高中数学单元测试——第四章数列（较易版01）

高中数学单元测试 —— 第四章 数列（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】借助等差数列性质计算即可得. 【详解】，解得. 故选：A. 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质即可列方程求解. 【详解】由于是与4的等比中项，故，解得， 故选：D 3．（本题5分）观察下列数列的特点，在划线处应填的数是（   ） 1，1，2，3，5，__________，13，...... A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】从第三项起，每一项与前两项之间的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以划线处填的数为，， 故选：B 4．（本题5分）在等差数列中，，则（    ） A．5 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】因为为等差数列， 所以，所以， 则. 故选：B. 5．（本题5分）记为正项等比数列的前项和，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得数列的公比，根据已知列方程求解的值，由等比数列前项和公式即可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，则， 所以，解得或（舍）， 故. 故选：A. 6．（本题5分）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 【答案】C 【分析】根据已知对数列用后项减前项，归纳出性质：，，然后由计算可得． 【详解】由题意得，，，…，所以，． 因此． 故选：C． 7．（本题5分）已知数列的前n项和为，且，，若，则k的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由得数列的递推式，构造新数列是等比数列，求出后解不等式可得． 【详解】, ，，， 所以是等比数列，公比为2，所以，， ，．的最小值为6． 故选：B． 8．（本题5分）已知数列中，，设，则数列的前30项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由递推公式求出数列是周期数列，再结合等比数列求和公式求出数列的前项和. 【详解】因为，则， 且，所以， 所以是周期为3的周期数列， 因为， 设数列的前30项和为， 则数列的前30项和为 ， ， 所以， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 【答案】BCD 【分析】根据数列的概念判断A，应用通项公式计算判断B，应用已知项求出通项公式计算判断C，D. 【详解】对于A，数列中的项与顺序有关， 故数列与数列是两个不同的数列，故A错误； 对于B，令，解得或（舍去）， 故110是该数列的第11项，故B正确； 对于C，数列，的一个通项公式是， 故第8个数是，故C正确； 对于D，数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列的最大项为 D． 【答案】AB 【分析】对于A，根据前和的概念，结合题意以及作差法，利用等差数列的定义，可得答案； 对于B，利用等差数列的求和公式，结合前项和的概念以及作差法，可得答案； 对于C，根据等差数列的单调性，明确每一项与零的大小关系，可得答案； 对于D，根据第六项与第七项与零的大小关系，结合加和的大小，可得答案. 【详解】对于A，由，则，， 所以等差数列的公差，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可知，，则当时，；当时，， 所以是数列的最大值，故C错误； 对于D，由A可知，由B可知，则，故D错误. 故选：AB. 11．（本题6分）若数列中存在使得，则称为平衡数列，记满足条件的最小的为，称为的“平衡数”，则（    ） A．若，则是“平衡数”为5的平衡数列 B．若，，则不是平衡数列 C．若，则是平衡数列 D．若，且，则是“平衡数”为3的平衡数列 【答案】ABD 【分析】由数列新定义，结合各选项数列递推公式逐个判断即可. 【详解】因为，令，得，， 所以是“平衡数”为5的平衡数列，故A正确； 的前6项依次为2，，，2，，，故是周期为3的周期数列，可验证不是平衡数列，故B正确； 若，则，故C错误； 对于D，由，得，因为，所以， 由，得， 当时，， 所以是“平衡数”为3的平衡数列，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知等比数列，，，则公比____. 【答案】 【分析】由等比数列的性质计算可得. 【详解】由题意得， 解得. 故答案为：2. 13．（本题5分）已知数列，满足，，则______. 【答案】 【分析】根据条件可得，然后求和即可. 【详解】由，，可得， . 故答案为： 14．（本题5分）已知正项数列满足，且，若存在，使得，则__________. 【答案】30 【分析】根据题意可得为等差数列，从而得到，利用裂项相消求出即可求解. 【详解】，则， 两边同除以得：，即， 为等差数列，设数列的公差为， 又， 则， ， 即，解得， ， ， . ∴解得. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)求的通项公式和前项和. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解； （2）先写出数列的通项公式，再分组求和即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，，所以，即， 设等差数列公差为， 因为，，所以，即. （2）因为，所以, 由（1）可得， 设前项和为， . 16．（本题15分）已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用,求得; (2)利用裂项相消法，求得. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，， 由，当时，，符合 综上所述，； （2）， 则； 故. 17．（本题15分）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）先证明为等差数列，然后可得通项； （2）利用错位相减法求出，然后可证； （3）判断数列单调性可得，然后验证前几项即可得证. 【详解】（1）因为，，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，得． （2）设， 则， 则， 因为，所以． （3）由（1）知，， 当时，，当时，， 所以，注意到， ，，，，， 所以的等项数对唯一，且唯一等项数对为． 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 19．（本题17分）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列. (1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值； (2)若数列为和积交替数列，且，. （i）若3是数列中的项，求实数的值； （ii）若，证明：. 【答案】(1)或 (2)（i）或；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据和积交替数列的定义，列出参数的方程组，求出参数的值. （2）（i）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项，由范围，求出后面项的大小范围，判断3可能出现的位置，求出参数的值. （ii）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项满足的条件，根据数列的递推公式，结合累乘法，通过对数运算，证明命题. 【详解】（1）由题知，， 解得，或； （2）（i）由题知，则，， 由，则；， 由，则；，但，， 所以；而，… 以此类推，当，时，. 所以若3是数列中的项， 则或或，解得或. （ii）易知数列中的项均为正整数，由题知，且， 所以，同取以2为底的对数，得， 即.又，所以， 则， 累乘整理，得， 所以时，. 当时，符合上述不等式， 所以，结论得证. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 数列（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（本题5分）观察下列数列的特点，在划线处应填的数是（   ） 1，1，2，3，5，__________，13，...... A．7 B．8 C．9 D．10 4．（本题5分）在等差数列中，，则（    ） A．5 B．10 C．12 D．15 5．（本题5分）记为正项等比数列的前项和，若，则（　　） A． B． C． D． 6．（本题5分）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 7．（本题5分）已知数列的前n项和为，且，，若，则k的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（本题5分）已知数列中，，设，则数列的前30项和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 10．（本题6分）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列的最大项为 D． 11．（本题6分）若数列中存在使得，则称为平衡数列，记满足条件的最小的为，称为的“平衡数”，则（    ） A．若，则是“平衡数”为5的平衡数列 B．若，，则不是平衡数列 C．若，则是平衡数列 D．若，且，则是“平衡数”为3的平衡数列 三、填空题 12．（本题5分）已知等比数列，，，则公比____. 13．（本题5分）已知数列，满足，，则______. 14．（本题5分）已知正项数列满足，且，若存在，使得，则__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)求的通项公式和前项和. 16．（本题15分）已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 17．（本题15分）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 19．（本题17分）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列. (1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值； (2)若数列为和积交替数列，且，. （i）若3是数列中的项，求实数的值； （ii）若，证明：. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $