第七章 随机变量及其分布章末复习卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 本卷为高中数学第七章随机变量及其分布章末复习卷，以生活情境为载体，覆盖分布列、期望方差、正态分布等核心知识点，适配单元复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|分布列计算、正态分布性质、贝叶斯公式、两点分布|基础题（如1-2题分布列）与中档题（如5题条件概率）结合，体现数学思维的逻辑性| |填空题|3题15分|正态分布应用、条件概率、超几何分布|联系实际（如12题身高统计），培养数据观念| |解答题|5题77分|二项分布、分层抽样、正态分布模型、全概率公式|以健身收费（16题）、促销抽奖（17题）等情境设计，凸显用数学语言表达现实世界的应用意识|

第七章 随机变量及其分布章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由随机变量分布列的性质知，解得. 2．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得， 所以. 3．已知随机变量服从正态分布，，则（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2 【答案】A 【详解】 由正态分布的对称性， ， 设 ，则 ， 由及对称性， 所以 ，解得 所以 4．将个编号为的小球放入个编号为的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，的可能取值为，分别计算其概率，然后利用方差的公式计算即可. 【详解】的可能取值为， ，， ，， 所以， 则， 所以，故D正确． 5．某一地区的患有癌症的人占0.002，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率大约为（   ） A．0.018 B．0.083 C．0.002 D．0.098 【答案】B 【分析】先使用全概率公式求出试验为阳性的概率，再使用贝叶斯公式求出这个条件概率. 【详解】设A事件为“该人患有癌症”，B事件为“试验反应是阳性”， 则， 根据全概率公式得 ， 根据贝叶斯公式得， 则. 6．若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，的分布列为 则，，故A，C正确； ，故B正确； ，故D错误. 7．一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中球的编号为偶数的个数，则以下结论不正确的是（    ） A．若采取有放回摸球，则 B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 【答案】D 【详解】若采取有放回摸球，每次摸到偶数球的概率，摸3次，则摸到偶数球的个数满足： ，期望为； 方差，故A，C正确； 若采取不放回摸球，的可能性为，则 ， ； ； ， 方差为， 故B正确，D错误． 8．已知，， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率公式可得出的值，根据，且与互斥，结合互斥事件的概率公式可求得的值，再利用条件概率公式可得出的值. 【详解】由条件概率公式可得 ，所以， 又因为，且与互斥，则， 由条件概率公式可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随机变量，，若，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二项分布的数学期望和方差运算公式，结合数学期望和方差的性质逐一判断即可. 【详解】因为随机变量，，且， 所以或， 当时，， 当时，，所以选项A不正确； 因为， 所以，所以选项B正确； 因为， 所以，所以选项C正确； 当时，， 因为， 所以； 当时，， 因为， 所以， 综上所述：，因此选项D正确. 10．若随机变量且，则下列选项正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．的最小值为50 【答案】CD 【分析】先根据正态分布 的对称性，由 推出 ；再利用期望的线性性质判断选项A，通过正态分布的对称性计算区间概率判断选项B，结合正态曲线的对称性与单调性比较概率大小判断选项C，最后利用均值不等式求解 的最小值判断选项D. 【详解】因为已知 ，则正态曲线关于直线 对称，且 ， 由条件 ，根据对称性可得 ，即 ， 选项A：根据期望的线性性质： ，A选项错误； 选项B：因为 ，由对称性 ， 所以 ， 因此 ，B选项错误； 选项C：根据正态分布的对称性：， 又因为 ，且正态分布的累积分布函数是增函数， 所以， 即 ，C选项正确； 选项D：因为，由均值不等式：， 当且仅当 时取等号，故 的最小值为50，D选项正确． 11．已知甲口袋中装有个红球，个白球，个黑球，乙口袋中装有个红球，个白球，个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项：由乘法公式计算即得；B选项：运用全概率公式求解即得；C选项：由贝叶斯概率公式计算即得；D选项：利用条件概率公式分别计算和，比较两个概率的大小即可. 【详解】对于A，由概率的乘法公式得，所以A正确； 对于B，由全概率公式得 ，故B错误； 对于C，由贝叶斯公式得，故C正确； 对于D，由条件概率公式得， ，因，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 【答案】23 【分析】根据正态分布特殊区间的概率求解即可. 【详解】因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布, 所以男生身高不低于190cm的概率为, 所以估计可以备选的男生人数约为人. 13．某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.4；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为__． 【答案】0.6/ 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设“第一天去餐厅用餐”为事件，“第一天去餐厅用餐”为事件，“第二天去餐厅用餐”为事件， 则，且与互斥， 根据题意得，，，， 由全概率公式得． 14．设第一个口袋有2个白球和4个黑球，第二个口袋有3个白球和3个黑球，从第一个口袋中一次性取2个球放入第二个口袋，再从第二个口袋中一次性取2个球，用表示第二次取出的2个球中白球的个数，则______. 【答案】 【分析】利用超几何分布和数学期望的公式即可求解. 【详解】设事件“从第一个口袋中取出的2个球中有个白球”，则，，. 的可能取值为，，，由，，，得. 同理，由，，， 得. 由，，， 得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有3个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为，求的分布列及均值； (2)若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列． 【答案】(1)分布列： X 0 1 2 3 P 均值为 (2)分布列： Y 0 1 2 P 【分析】（1）识别出有放回重复抽样模型服从二项分布 ，利用二项分布概率公式计算各取值的概率，再通过期望定义或二项分布期望公式求解均值. （2）以“从甲袋中取出的球的颜色”为划分依据，利用全概率公式，结合超几何分布计算不同条件下从乙袋取红球的概率，合成得到随机变量 的分布列. 【详解】（1）由题意，的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 P ． 或由题意，所以． （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，则，， 则由题意的可能取值为0，1，2， ， ， ． 所以的分布列为： Y 0 1 2 P 16．某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列. 【答案】(1) (2) 0 50 100 150 200 【分析】（1）按“两人费用均为0元、均为50元、均为100元”三类情况分类，利用独立事件概率乘法公式计算每类概率，再求和得到费用相同的概率. （2）先确定随机变量（两人健身费用之和）的所有可能取值，再结合两人不同费用的组合情况，用独立事件概率公式计算各取值的概率，列出分布列. 【详解】（1）依题意，两人都付0元的概率； 两人都付50元的概率； 两人都付100元的概率， 则甲、乙两人所付的健身费用相同的概率为. （2）由题意知，的所有可能取值为0，50，100，150，200， ， 所以的分布列为 0 50 100 150 200 17．2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算 【分析】（1）先求出顾客享受到免单优惠的概率，再根据独立事件的概率乘法公式求解即可. （2）结合离散型随机变量及二项分布的期望公式分别求出方案一、方案二的数学期望，比较即可. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 18．一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 【答案】(1) (2)（i）万人（ii） 0 1 2 3 【分析】（1）先确定符合条件的频数区间，得出符合条件的总人数，再用组合数分别计算总情况数和符合条件的情况数，进而求出概率； （2）（i）根据已知条件确定正态分布的两个参数，确定分布，利用正态分布的对称性结合附表计算概率，再利用概率乘以该市总人口，得出对应人数；（ii）将独立重复试验转化为二项分布，求出单次成功概率，进而确定分布类型，再利用二项分布概率公式求出分布列及期望． 【详解】（1）由频数分布表知，旅游支出不低于元的市民人数为：人， 则从人中随机抽取人的总情况数为：； 符合条件的情况数为：； 符合条件的概率为：． （2）由频数分布表，结合题意可得各组中间值为：， 则样本平均数为， 已知，则； （i）元即为千元，则， 由正态分布的性质：， 则， 该市万市民中，支出在元以上的市民人数约为： 万人． （ii）元即千元，正态分布关于对称，则， 随机变量表示支出在元以上的人数，故， 则，，， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为： ． 19．为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 【答案】(1)分 (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可； （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望； （3）利用全概率公式可得. 【详解】（1）由频率分布直方图，这组数据的平均值为： (分)； （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图， 得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为； 易知， 所以， ， ， . 所以X的分布列为 X的数学期望是. （3）由三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5，得在所有的“滇超达人”中随机抽选一人， 则这名学生是甲、乙、丙三校学生的概率分别是. 已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%， 所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人， 这名学生是“滇超达人”的概率为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量服从正态分布，，则（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2 4．将个编号为的小球放入个编号为的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为，则（    ） A． B． C． D． 5．某一地区的患有癌症的人占0.002，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率大约为（   ） A．0.018 B．0.083 C．0.002 D．0.098 6．若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中球的编号为偶数的个数，则以下结论不正确的是（    ） A．若采取有放回摸球，则 B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 8．已知，， ，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随机变量，，若，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 10．若随机变量且，则下列选项正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．的最小值为50 11．已知甲口袋中装有个红球，个白球，个黑球，乙口袋中装有个红球，个白球，个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 13．某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.4；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为__． 14．设第一个口袋有2个白球和4个黑球，第二个口袋有3个白球和3个黑球，从第一个口袋中一次性取2个球放入第二个口袋，再从第二个口袋中一次性取2个球，用表示第二次取出的2个球中白球的个数，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有3个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为，求的分布列及均值； (2)若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列． 16．某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列. 17．2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 18．一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 19．为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $