广西高二数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版选择性必修第三册第六章）

**基本信息** 高二数学第六章计数原理单元卷，以地方文化（分龙节、五香特产）与实际情境为载体，原创题占比高，全面考查排列组合、二项式定理，适配单元复习，提升数学应用与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|组合（如分龙节6项选3项）、二项式定理（展开式常数项）、排列（北斗卫星组网选4颗）|原创题结合地方文化（第1、3题），新情景融入科技（北斗卫星）| |填空题|3题/15分|二项式系数（含x³项系数）、排列应用（校友演讲安排）|分层考查基础与综合，第13题含限制条件排列| |解答题|6题/77分|排列组合综合（五香礼盒选排、志愿者选排）、二项式定理应用|注重实际问题解决，如第16题分3问梯度设计，提升数学思维与表达|

高二数学下学期阶段测试 第六章 计数原理 （考试时间：90分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）某县为庆祝“分龙节”，从山歌、傩面舞、花竹帽编织、五香美食展、龙舟赛、篝火晚会这6项活动中，选择3项作为主推项目。要求山歌和傩面舞不能同时入选，则不同的选择方案有（ ） A. 16种  B. 20种  C. 24种  D. 30种 2.广西“三月三”假期，某旅游团计划从4首传统山歌和3首现代民乐中选取2首进行展演，要求至少选1首山歌，则不同的选法共有（　　） A. 12种　 　 B. 15种　　 C. 18种　 　D. 21种 3.（原创）某县“五香”（香猪、香牛、香鸭、香米、香菇）特产直播带货中，主播需要从5种特产中随机选出3种进行介绍，并按一定顺序展示。若要求香猪和香牛必须同时被选中，则不同的展示顺序有（ ） A. 12种  B. 18种  C. 24种  D. 36种 4.在的展开式中，常数项为（ ） A. -159  B. 159  C. -161  D. 161 5.已知，则的值为（　　） A. 32　　 B. 243　　 C. 242 D. 1 6.从5名男教师和3名女教师中选出4人参加“某县五香”美食节志愿者活动，要求至少有1名女教师，则不同的选法共有（ ） A. 60种  B. 65种  C. 70种  D. 75种 7.新高考实行“3+1+2”模式，语文、数学、英语必选，学生还需从物理、历史中选1门，再从政治、地理、化学、生物中选2门。若今年高一的甲乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式有多少种？ A.12种　 　B.24种　 　C.48种　　 D.96种 8.（新情景）我国北斗卫星导航系统由3颗地球静止轨道卫星、3颗倾斜地球同步轨道卫星和24颗中圆地球轨道卫星组成。现从中随机选取4颗卫星进行组网测试，要求每种轨道至少选1颗，则不同的选法共有（　　） A. 216种 　　B. 2484种　 　C. 2916种　 　D. 3132种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知， 则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D.. 10.现有4名男生和3名女生排成一排，则下列说法正确的有（　　） A. 若所有女生必须排在一起，则不同排法有120种. B. 若男女相间排列，则不同排法有144种. C. 若甲（男）不在排头，乙（女）不在排尾，则不同排法有3720种. D. 若甲、乙两人必须相邻，则不同排法有1440种. 11.（新情景）某县分龙节晚会要安排6个不同节目，其中3个是山歌类（记为S1,S2,S3），2个是舞蹈类（D1,D2），1个是器乐类（Q）。下列选项中正确的有（ ） A. 若山歌类节目不相邻，则不同排法有144种 B. 若舞蹈类节目必须相邻，则不同排法有240种 C. 若器乐类节目不在第一个也不在最后一个，则不同排法有480种 D. 若山歌类、舞蹈类各自内部顺序固定，则不同排法有120种 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在 的展开式中，含的项的系数为 . 13.（原创）某高中为庆祝建校60周年，从6名优秀校友中选4人分别担任“优秀校友论坛”的4个不同主题的演讲人（一人一主题）。若甲、乙两人不能同时入选，则不同的安排方法有 种。 14.在“人工智能”社团活动中，有6名同学报名参加3个不同的项目组，每个项目组至少1人，则不同的分配方案有______种。（用数字作答） 四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知 的展开式中第4项的二项式系数为20。 (1) 求 的值； (2) 求展开式中的常数项； (3) 求展开式中含的项的系数。 16.（原创）(15分) 环江“五香”美食节推出一种组合礼盒，从香猪、香牛、香鸭、香米、香菇中选出3种装盒，并按一定顺序摆放。 (1) 求不同的选法种数； (2) 若选出的3种中必须包含香猪或香牛，求不同的选法种数； (3) 在(2)的条件下，将选出的3种特产排成一排，求不同的摆放方法总数。 17.(15分)分龙节需要从12名志愿者中选出5人组成服务组，其中男生7人，女生5人。 (1) 若要求服务组中至少有2名女生，求不同的选法数； (2) 若选出的5人排成一排进行合影，其中甲（女）、乙（男）必须相邻，且丙（女）不站在两端，求不同的排列方法数。 18.(17分)某中学有6名男生和4名女生报名参加“三月三”山歌节志愿者活动。 （1）从中选出4人组成一个服务小组，要求至少有2名女生，求不同的选法数； （2）若选出的4人排成一排进行合影，要求两端都是男生，求不同的排列方法数； （3）若从这10人中选3人分别担任领队、副领队和队长（一人一职），且要求领队必须是女生，副领队不能是男生中的甲（甲是男生），求不同的安排方法数。 19.(17分)数字8通常被视为幸运数，现从0~9这10个数字中取出4个数字组成一个四位数（千位不为0）。 (1)求所有无重复数字的四位数的个数； (2)从0~9中取数字（允许重复）组成四位数，其中恰好含两个数字8的四位数有多少个？ 学科网（北京）股份有限公司 $命题双向细目表 题号 题型 考查知识点 分值 难度系数 1 单选题 组合计数中的间接法：从总数中减去对立情形，解决含“不能同时入选”限制的选取问题 5 0.85 2 单选题 组合计数：“至少型”选取问题，分类讨论法（按所选山歌数量分类）或间接法（总数减去全选民乐） 5 0.9 3 单选题 排列组合综合应用：指定元素“必须同时入选”（捆绑思想）条件下的选取与全排列 5 0.8 4 单选题 二项式定理：利用通项公式求常数项（令字母指数为零解出 r） 5 0.75 5 单选题 二项式定理中的赋值法：令 x 取特殊值（如 x=1）求展开式各项系数之和 5 0.9 6 单选题 组合计数中的间接法：“至少一名”型选取问题，总数减去不含目标元素的情形 5 0.85 7 单选题 排列组合综合应用：分类讨论法解决“恰好一科相同”型条件计数问题，按相同科目是否指定分情形讨论 5 0.7 8 单选题 组合计数：分组选取中“每类至少一个”型问题，利用分类加法原理按各类选取数量分类后求组合数之和 5 0.7 9 多选题 二项式定理性质的综合判断：展开式的项数、二项式系数的对称性与最大值、特定项系数的正负、赋值法求系数和 6 0.7 10 多选题 排列问题的综合应用：相邻问题（捆绑法）、男女相间排列（插空法）、含位置限制（不在排头/排尾）的间接法、相邻综合 6 0.65 11 多选题 排列中的综合条件问题：不相邻（插空法）、相邻（捆绑法）、位置限制（不在首尾）、内部定序问题的综合判断 6 0.6 12 填空题 二项式定理：利用通项公式 求展开式中指定次幂项的系数 5 0.7 13 填空题 含限制条件的排列问题：从 n 个元素中选 m 个排列，特定元素“不能同时入选”条件下的选取与排列综合 5 0.75 14 填空题 分组分配问题：不同元素分配到不同对象（每对象至少一个），利用容斥原理或先分组后分配的策略求解 5 0.65 15 解答题 二项式定理的综合应用：利用二项式系数公式求n值，利用通项公式求常数项（令指数为零）与指定次幂项的系数 13 0.7 16 解答题 排列组合基础应用：简单的组合选取（不分顺序）、含“或”条件的限制选取（间接法/容斥法）、选取后的全排列 15 0.8 17 解答题 排列组合综合应用：“至少型”限制选取（含分类讨论或间接法）与相邻/位置限制排列问题的组合求解 15 0.7 18 解答题 排列组合递进式综合：含限制条件的选取 → 含位置条件的排列 → 带角色分配的排列（一人一职限制分配） 17 0.65 19 解答题 组数问题的综合应用：四位数的生成规则（千位非零限制），“恰好含 k 个指定数字”的分类讨论计数 17 0.6 $ 高二数学下学期阶段测试 第六章 计数原理 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C B A C B B A ABD BCD ABC 一、单选题 1. 答案：A 【解析】总选法，山歌和傩面舞同时入选的情况：从剩余4项选1项 . 故. 2. 答案：C 【解析】总选法： ，全为民乐：则. 3. 答案：B 【解析】香猪、香牛必选，再从剩余3种中选1种有种选法，选出3种全排列，总种展示顺序。 4. 答案：A 【解析】 令，解得.所以；，令,得， 所以 5. 答案：C 【解析】令, 6. 答案：B 【解析】间接法：总选法减去全是男教师. 7. 答案：B 【解析】第一步：四科中选择一科作为甲乙共同选择的科目，有种。 第二步：甲从剩余的三门选择一门，有种，乙从剩下的两门选择1门，种 总方案数:种。答案选B。 8. 答案：C 【解析】三种轨道各至少1颗，则4=2+1+1分布。 ① 从地球静止轨道（3颗）中选2颗：，其余两轨道各选1颗：=72， 小计。 ② 倾斜同步轨道选2颗：同理216。 ③ 中圆轨道选2颗：，另两轨道各选1颗：，小计 总:216+216+2484=2916。 二、多选题 9.答案：ABD 【解析】A正确，. B正确，. ，联立得 10.答案：BCD 【解析】【解析】4男3女共7人排成一排。 A. 错误，所有女生必须排在一起：将3名女生视为一组，共5个元素排列：5!=120；组内排列：3!=6.共720种。 B. 男女相间排列（正确）：4男3女相间格局"男女男女男女男"。 C. 正确，甲（男）不在排头，乙（女）不在排尾：总7!=5040；甲在头：720；乙在尾：720；甲在头且乙在尾：120. 满足条件共有：5040-720-720+120=3720种. D. 甲、乙两人必须相邻（正确）：捆绑法，. 11.答案：ABC 【解析】A：山歌类不相邻。先排非山歌类：舞蹈类2个、器乐类1个共3个，排列 3! = 6 种，产生4个空位（含两端），选3个空位放山歌类，总 24×6=144，故A正确. B：舞蹈类相邻。将2个舞蹈类捆绑，内部 2! = 2，视为一个整体与其余4个节目（3山歌+1器乐）共5个元素全排列 5! = 120，总 2×120=240，故B正确。 C：器乐类不在第一个也不在最后一个。先排器乐：有中间4个位置可选，即4种；其余5个节目全排列 5! = 120，总 4×120=480，故C正确。 D：山歌类内部顺序固定（即3个山歌的相对顺序固定，比如按S1,S2,S3顺序），舞蹈类内部顺序固定（D1,D2顺序），则所有节目排列数相当于将6个不同节目但部分顺序固定的排列，即，故D错误。 三、填空题答案 12. 【解析】 ，令16-3r=4,解得r=4 ,所以 13. 216 【解析】总安排数（无限制）：。甲乙同时入选：先选甲乙，再从剩余4人中选2人, , 4人全排列 =24，共 6×24=144 种。符合要求：360−144=216 种。 14.  540  【解析】 先分组，后分配。6人分3组（非空）有3种人数结构： 1. (4,1,1)型：分组数  ，分配给3组。 2. (3,2,1)型：分组数 ，分配 。 3. (2,2,2)型：分组数 ，分配 。 合计：90+360+90=540 种. 四、解答题 15.【解析】(1) 二项式展开式第4项的二项式系数为，解得 .…………（3分） (2) 通项公式 ， 令 得r=2，常数项 ………（8分） (3) 令   ，所以展开式中含 的项的系数为 ……（13分） 16.【解析】（1） 从5种特产中选3种，与顺序无关，选法种数为 .……（3分） (2)方法一（直接法）：含香猪或香牛的情况分为： 含香猪且含香牛：再从剩余3种中选1种，种 含香猪不含香牛：再从剩余3种（不含香牛）中选2种，种 含香牛不含香猪：同理 3 种. 合计种..……（7分） 方法二：（间接法）总数减不含两者：不含香猪且不含香牛的有种. 所以含香猪或香牛的情况共有种. (3)将选出的3种排列：.……（10分） 17.【解析】至少2名女生，即女生人数为2,3,4,5. 恰好2女：种 恰好3女： 恰好4女：种 恰好5女： 总计 = 350+210+35+1 = 596种.……（7分） (2) 由题意，甲、乙、丙均需被选中。先从剩余9人中选2人，有. 将甲乙捆绑，内部 2! = 2种； 捆绑体与丙及另外2人共4个元素排列，丙不能站在两端。4个元素全排列 4! = 24 丙在左端或右端的情况：丙固定一端，其余3元素全排列 3! = 6，两端共 12种，故丙不在两端的排法 24 - 12 = 12种. 再乘以捆绑内部2种，得 12×2=24 种。所以总的选人方案：36×24=864种..……（15分） 18. 【解析】（1）总选法. 女生0人（全男）：； 女生1人：. 故至少2名女生的选法为 210 - 15 - 80 = 115种..……（5分） (2)从6名男生中选2人放在两端，并考虑顺序：两端男生有 种； 剩下的2个位置（中间）从剩下的8人（4女+4男）中选2人并排列，有  种. 故总排列方法数为 30×56=1680 种.……（11分） (3) 先选领队：从4名女生中选1人，有4种. 再选副领队：从剩余9人中除去男生甲（甲未被选为领队，因为领队为女生）所以副领队可选人数为9−1=8 种 最后选队长：从剩余8人中选1人（除去领队和副领队），有8种. 故总安排方法数为4×8×8=256 种.……（17分） 19. （1）先选千位：有9种（1~9），其余三位从剩下9个数字中选3个排列，有 ， 所以总的个数为 9×504=4536 个..……（5分） （2）千位是8：则还需选一个8放在其他位，有3种；剩余两位从非8的9个数字中选两个并排列，有9×9=81种. 故千位是8的情况有3×81=243 个..……（10分） 千位不是8：千位从非0非8的8个数字中选，有8种； 从剩下的三个位置中选两个放8，有 种； 最后剩下的一个位置从剩下的9个数字中选，有9种（可以包括0）. 故此类个数为8×3×9=216个. 所以恰好含两个数字8的四位数的总个数 216 +243 = 459个..……（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $