广东湛江市雷州市五校联考2025-2026学年七年级（下）素养提升数学试卷（一）

**基本信息** 2025-2026学年雷州五校联考七年级下数学期中卷，以实数、平行线为核心，通过物理光反射、图形折叠等跨学科与实践情境，考查抽象能力、推理意识及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、平方根计算、平移性质|基础概念辨析，如第1题无理数识别| |填空题|5/15|实数比较、垂线段最短、三角板角度计算|结合几何直观，如第12题垂线段最小值| |解答题（一）|3/21|实数运算、平行线证明、平方根应用|基础技能巩固，如17题平行线判定推理| |解答题（二）|3/27|平行公理推论、正方形拼接、角平分线与平行|能力提升，如20题图形剪拼培养空间观念| |解答题（三）|2/27|无理数估算、光反射与平行证明|创新应用，23题物理光反射融合考查推理能力|

2025-2026学年广东省湛江市雷州市五校联考七年级（下）素养提升数学试卷（一） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　） A． B．3 C．3.141 D． 2．（3分）9的平方根是（　　） A．±3 B．±9 C．3 D．﹣3 3．（3分）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列算式中，正确的是（　　） A．＝±5 B．±＝3 C．＝﹣2 D．＝﹣1 5．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．60° C．35° D．120° 6．（3分）下列说法正确的是（　　） A．是3的算术平方根 B．（﹣2）2的算术平方根是﹣2 C．﹣27没有立方根 D．的平方根是±4 7．（3分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判断AB∥CD的是（　　） A．∠5＝∠B B．∠1＝∠2 C．∠B+∠BCD＝180° D．∠3＝∠4 8．（3分）若m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 9．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　） A．若a∥b，b∥c，则b⊥c B．内错角相等 C．互补的两个角是邻补角 D．两直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直 10．（3分）如图是一张长条形纸片，其中AB∥CD，将纸片沿EF折叠，若∠1＝∠2，则∠D′FC的度数为（　　） A．72° B．36° C．60° D．65° 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）比较大小： 　 　 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个） 12．（3分）如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，连接CM．若CD＝6，则线段CM的长的最小值是　 　 ． 13．（3分）若≈1.732，≈5.477，则≈　 　 ． 14．（3分）一副直角三角板如图所示放置，点E在BC的延长线上，BC∥DF　 　 ． 15．（3分）如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为12m2，则a＝　 　 m． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）计算：． 17．（7分）如图，∠B＝70°，∠ACE＝140°，请说明：AB∥CD． 18．（7分）已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9． （1）求a的值及这个正数； （2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）在下列解答中，填空（理由或数学式）． 如图，已知直线b∥c，∠1＝116° （1）求∠AOB的度数． （2）求证：直线a∥c． 解：（1）∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2 （ 　 　 ）， ∴∠2＝116° （ 　 　 ）． ∵b∥c（已知）， ∴∠AOB＝∠2 （ 　 　 ）． ∴∠AOB＝　 　 （等量代换）． 证明：（2）∵∠3＝∠4 （ 　 　 ）， ∴a∥b （ 　 　 ）． 又∵b∥c（已知）， ∴a∥c （ 　 　 ）． 20．（9分）如图，把两个面积均为8cm2的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）． （1）大正方形纸片的边长为　 　 cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为18cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能 21．（9分）如图，直线AB和CD被直线MN所截． （1）如图①，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE　 　 时，AB∥CD； （2）如图②，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE　 　 时，AB∥CD； （3）如图③，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，AB∥CD？请说明理由． 五、解答题（三）：本大题共小题，22小题13分，23小题14分，共27分。 22．（13分）阅读并回答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分不能全部写出来，但是根据，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答下面题目． （1）的整数部分是　 　 ； （2）如果的整数部分是a，的小数部分是b，求； （3）如果，其中x是整数，且0＜y＜1 23．（14分）【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，∠3＝∠4． 【问题解决】 （1）判断BC与EF是否平行． 答：平行． 理由：∵AB∥DE（已知）， ∴∠1＝∠3，依据是 　 　 ； ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）， ∴∠2＝∠4，依据是 　 　 ； ∴反射光线BC与EF平行，依据是 　 　 ． 【尝试探究】 （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，∠3＝∠4，请证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH平行． 【拓展应用】 （3）如图3，改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，∠1＝∠2，∠3＝∠4 2025-2026学年广东省湛江市雷州市五校联考七年级（下）素养提升数学试卷（一） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　） A． B．3 C．3.141 D． 【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：A、是有理数； B、5是有理数； C、3.141是有理数； D、是无理数； 故选：D． 2．（3分）9的平方根是（　　） A．±3 B．±9 C．3 D．﹣3 【分析】直接根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵（±3）2＝3， ∴9的平方根为±3． 故选：A． 3．（3分）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答． 【解答】解：观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到． 故选：A． 4．（3分）下列算式中，正确的是（　　） A．＝±5 B．±＝3 C．＝﹣2 D．＝﹣1 【分析】直接利用实数的性质分别化简得出答案． 【解答】解：A、＝5； B、±＝±8； C、＝6； D、＝﹣8； 故选：D． 5．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．60° C．35° D．120° 【分析】根据垂直的定义得到∠BOD＝30°，由对顶角相等即可求解． 【解答】解：∵OE⊥CD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠BOE＝60°， ∴∠BOD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠AOC＝∠BOD＝30°． 故选：A． 6．（3分）下列说法正确的是（　　） A．是3的算术平方根 B．（﹣2）2的算术平方根是﹣2 C．﹣27没有立方根 D．的平方根是±4 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义逐项判断即可． 【解答】解：是3的算术平方根； （﹣5）2的算术平方根是2，则B不符合题意； ﹣27的立方根是﹣5，则C不符合题意； ＝4，其平方根为±2； 故选：A． 7．（3分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判断AB∥CD的是（　　） A．∠5＝∠B B．∠1＝∠2 C．∠B+∠BCD＝180° D．∠3＝∠4 【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【解答】解：A、当∠5＝∠B时，不合题意； B、当∠1＝∠5时，不合题意； C、当∠B+∠BCD＝180°时，不合题意； D、当∠3＝∠4时，符合题意； 故选：D． 8．（3分）若m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：∵m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根， ∴m+2+m﹣2＝0， 解得m＝﹣5， 故选：D． 9．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　） A．若a∥b，b∥c，则b⊥c B．内错角相等 C．互补的两个角是邻补角 D．两直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直 【分析】A选项根据平行公理的推论，若a∥b且b∥c，则应得出a∥c，而非垂直，故为假命题； B选项“内错角相等”必须建立在“两直线平行”的前提下才成立，缺少条件，故为假命题； C选项互补的角只需和为180度，不一定需要相邻（即有公共边），所以不一定是邻补角，故为假命题； D选项两直线相交形成的四个角之和为360度，若四个角相等，则每个角均为90度，符合垂直的定义，故为真命题． 因此，正确答案是D． 【解答】A选项：根据平行公理，若a∥b且b∥c，并非b⊥C． B选项：内错角相等的前提是两直线平行，缺少该条件时不成立． C选项：互补指两角和为180°，邻补角还需满足有公共边且另一边互为反向延长线，故为假命题． D选项：两直线相交形成四个角，总和为360°若四个角相等，此时两直线互相垂直，故为真命题． 故选：D． 10．（3分）如图是一张长条形纸片，其中AB∥CD，将纸片沿EF折叠，若∠1＝∠2，则∠D′FC的度数为（　　） A．72° B．36° C．60° D．65° 【分析】依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠A'EF＝60°，∠1＝60°，再根据平行线的性质，即可得到∠D′FC的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠AEF， 由折叠可得∠A'EF＝∠AEF， 又∵∠1＝∠5， ∴∠AEF＝∠A'EF＝∠2， ∵∠AEB＝180°， ∴∠A'EF＝60°，∠1＝60°， ∵A'E∥D'F， ∴∠A'EF+∠D'FE＝180°， ∴∠D'FC＝180°﹣60°﹣60°＝60°， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）比较大小： 　＜　 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个） 【分析】估算无理数的大小即可． 【解答】解：∵4＜7＜2， ∴＜＜， 即2＜＜4， 故答案为：＜． 12．（3分）如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，连接CM．若CD＝6，则线段CM的长的最小值是　6　 ． 【分析】根据垂线段最短可得结论． 【解答】解：∵CD⊥AB，且CD＝6， 由题意可得：当点M与点D重合时，CM最短， 所以，CM的最小值为CD的长． 故答案为：6． 13．（3分）若≈1.732，≈5.477，则≈　54.77　 ． 【分析】根据二次根式的性质把进行化简，再把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵≈5.477， ∴≈10， 故答案为：54.77． 14．（3分）一副直角三角板如图所示放置，点E在BC的延长线上，BC∥DF　15°　 ． 【分析】由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB＝45°，即可求出∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°． 【解答】解：∵BC∥DF， ∴∠CDF＝∠ACB＝45°， ∵∠EDF＝30°， ∴∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°． 故答案为：15°． 15．（3分）如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为12m2，则a＝　5　 m． 【分析】根据小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【解答】解：依题意得：3（a﹣1）＝12， a﹣8＝4， a＝5． 故答案为：7． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）计算：． 【分析】根据实数的运算法则计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝． 17．（7分）如图，∠B＝70°，∠ACE＝140°，请说明：AB∥CD． 【分析】先由CD平分∠ACE，根据角平分线定义得出∠DCE＝∠ACE＝70°，那么∠B＝∠DCE，再根据同位角相等，两直线平行即可说明AB∥CD． 【解答】证明：∵CD平分∠ACE，∠ACE＝140°， ∴∠DCE＝∠ACE＝70°， ∵∠B＝70°， ∴∠B＝∠DCE， ∴AB∥CD． 18．（7分）已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9． （1）求a的值及这个正数； （2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解． 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答； （2）根据平方根的定义解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣5＝0， 解得a＝1， 所以（a+5）2＝72＝49， 所以这个正数是49； （2）当a＝1时，方程ax2﹣16＝4为 x2﹣16＝0， x3＝16， x＝±4， 所以关于x的方程ax2﹣16＝2的解是x＝4或x＝﹣4． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）在下列解答中，填空（理由或数学式）． 如图，已知直线b∥c，∠1＝116° （1）求∠AOB的度数． （2）求证：直线a∥c． 解：（1）∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2 （ 　对顶角相等　 ）， ∴∠2＝116° （ 　等量代换　 ）． ∵b∥c（已知）， ∴∠AOB＝∠2 （ 　两直线平行，同位角相等　 ）． ∴∠AOB＝　116°　 （等量代换）． 证明：（2）∵∠3＝∠4 （ 　已知　 ）， ∴a∥b （ 　内错角相等，两直线平行　 ）． 又∵b∥c（已知）， ∴a∥c （ 　如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　 ）． 【分析】（1）根据对顶角相等求出∠2＝116°，再根据“两直线平行，同位角相等”求解即可； （2）根据“内错角相等，两直线平行”推出a∥b，再根据“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”即可得解． 【解答】（1）解：∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2（对顶角相等）， ∴∠2＝116° （等量代换）， ∵b∥c（已知）， ∴∠AOB＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∴∠AOB＝116°（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；等量代换，同位角相等； （2）证明：∵∠5＝∠4（已知）， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）． 又∵b∥c（已知）， ∴a∥c（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：已知；内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行． 20．（9分）如图，把两个面积均为8cm2的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）． （1）大正方形纸片的边长为　4　 cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为18cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能 【分析】（1）求出大正方形的面积，根据正方形的面积公式，即可得出大正方形的边长； （2）根据长方形的面积公式列方程，可得长方形的长，与大正方形的边长作比较即可． 【解答】解：（1）∵小正方形的面积为8cm2， ∴6×2＝16（cm2），即大正方形的面积为16cm4， ∴，即大正方形的边长为4cm， 故答案为：2． （2）不能使裁剪出的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为18cm2， 理由： 设长方形纸片的宽为xcm，长为4xcm，则面积为2x•x＝2x3（cm）2， 则根据题意列一元二次方程得，2x7＝18，x＞0得， ∴2x＝5 ∴长方形纸片的长为6cm， ∵6＞5， ∴沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片， 答：不能使裁剪出的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为18cm2． 21．（9分）如图，直线AB和CD被直线MN所截． （1）如图①，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE　∠1+∠2＝90°　 时，AB∥CD； （2）如图②，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE　∠1＝∠2　 时，AB∥CD； （3）如图③，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，AB∥CD？请说明理由． 【分析】（1）根据角平分线定义得出∠BEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2，∠1+∠2＝90°时，求出∠BEF+∠DFE＝180°，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出∠BEM＝2∠1，∠DFE＝2∠2，求出∠BEM＝∠DFE，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出∠AEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2，求出∠AEF＝∠DFE，根据平行线的判定推出即可． 【解答】解：（1）∵EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，∠DFE＝2∠2， ∵∠3+∠2＝90°， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， ∴AB∥CD， 故答案为：∠1+∠5＝90°； （2）∵EG平分∠BEM，FH平分∠DFE， ∴∠BEM＝2∠1，∠DFE＝4∠2， ∵∠1＝∠4， ∴∠BEM＝∠DFE， ∴AB∥CD， 故答案为：∠1＝∠2； （3）∠7＝∠2时，AB∥CD ∵EG平分∠AEF，FH平分∠DFE， ∴∠AEF＝2∠6，∠DFE＝2∠2， ∵∠4＝∠2， ∴∠AEF＝∠DFE， ∴AB∥CD． 五、解答题（三）：本大题共小题，22小题13分，23小题14分，共27分。 22．（13分）阅读并回答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分不能全部写出来，但是根据，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答下面题目． （1）的整数部分是　2　 ； （2）如果的整数部分是a，的小数部分是b，求； （3）如果，其中x是整数，且0＜y＜1 【分析】（1）估算的大小，进行解答即可； （2）估算大小，求出a，b，再代入所求代数式进行计算即可； （3）先估算的大小，求出x，y，从而求出x﹣y，再估算x﹣y的值，从而求出答案即可． 【解答】解：（1）∵， ∴的整数部分是2， 故答案为：3； （2）∵， ∴的整数部分a＝5， ∴ ＝ ＝； （3）∵， ∴， ∴的整数部分是6， ∵x是整数，且0＜y＜1， ∴， ∴x﹣y ＝ ＝ ＝， ∵， ∴， ∴， 8， ∴的整数部分是7． 23．（14分）【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，∠3＝∠4． 【问题解决】 （1）判断BC与EF是否平行． 答：平行． 理由：∵AB∥DE（已知）， ∴∠1＝∠3，依据是 　两直线平行，同位角相等　 ； ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）， ∴∠2＝∠4，依据是 　等量代换　 ； ∴反射光线BC与EF平行，依据是 　同位角相等，两直线平行　 ． 【尝试探究】 （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，∠3＝∠4，请证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH平行． 【拓展应用】 （3）如图3，改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，∠1＝∠2，∠3＝∠4 【分析】（1）根据平行线的判定和性质进行解答即可； （2）根据AB∥CD，得出∠2＝∠3，证明∠1＝∠2＝∠3＝∠4，得出∠EFG＝∠FGH，即可证明结论； （3）根据平行线的性质得出∠FEG+∠EGH＝180°，根据∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝360°，得出∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，求出，最后根据三角形内角和求出结果即可． 【解答】（1）解：平行， 理由：∵AB∥DE（已知）， ∴∠1＝∠3，依据是两直线平行； ∵∠7＝∠2，∠3＝∠8（已知）， ∴∠2＝∠4，依据是等量代换； ∴反射光线BC与EF平行，依据是同位角相等； 故答案为：两直线平行，同位角相等；同位角相等； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠3＝∠2＝∠3＝∠6， ∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠5﹣∠4， 即∠EFG＝∠FGH， ∴EF∥GH； （3）∵EF∥GH， ∴∠FEG+∠EGH＝180°， ∵∠1+∠6+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝360°， ∴∠2+∠2+∠3+∠6＝180°， ∵∠1＝∠2，∠5＝∠4， ∴， ∴α＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣90°＝90°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/1 20:52:37；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $