B．2 C．6 D．7 5．甲，乙，丙，丁，戊参加数学竞赛，决出了第一名到第五名的排名，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你没有拿到第一名”，对乙说：“你的名次和甲没有挨着”，则这人的名次排列不同的情况有（   ）种. A． B． C． D． 6．的展开式中的系数为（   ） A．30 B．60 C．120 D．240 7．的展开式中，的系数为（     ） A． B．120 C． D．40 8．给如图所示的六块区域，，，，，涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是（    ）    A．192 B．168 C．224 D．208 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（  ） A．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法有120种. B．把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法有252种 C．学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为. D．将甲乙等5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，且甲乙不能去同一个社区的分配方法数有150种. 11．如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的是（   ） A．第2026行共有2027个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为6 D．去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的值为________. 13．若，则_______． 14．如图为一个城市某区城市道路示意图（每个小正方形的边表示道路，且长度都相等），则从A到B的最短路线条数是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．现有4名男生和3名女生（分别为甲、乙、丙）站成一排照相. (1)两端要站女生，有多少种不同的站法？ (2)若女生甲乙相邻且都不与女生丙相邻，有多少种不同的站法？ (3)女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？ (4)女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 16．设． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 17．已知的二项展开式有项. (1)求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求该展开式中含的项； (3)求该展开式中系数最大的项. 18．某青年志愿者协会共有4名男生和3名女生.现要从中选出5人组成一个服务小队，分配到社区服务中心的5个不同岗位上（岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤）． (1)若女生丽丽必须进入小队并担任宣传，求符合条件的安排方法数； (2)若已知后勤必须由男生担任，接待必须由女生担任，且男生大勇不会维修，求符合条件的安排方法数． 19．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)在的展开式中，求含项的系数． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．5月14日至16日，“2026成都国际友城合作与发展大会”（以下简称大会）在成都举行．大会期间，需从4位志愿者中选3位安排到三个不同的工作岗位，每个岗位1人，其中甲不能安排在岗位，则不同的安排方法共有（     ） A．9种 B．12种 C．15种 D．18种 【答案】D 【分析】方法一：运用分步乘法计数原理，先安排岗位，再安排岗位；方法二：运用分类加法计数原理，分为甲入选和甲不入选两种情况． 【详解】方法一：运用分步乘法计数原理，先安排岗位，再安排岗位， 则不同的安排方法共有（种）． 方法二：运用分类加法计数原理，若甲不入选，有（种）安排方法； 若甲入选，则有（种）安排方法，所以共有（种）不同的安排方法． 2．在二项式的展开式中的系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】化简：， 设二项式的第项为：， 由条件得，， 所以系数为. 3．为了保障速滑比赛的安全，志愿者小王、小李、小方需要清理、、、、、六条短道速滑跑道，每人至少清理一条跑道，则小王清理三条跑道的情况共有多少种（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 【答案】A 【分析】第一步从6条跑道中选3条分配给小王，计算得到选法数；第二步将剩余3条分给小李、小方，满足每人至少1条，算出分配情况，两步结果相乘得总情况数即可. 【详解】从6条跑道中选3条给小王，可得种分法， 小王选完后还剩条跑道，需要分给2人，且每人至少1条. 所有不考虑限制的分法共种，减去“全给小李”“全给小方”这2种不符合要求的分法， 可得符合要求的分法共种. 根据分步乘法计数原理，总情况数为种. 4．除以8的余数为（     ） A．1 B．2 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由，运用二项式定理，结合整除的性质，可得所求余数． 【详解】， 由56能被8整除，所以除以8，所得的余数为． 5．甲，乙，丙，丁，戊参加数学竞赛，决出了第一名到第五名的排名，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你没有拿到第一名”，对乙说：“你的名次和甲没有挨着”，则这人的名次排列不同的情况有（   ）种. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据甲不是第一名，所以甲的名次只能是第名，然后分类计算，再由分类加法计数原理可得. 【详解】因为甲不是第一名，所以甲的名次只能是第名，共种选择，所以分类计算： 第一类：甲是第名，与甲相邻的名次是和，所以乙只能从两个名次确定一个， 其余人全排列，因此有（种）不同排列的名次； 第二类：甲是第名，与甲相邻的名次是和，所以乙只能从两个名次确定一个， 其余人全排列，因此有（种）不同排列的名次； 第三类：甲是第名，与甲相邻的名次是和，所以乙只能从两个名次确定一个， 其余人全排列，因此有（种）不同排列的名次； 第四类：甲是第名，与甲相邻的名次是，所以乙只能从三个名次确定一个， 其余人全排列，因此有（种）不同排列的名次； 根据分类加法计数原理，共有（种）不同排列的名次. 6．的展开式中的系数为（   ） A．30 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【详解】的展开式通项为，， 的展开式通项为，， 当，时，展开式中含的项为，即对应系数为. 7．的展开式中，的系数为（     ） A． B．120 C． D．40 【答案】C 【详解】展开式的通项公式为，； 当第一个因式取时，需中含，则令得，对应系数为； 当第一个因式取时，需中含，则令得，对应系数为； 综上，的系数为. 8．给如图所示的六块区域，，，，，涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是（    ）    A．192 B．168 C．224 D．208 【答案】A 【分析】利用分步乘法计数：先给，，三块区域涂色，再给区域涂色，然后给区域涂色，最后给区域涂色，即可求解. 【详解】第一步，给，，三块区域涂色，有种涂色方法； 第二步，给区域涂色，有种涂色方法； 第三步，给区域涂色，有种涂色方法； 第四步，给区域涂色，有种涂色方法， 综上，不同的涂色方法种数是，故A正确. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，注意到，据此可判断选项正误；对于BC，由赋值法可判断选项正误；对于D，利用导数知识结合赋值法可判断选项正误. 【详解】对于A选项，，所以，A选项正确； 对于B选项，令，可得，B选项正确； 对于C选项，令，可得，与B选项分析中的式子相加，可得，所以，C选项错误； 对于D选项，设， 则， 令，可得，D选项正确． 故选：ABD. 10．下列说法正确的是（  ） A．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法有120种. B．把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法有252种 C．学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为. D．将甲乙等5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，且甲乙不能去同一个社区的分配方法数有150种. 【答案】AC 【分析】对于A，两人选择的相同的读物有6种情况，然后由乘法原理可判断选项正误；对于B，由“隔板法”结合题设可判断选项正误；对于C，由条件概率计算公式结合题设可判断选项正误；对于D，可先计算5名志愿者分配到3个社区且每个社区至少一人的总方法数，再减去甲乙在同一个社区的方法数，据此判断选项正误. 【详解】对于A，两人选择的相同的读物有6种情况，甲同学选择第二种读物有5种情况， 乙同学选择第二种读物有4种情况，则满足题意的总情况有种，故A正确； 对于B，将9个名额看成9个相同的球，将其排成一列，其中有8个空， 在8个空中选择5个放入隔板，即可将9个相同球分给6个人， 即将9个名额分给6个班（保证每个班至少有一个名额）， 则总情况数为种，故B错误； 对于C，从5名男生3名女生中选两人，包含男生甲的情况数为种，这7种中， 男生比女生多即全是男生的情况数为4种，故相应概率为：，故C正确； 对于D，5名志愿者分配到3个社区，每个社区至少一人，分配方式为或， 有种方法， 其中甲乙2人在同一个社区，有种方法，则甲乙不在同一个小区有种方法，故D错误. 11．如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的是（   ） A．第2026行共有2027个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为6 D．去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为 【答案】ABD 【分析】根据杨辉三角的性质求得第2026行共有2027个数，即可判断A；根据组合数的性质化简即可判断B；利用二项式定理求解第48行的所有数字的和，进而根据二项式定理，根据整除的性质即可求解，进而判断C；根据二项式的和，结合等比数列以及等差数列的性质求解，即可判断D. 【详解】对于A选项，由题意，第行的第个数可以表示为（时）， 所以第2026行的第1个数为，最后1个数为，共有2027个数，故A正确； 对于B选项，由题意可得，从第4行起到第19行， 每一行的第4个数字分别为、、、、、、， 其和为 ，故B正确； 对于C选项，第48行的所有数字之和为 ， 又 ， 由于能被7整除， 所以第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故C错误； 对于D选项，第行的所有数字之和为， 当时，第行中去除为1的项的和为，第0行为1， 故前行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第1行开始，剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，则行共有个数， 当时，， 因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为， 则此数列前135项的和为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的值为________. 【答案】120 【分析】利用组合数的性质，通过递推合并，将连续的组合数求和转化为单个组合数计算. 【详解】 . 13．若，则_______． 【答案】84 【分析】根据二项式通项公式结合组合数性质计算求解. 【详解】由题意 根据二项式定理可得. 14．如图为一个城市某区城市道路示意图（每个小正方形的边表示道路，且长度都相等），则从A到B的最短路线条数是________． 【答案】39 【详解】如图，若按照的路线，从到有3段向上3段向右，从到有0段向上3段向右，有条路线； 若按照的路线，从到有1段向上5段向右，从到有2段向上1段向右，有条路线； 若按照的路线，从到有0段向上6段向右，从到有3段向上0段向右，有条路线； 共有（条）路线． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．现有4名男生和3名女生（分别为甲、乙、丙）站成一排照相. (1)两端要站女生，有多少种不同的站法？ (2)若女生甲乙相邻且都不与女生丙相邻，有多少种不同的站法？ (3)女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？ (4)女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 【答案】(1)720 (2)960 (3)2520 (4)3720 【分析】（1）先排两端的女生，再排其余学生，利用分步乘法计数原理计算站法总数； （2）先排无特殊要求的男生，再将相邻的女生甲乙捆绑成一个整体，最后把 “甲乙整体” 和女生丙插入男生形成的空隙中，利用分步乘法计数原理计算站法总数； （3）先计算 7 人无限制的全排列总数，再利用定序问题的对称性，甲在乙右方的情况占总排列数的一半，直接除以 2 得到结果即可； （4）用间接法，先计算 7 人无限制的全排列总数，再减去甲在左端、乙在右端的不符合条件的情况，最后加回重复减去的 “甲在左端且乙在右端” 的情况，得到站法总数即可. 【详解】（1）优先排两端的女生：从3名女生中选2名排在两端，则， 排中间5个位置：剩余5人全排列：， 所以. （2）先排4名男生，形成5个空隙：， 将甲乙捆绑成一个整体，内部排列：， 从男生形成的5个空隙中选2个，分别放入“甲乙整体”和丙（两者不相邻）： ， 所以. （3）7人全排列：， 甲在乙的右方与甲在乙的左方的情况数相等，各占一半： . （4）7人全排列：， 甲在左端：， 乙在右端：， 甲在左端且乙在右端：， 所以. 16．设． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助赋值法，令代入计算即可得； （2）结合（1）中所得，再令代入计算即可得； （3）借助二项式的展开式的通项公式计算可得每项系数的正负，结合（2）中所得即可得解. 【详解】（1）令，则有， 即； （2）令，则有， 即， 又， 则； （3）对，有，且， 则当为奇数时，为负数，当为偶数时，为正数， 故. 17．已知的二项展开式有项. (1)求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求该展开式中含的项； (3)求该展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据二项式系数和为求出的值,再通过赋值求出多项式各项系数和,最后作比算出两者的比值. （2）先写出二项展开式的通项公式,整理得到的指数表达式,令指数等于7解出,再把代回通项算出对应项. （3）沿用已得的通项,取出各项系数构造相邻项系数大小的不等式组,化简不等式求出的取值范围,结合为自然数确定,进而求出系数最大的项. 【详解】（1）因为二项展开式有7项，所以，解得. 所以二项式系数和为， 令，得各项系数和为. 因此各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为. （2）由（1）可得展开式通项为. 令，解得. 代入通项得. 故含的项为. （3）由（1）可得展开式通项为 设第项系数最大，则第项系数为. 列不等式组，即 化简得，解得，又，故. 系数最大的项为. 18．某青年志愿者协会共有4名男生和3名女生.现要从中选出5人组成一个服务小队，分配到社区服务中心的5个不同岗位上（岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤）． (1)若女生丽丽必须进入小队并担任宣传，求符合条件的安排方法数； (2)若已知后勤必须由男生担任，接待必须由女生担任，且男生大勇不会维修，求符合条件的安排方法数． 【答案】(1)360 (2)612 【分析】（1）将丽丽固定在宣传岗，从剩余人中选人进行排列即可； （2）按特殊元素，特殊位置优先排列的原则，分男生大勇是否担任后勤两种情况分析，并根据分类加法和分步乘法计数原理计算可得. 【详解】（1）丽丽固定在宣传岗， 剩余4个岗位（接待、保洁、维修、后勤）从剩下的6人（4男+2女）中选4人进行排列． 方法数为：种． （2）①若男生大勇担任后勤，则先安排接待岗位有3种安排方法， 再从剩下的5人中选择3人排列到剩余岗位上， 根据分步乘法计数原理，方法数为种； ②若后勤不由大勇担任，则先安排后勤岗位有3种安排方法， 再安排接待岗位有3种安排方法， 第三步安排维修岗位，因大勇不能担任，所以有4种安排方法， 最后从剩下的4人中任选2人排列到宣传和保洁两个岗位上. 根据分步乘法计数原理，方法数为种， 综上，根据分类加法计数原理，总安排方法数为种． 19．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)在的展开式中，求含项的系数． 【答案】(1)256 (2) 【分析】（1）由杨辉三角的性质以及二项式系数之和公式即可得解； （2）求出的每一项中含项的系数在杨辉三角中所处的位置，再结合杨辉三角的性质，即可得解. 【详解】（1）由杨辉三角的性质1可知，第8行就是的展开式的二项式系数， 由二项式系数之和公式可知，杨辉三角中第8行的各数之和为； （2）的二项展开式的通项为， 其中的系数为，是杨辉三角第行中从左到右的第三个数， 因此中含项的系数， 分别为杨辉三角中第行中从左到右的第三个数， 首项为，且每一项均在平行于腰的一条线上，满足杨辉三角的性质， 其系数之和为最后一个数斜右下方的那个数， 因此，在的展开式中， 则含项的系数为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $