精品解析：2026年吉林四平市第三中学校九年级第四次学情自测数学试卷

2026年吉林四平市第三中学校九年级第四次学情自测数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列分别是古算诗词题“圆中方形”，“方形圆径”，“圆材藏壁”，“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 中 B. 神 C. 精 D. 天 3. 维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼类、蛋黄、动物肝脏等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．若一名成人每天摄入的维生素D量约为，则将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，一张四边形纸片，，点E，F分别在，上，把纸片沿折叠，折叠后点C，D分别到了点，处．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 8. 如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条． 9. 如图，绕点逆时针旋转得到，已知，则的度数为______． 10. 若一个正数的两个平方根是和，则的值是________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与反比例函数在第一象限的图象交于两点．已知点的横坐标为1，点的横坐标为，连接，则的长为__________．（结果保留） 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 下面是小颖化简整式的过程，请仔细阅读后解答所提出的问题． 解： 第1步 ．第2步 （1）小颖的化简过程从第______步开始出现错误； （2）请写出此题正确的化简步骤． 13. 如图，一圆环被条线段分成个区域，现有火星探测模型和空间站模型各一个，将这两个模型随机放在任意两个不同区域内． （1）火星探测模型放在区域的概率是______； （2）求火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率（请用画树状图或列表的方法表示）． 14. 某学校推行“健康第一的理念”，组织学生参加体育锻炼活动．已知男生和女生分开进行训练，男生组每小时消耗能量千卡，女生组每小时消耗能量千卡．若某次活动男生组训练时间比女生组长小时，且两组消耗的总能量为千卡．问女生组和男生组训练时间分别是多少小时？ 15. 如图，在中，，点D、E分别在上，．求证：． 16. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图中作的中线； （2）在图中作出的高线； （3）在图中上作一点，使点到、的距离相等． 17. 某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 （1）表中的值为______，的值为______； （2）表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； （3）企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 18. 如图1是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图2是其截面示意图（液面宽度忽略不计），小亮测量发现：，，，，两液面之间的距离（的长度）与液面的高度相同，求连通器装置中液体的长度（即的值）．（结果精确到．参考数据：，，） 19. 如图，矩形的边、的长分别是方程的两个根（），点在线段上，沿折叠矩形，使边落在轴上，点、的对应点为、． （1）求点的坐标； （2）将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积与运动时间的关系式； （3）点是直线上一点，试在平面内确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 20. 如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．设链条长度为，链条节数为． （1）观察图形，填写如表： 链条节数节 2 3 4 … 链条长度 4.2 ______ ______ … （2）上表的两个变量中，自变量是______； （3）请写出与之间的函数关系式； （4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由节链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？ 21. 数学活动课上，兴趣小组进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 【问题初探】 如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点． 甲同学观察图1后发现结论：①． 乙同学思考后认为可以改变四边形的形状，再探究． 如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则②． （1）上述材料中横线①处应填____，横线②处应填_____． （2）【问题延伸】丙同学在乙同学的基础上进一步提出问题：如图3，在图2的基础上，连接，过点作的垂线交的延长线于点，求的值． （3）【问题解决】在（2）的基础上，若，，点为射线上一点，且，请直接写出的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）经过点和，点P和点Q均在该抛物线上，其横坐标分别为m、，点M的坐标为，连结、，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当轴时，求点Q的坐标； （3）当的边与x轴平行时，求抛物线在点P和点A之间的部分（包括点P、点A）的最高点与最低点的纵坐标的差； （4）当时．设的边与x轴的交点为C，连接，当直线将该平行四边形的面积分成两部分时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年吉林四平市第三中学校九年级第四次学情自测数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列分别是古算诗词题“圆中方形”，“方形圆径”，“圆材藏壁”，“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A是轴对称图形，又是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B是轴对称图形，也是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意． 2. 为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 中 B. 神 C. 精 D. 天 【答案】B 【解析】 【分析】正方体表面展开图相对的面之间要间隔一个正方形． 【详解】解：在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是“神”． 3. 维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼类、蛋黄、动物肝脏等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．若一名成人每天摄入的维生素D量约为，则将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：． 4. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是：， 其解集在数轴上表示如下： ， 故选：C． 5. 将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是，即． 故选：A． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 6. 如图，一张四边形纸片，，点E，F分别在，上，把纸片沿折叠，折叠后点C，D分别到了点，处．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠可知，，再根据已知条件和平行线的性质求出和，从而求出答案即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 8. 如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条． 【答案】3 【解析】 【详解】解：依据三角形的稳定性，六边形置物架钉上木条后分成三角形即可，故工人师傅至少需要加固根木条． 9. 如图，绕点逆时针旋转得到，已知，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出， ，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】绕点逆时针旋转得到，  ， ，， ．  由图可知，点在上， ， ． 10. 若一个正数的两个平方根是和，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数列方程求出值即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与反比例函数在第一象限的图象交于两点．已知点的横坐标为1，点的横坐标为，连接，则的长为__________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，可求出，进而解直角三角形得到，则，利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴的长为． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 下面是小颖化简整式的过程，请仔细阅读后解答所提出的问题． 解： 第1步 ．第2步 （1）小颖的化简过程从第______步开始出现错误； （2）请写出此题正确的化简步骤． 【答案】（1） （2） ． 【解析】 【分析】（1）第1步中完全平方公式展开错误； （2）先根据单项式乘多项式和完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 13. 如图，一圆环被条线段分成个区域，现有火星探测模型和空间站模型各一个，将这两个模型随机放在任意两个不同区域内． （1）火星探测模型放在区域的概率是______； （2）求火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率（请用画树状图或列表的方法表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画出树状图，列举出所有等可能的情况，并找出符合题意的情况数，进而根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共个区域，火星探测模型仅有一个， 火星探测模型放在区域的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下， 共有种等可能的情况数，其中火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的情况有：，，，，，，， ，共种情况， 火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率为． 14. 某学校推行“健康第一的理念”，组织学生参加体育锻炼活动．已知男生和女生分开进行训练，男生组每小时消耗能量千卡，女生组每小时消耗能量千卡．若某次活动男生组训练时间比女生组长小时，且两组消耗的总能量为千卡．问女生组和男生组训练时间分别是多少小时？ 【答案】 女生组训练时间为小时，男生组训练时间为小时． 【解析】 【分析】设女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时，根据题意列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时， 则根据题意得， 解得， 答：女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时． 15. 如图，在中，，点D、E分别在上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 由，得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 16. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图中作的中线； （2）在图中作出的高线； （3）在图中上作一点，使点到、的距离相等． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分，以为对角线构造矩形即可得解； （2）通过构造全等三角形，根据直角三角形的两锐角互余结合角的等量代换即可得解； （3）通过构造菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分，由垂直平分线的性质即可得解． 【小问1详解】 解：取格点，，连接与交于点，连接，即为所求； 四边形是矩形，对角线与的交点为， ，即点是的中点， 是的中线； 【小问2详解】 解：取格点，连接与交于点，即为所求， 取格点，，设与的交点为， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，即是的高线； 【小问3详解】 解：取格点，，连接并延长，交于点，连接，点即为所求． 连接，，，，则， 四边形是菱形， 垂直平分， ，即点到、的距离相等． 17. 某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 （1）表中的值为______，的值为______； （2）表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； （3）企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 【答案】（1） ， （2） （3） 乙、甲、丙 【解析】 【分析】（1）根据折线图读出甲、乙的得分数据，将甲的得分从小到大排列，找出中间两个数的平均数即为中位数；找出乙的得分中出现次数最多的数即为众数． （2）计算乙的平均数，利用方差公式计算乙的方差，或者通过观察数据的波动程度判断方差大小，再与甲的方差进行比较． （3）根据加权平均数公式分别计算甲、乙、丙的综合成绩，若综合成绩相同，则比较实践操作测试成绩的平均数，从而确定排名顺序． 【小问1详解】 解：由折线图可知，甲的次得分为：， 将甲的得分从小到大排列为：， 处于中间位置的两个数分别是和则甲的中位数， 由折线图可知，乙的次得分为：， 其中出现了次，出现次数最多则乙的众数， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：乙的平均数为， 乙的方差 ， 因为， 所以， 故答案为：． 【小问3详解】 解：丙的实践操作测试成绩为， 甲的综合成绩为， 乙的综合成绩为， 丙的综合成绩为， 因为， 所以乙的综合成绩最高甲和丙的综合成绩相等， 比较实践操作测试成绩的平均数甲的实践操作测试成绩平均数为， 丙的实践操作测试成绩平均数为， 因为， 所以甲的综合素质高于丙， 综上所述，这三名员工按综合素质由高到低依次为乙、甲、丙， 故答案为：乙、甲、丙． 18. 如图1是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图2是其截面示意图（液面宽度忽略不计），小亮测量发现：，，，，两液面之间的距离（的长度）与液面的高度相同，求连通器装置中液体的长度（即的值）．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数、矩形的性质和判定，解题的关键是把所求线段放到熟悉的图形中，并准确利用所学知识求解．在Rt中，先通过三角函数求出，进而由已知条件可以分别求出，再根据线段的和差关系求出即可． 【详解】解：Rt中，，， 则 ， ． 由条件易知四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， ． ， ． ，即连通器装置中液体的长度为 ． 19. 如图，矩形的边、的长分别是方程的两个根（），点在线段上，沿折叠矩形，使边落在轴上，点、的对应点为、． （1）求点的坐标； （2）将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积与运动时间的关系式； （3）点是直线上一点，试在平面内确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3），，， 【解析】 【分析】（1）先解方程得到，，由折叠的性质结合矩形的性质可得的长，从而可求出点的坐标； （2）分段讨论：当时；当时；当时，列面积表达式求解即可； （3）根据待定系数法可求得直线的解析式，从而可表示出点的坐标，进而可表示出，，；再根据菱形的性质分情况讨论：当时，当时，当时，根据线段的等量关系列方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ，解得，， 、的长分别是方程的两个根， ，， 四边形是矩形， ，， 由折叠可知，，，， ， 四边形是矩形， ， ， 【小问2详解】 解：由（1）知，，，， ，， 为等腰直角三角形，， 由折叠可知，， 当时，如图，设直线平移后与轴交于点，与轴交于点，与交于点， 由平移的性质可知，，， ， 四边形是矩形， ， ， 为等腰直角三角形，即直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形， ， ； 当时，如图，设直线平移后与轴交于点，与轴交于点，与交于点，过点作交轴于点，交轴于点，则为等腰直角三角形， ，，即， ， 四边形是平行四边形， 直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形， 故； 当时，如图，设直线平移后与轴交于点，与交于点，则为等腰直角三角形， ， 直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积， 即； 综上，直线扫过矩形的面积与运动的时间的关系式为； 【小问3详解】 解：设直线的直线解析式为， 将点，和代入得， ，解得， 直线的直线解析式为， 点是直线上一点， 设， ，， ，，， 当时，，即，解得， ，， 由得，，； 当时，，即，解得或（与重合，舍去， ， 由得，； 当时，，即，解得， ， 由菱形的对称性可得、关于对称，可得； 综上，点的坐标为，，，． 20. 如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．设链条长度为，链条节数为． （1）观察图形，填写如表： 链条节数节 2 3 4 … 链条长度 4.2 ______ ______ … （2）上表的两个变量中，自变量是______； （3）请写出与之间的函数关系式； （4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由节链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？ 【答案】（1）； （2）链条节数 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先求出每增加一节链条长度增加的数值，然后填表； （2）根据链条长度随链条节数的变化而变化，得出自变量； （3）根据第一节链条，然后每增加一节链条，长度增加，得出与之间的函数关系式； （4）根据自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短，结合函数解析式，求出安装后的长度． 【小问1详解】 解：每增加一节链条长度增加：， 当时，， 当时，， 填表如下： 链条节数节 链条长度 【小问2详解】 解：上表的两个变量中，自变量是链条节数； 【小问3详解】 解：根据题意得：与之间的函数关系式为：． 【小问4详解】 解：由（3）得， 当时，， 自行车链条是首尾闭合的环形，直形链条比环形链条少个重叠， 这根链条安装到自行车上后，总长度是． 21. 数学活动课上，兴趣小组进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 【问题初探】 如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点． 甲同学观察图1后发现结论：①． 乙同学思考后认为可以改变四边形的形状，再探究． 如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则②． （1）上述材料中横线①处应填____，横线②处应填_____． （2）【问题延伸】丙同学在乙同学的基础上进一步提出问题：如图3，在图2的基础上，连接，过点作的垂线交的延长线于点，求的值． （3）【问题解决】在（2）的基础上，若，，点为射线上一点，且，请直接写出的长． 【答案】（1）1； （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，得到； 根据矩形的性质，证明，得到． （2）过点分别作，的垂线，垂足分别为，，证明 ． 四边形为矩形，得到．根据求解即可． （3）分类求解即可． 【小问1详解】 ①解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，如解图1． ，, ， ． ，， ． ． ，，， 故四边形为矩形， ． ． 的值为． 【小问3详解】 解：①当点在边上时，如解图2， ， 为等腰直角三角形， ． 由（1），知， ， ． ，， ． 由（2），知， 设，则． 在中，，即， 解得（负值已舍去）． ②当点在的延长线上时，过点作于点， 如解图3，同理①，易得， ，， 为等腰直角三角形． ． ． ， ． ． ． ，即， 解得． 综上所述，的长为或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）经过点和，点P和点Q均在该抛物线上，其横坐标分别为m、，点M的坐标为，连结、，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当轴时，求点Q的坐标； （3）当的边与x轴平行时，求抛物线在点P和点A之间的部分（包括点P、点A）的最高点与最低点的纵坐标的差； （4）当时．设的边与x轴的交点为C，连接，当直线将该平行四边形的面积分成两部分时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）1或4 （4）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意可知Q点在y轴上，则，求出m的值即可求Q点坐标； （3）由题意可知当轴时，，求出，再结合函数图象求解即可； （4）根据平行四边形的性质求出，当C点在边上时，C是的中点，即；当C在边上时，C是的中点，即，分别求出m即可． 【小问1详解】 解：将点和代入中， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴Q点在y轴上， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：当轴时，， 解得或， ∴或， 当点的坐标为时， ∵， ∴顶点为， ∴抛物线在点P和点A之间的部分的最高点为5，最低点为1， ∴最高点与最低点的纵坐标的差为； 当点的坐标为时， ∵ ∴抛物线在点P和点A之间的部分的最高点为2，最低点为1， ∴最高点与最低点的纵坐标的差为； 综上，最高点与最低点的纵坐标的差为1或4； 【小问4详解】 解：设点为中点，且，， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴H是的中点， ∵， ∴， 当C点在边上时，且直线将该平行四边形的面积分成两部分，如图， ∴C是的中点， ∴， 解得或（舍）； 当C在边上时，C是的中点， ∴， 解得或（舍）； 综上所述：m的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $