海南高二数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版选择性必修第三册第七章

**基本信息** 高二数学下学期“随机变量及其分布”单元测，含原创与新情境题，融合手机管理、商场抽奖等现实场景，考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正态分布、二项分布、条件概率|7题原创（社团竞赛）、8题新情境（奇检验码）| |多选题|3/18|事件独立性、方差、二项分布期望|9题辨析互斥与独立关系，11题结合信号传输| |填空题|3/15|全概率、排列组合、古典概型|14题四问对比不同情境概率计算| |解答题|5/77|分布列、期望、信息熵|16题手机使用调查（数据意识），18题商场抽奖（模型观念），19题猜成语（应用意识）|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 二项分布及其概率计算 0.75 2 单选题 5 正态分布的性质与应用 0.8 3 单选题 5 二项分布的期望、概率计算 0.75 4 单选题 5 全概率公式、古典概型 0.7 5 单选题 5 随机变量的期望与方差性质 0.65 6 单选题 5 条件概率、古典概型 0.6 7 单选题 5 相互独立事件概率、离散型随机变量概率 0.6 8 单选题 5 独立事件概率、条件概率、信息传输 0.55 9 多选题 6 互斥与独立事件、方差性质、二项分布期望、正态分布 0.65 10 多选题 6 正态分布的性质、概率计算 0.6 11 多选题 6 独立重复试验概率、全概率公式 0.55 12 填空题 5 条件概率公式、概率基本性质 0.7 13 填空题 5 全概率公式、产品合格率计算 0.65 14 填空题 5 排列组合与古典概型综合 0.6 15 解答题 13 离散型随机变量的分布列、期望、方差 0.7 16 解答题 15 频率分布直方图、平均数、二项分布 0.65 17 解答题 15 古典概型、离散型随机变量分布列、期望、全概率公式 0.6 18 解答题 17 全概率公式、二项分布、分布列与数学期望 0.55 19 解答题 17 条件概率、信息熵、离散型随机变量期望 0.45 $ 应用场景：单元测 高二数学下学期阶段测试 第7章 随机变量及其分布 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若随机变量，且，则(X=4)的值是（    ） A． B． C． D． 2. 已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（    ） A． B． C． D． 3．某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响．设随机变量X为该射手在n次射击中击中目标的次数，若，则P的值为（    ） A． B． C． D． 4．有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和1个红球，这8个球除颜色外没有区别，现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 5．已知两个随机变量，，其中，，若，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 6. 掷一个均匀的骰子．记A为“掷得点数大于等于2”，B为“掷得点数为奇数”，则为（    ） A． B． C． D． 7. （原创）某学校社团举办知识竞赛，分为初赛和复赛两个阶段。已知进入复赛的选手在复赛中通过的概率为，未进入复赛的选手直接被淘汰。该校高二（1）班有甲、乙两名同学报名参赛，甲通过初赛进入复赛的概率为，乙通过初赛进入复赛的概率为，且两人是否通过初赛相互独立。记该班最终通过竞赛（进入复赛且通过复赛）的人数为，则的值为( ) A. B. C. D. 8．（新情境题）以码的方式在信道内发送位码数据流，前位为信息码，最后一位为奇检验码，使得位码数据流中的个数为奇数，如若信息码为，则检验码为，所发送数据流为.每位码信号的传输相互独立，发送时，收到的概率为，收到的概率为.接收方收到数据后，若数据流中的个数是偶数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则下列说法错误的是（    ） A．位码数据流传输无误的概率为 B．接收方要求重新发送该数据的概率为 C．若所接收数据流中的个数是奇数个，则信息码传输正确的概率为 D．若所接收数据流中的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为 二、多选题：本题共3小题，共18分. 在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求. 9．下列命题中，正确的是（    ） A．若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立 B．已知随机变量X的方差为，则= C．已知随机变量X服从二项分布，则E（X）=2 D．已知随机变量X服从正态分布，若，则 10．设随机变量，则（   ） A． B． C． D．在上单调递增 11．在信道内传输0，1信号．信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.09 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 三、填空题：本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12．已知，，，则________. 13．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______． 14．（1）甲、乙、丙、丁、戊，己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为； （2）高二年级举行演讲比赛，共有10名学生参赛，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名．记一班的3名学生恰好被排在一起的概率为； （3）一个盒子中有大小与质地相同的20个球，10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，记第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率为； （4）从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，记该球是黑色的概率为． 则从小到大的顺序为：__________． 四、解答题 ：本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程. 15．设，试求：(1)； (2)； (3)． 16．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于 2021 年 1 月 15 日下发 文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定. 某中学研究型学习小组调查研究 “中学生每日使用手机的时间”. 从该校中随机调查了 100 名学生，得到如下统计表: 时间tmin 人数 10 36 34 10 6 4 (1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数 (同一组数据用该组区间的中点值作代表); (2)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选 3 人，记这 3 人每日使用手机的时间在 的人数 为随机变量，求的分布列和数学期望. 17．小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题． (1)设小张抽到球的个数为，求的分布列及． (2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率； 18. （原创）某商场为提升客流量，推出“幸运转盘”抽奖活动，规则如下：顾客消费满100元可获得1次转盘机会，转盘分为A、B两个区域，指针落在A区域的概率为，落在B区域的概率为。若指针落在A区域，可直接获得1张50元优惠券；若落在B区域，则需参加“猜正反”游戏：连续抛掷2枚硬币，若2次正面朝上，可获得1张50元优惠券，否则无奖励。 （1）求顾客单次抽奖获得50元优惠券的概率； （2）若某顾客消费满300元，获得3次独立抽奖机会，记其获得的优惠券总金额为元，求的分布列和数学期望。 19．（新情境题）甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第k轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响. (1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率； (2)若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，，……，，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H； (3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：单元测 高二数学下学期阶段测试 第7章 随机变量及其分布 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C C B D C D BCD BD CD 1．【答案】A 【解析】随机变量，则，解得 则 . 故选：A 2.【答案】B 【解析】依题意，数学成绩在80分至95分的有人， 由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人， 故. 故选：B. 3．【答案】C 【解析】由题意可得：， 则，解得. 故选：C. 4．【答案】C 【解析】记“从甲袋中取出白球”为事件，“从甲袋中取出红球”为事件，“从乙袋中取出白球”为事件，由题意可知， 当事件发生时，乙袋中有3个白球，1个红球，此时从乙袋中取出白球的概率为； 当事件发生时，乙袋中有2个白球，2个红球，此时从乙袋中取出白球的概率为；由全概率公式得，． 5.【答案】B 【解析】由，则，故， 所以，又因为，可得.故选：B. 6．【答案】D 【解析】事件有下列可能： ，共5种；在事件A条件下满足条件有：共2种，所以.故选：D. 7.【答案】C 【解析】甲通过竞赛需要先通过初赛，再通过复赛，两个事件相互独立，因此： ， 甲未通过竞赛的概率为：； 同理，乙通过竞赛的概率为：， 乙未通过竞赛的概率为：. 由于甲、乙的竞赛结果相互独立，因此甲通过且乙未通过的概率：， 乙通过且甲未通过的概率：， 两种情况互斥，所以，故选：C 8．【答案】D 【解析】对于A选项，每位数据码传输正确的概率均为，传输错误的概率为， 由独立事件的概率公式可知，位码数据流传输无误的概率为，A对； 对于B选项，设接收方要求重新发送该数据的概率为，不用重新发数据的概率为， 接收方要求重新发送该数据，意味着数据码在传输时传错的数码的个数为或或， 则，， 所以，，① ，② ①+②得，则，B对； 对于C选项，由①②可得，则， 记事件所接收数据流中1的个数是奇数个，事件信息码传输正确，则， 事件意味着，数据流前四位是正确的，最后一位也是正确的，所以，， 由条件概率公式可得，所以，若所接收数据流中1的个数是奇数个，则信息码传输正确的概率为，C对； 对于D选项，记事件所接收数据流中1的个数是偶数个，则， 事件意味着数据流前四位是正确的，最后一位是错误的，则， 由条件概率公式可得，D错. 故选：D. 9．【答案】BCD 【解析】对A：由互斥事件与独立事件的定义，设事件A、B都是概率不为0的事件，若事件A与事件B是互斥事件，则，而若事件A与事件B是相互独立事件，则，故选项A错误； 对B：由方差的性质可知，随机变量X的方差为，则=，故选项B正确； 对C：由随机变量X服从二项分布，则，故选项C正确； 对D：由随机变量X服从正态分布，，则，故选项D正确. 故选：BCD. 10．【答案】BD 【解析】对于A，随机变量，则随机变量的方差为1，均值为0， 所以正态分布曲线关于轴对称，则，错误； 对于B，， ， 所以，即，正确； 对于C，， ，错误； 对于D，，且随机变量， 则函数在上是单调增函数，正确．故选：BD 11．【答案】CD 【解析】由题意，设事件为“发送信号0”，事件为“发送信号1”，事件为“接收信号为0”，事件为“接收信号为1”，则，，，， 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为，A错； 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为，B错； 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为，C对； 接收信号为1的概率为，解得即发送信号为1的概率为，可得，D对. 故选：CD 12．【答案】/ 【解析】,，， 即，则.故答案为： 13．【答案】0.86/ 【解析】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”， 事件为“购买的灯泡是合格品”，则，， ，，所以. 故答案为：0.86. 14．【答案】 【解析】（1）6个人的全排列数为，其中甲乙不相邻的排列数为，则； （2）10名学生的全排列数为，一班的3名学生恰好被排在一起的排列数为，； （3）两人各摸1个球的方法数为，第一、二个人分别摸红、白球的方法数为，； （4）记从甲袋摸出2白球、1白1黑球、2黑球的事件分别为，乙袋中摸出1黑球的事件为，则，， 由全概率公式得， 而，所以从小到大的顺序为. 故答案为： 15.【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1），，．（1分） ．（4分） （2）， ． （8分） （3）， ． （13分） 16.【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【解析】（1）由题意得，随机选取的该校这 100 名学生每日使用手机的时间的平均数为 （3分） 所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为 .（4分） （2） 由题意知该校学生每日使用手机的时间在 内的概率估计为， 则，（6分） 所以（8分） ，（10分） 所以的分布列为: X 0 1 2 3 P （14分） 所以 . (或.（15分） 17．【答案】(1)分布列见解析，；(2) 1 2 3 【解析】（1）的所有可能取值为1，2，3，则，，，（4分） 所以的分布列为 故． （8分） （2）记事件为“小张回答类题”，为“小张回答类题”，为“小张回答论述题”．（9分） 由（1）知，，（11分） 由题意知，，（13分） 所以．（15分） 18. 【答案】(1)； （2）见解析. 【解析】（1）设事件为“顾客单次抽奖获得50元优惠券”，事件为“指针落在A区域”，事件为“指针落在B区域”，事件为“猜正反游戏获胜”。（1分） 根据题意，和是互斥且完备的事件组，由全概率公式： 指针落在A区域时，直接获得优惠券，故. （3分） 已知；指针落在B区域时，需通过猜正反游戏获胜才能获得优惠券。 连续抛2枚硬币，总共有种等可能结果，2次正面朝上的情况只有1种， 因此，即. （5分） 已知，代入计算：. （7分） （2）顾客有3次独立抽奖机会，每次获得优惠券的概率为，未获得的概率为。设获得优惠券的次数为，则（二项分布），而优惠券总金额，因此的可能取值为0，50，100，150。（8分） 根据二项分布的概率公式（），计算对应的概率： 当时，： 当时，： 当时，： 当时，： . （11分） 因此的分布列为： 0 50 100 150 根据二项分布的数学期望公式，可得： . （16分） 再由期望的线性性质，得： . （17分） 19．【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）设“甲在第i轮活动中猜对成语”，“乙在第i轮活动中猜对成语”， “甲乙在第i轮活动中都都猜对成语”，，（1分） 则 ， （4分） 故.（5分） （2）由题意知，1，2. （6分） 由（1）知， ，.（8分） 故X的信息熵. （10分） （3）第二轮甲猜对的概率为， 第二轮乙猜对的概率为，（12分） 所以，，每一轮甲乙都猜错的概率为， 因此， （14分） 则① 所以，② ①②得，所以. （17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $