精品解析：2026年吉林四平市第三中学校九年级第三次模拟测试数学试卷

九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 科学研究表明人脑的神经元数量约为万个，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下图是由一个圆柱和一个圆锥组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下图代表“大雪”，此图绕着它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点为圆心，的长为半径作弧交直线于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：______． 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 9. 如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则的度数为________． 10. 某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_____． 11. 如图，在等边中，，是边的中点，以点为圆心，的长为半径作圆，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积为________（结果保留根号和）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”、“环卫小卫士”、“图书管理小卫士”、“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验，甲、乙两名同学都参加了此项活动，求这两名同学恰好在同一岗位体验的概率． 14. 某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原来多15辆，组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等．求升级后每小时组装多少辆汽车？ 15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，点、、均在格点上．分别按下列要求画图，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，画一个面积是13的正方形； （2）在图②中，画一个钝角三角形，且； （3）在图③中，在线段上找到一点，使． 16. 在四边形中，，点在上，． （1）求证：． （2）已知，求的面积． 17. 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为．请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） 18. 某校开展了关于“厨艺，电工，木工，园艺，编织”五大劳动课程知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在B组的数据为：83，84，85，86，86，88，89 八年级20名学生的竞赛成绩为：62，65，68，72，74，75，78，80，82，85，87，88，90，92，94，95，98，100，100，100 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 99 八年级 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校七年级有学生1500人，八年级有学生1300人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有多少人？ 19. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留1小时，然后以原速继续向A地行驶，到达A地后停止行驶，原地休息：甲车到达B地后，立即按原路原速返回A地（甲车掉头的时间忽略不计），甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（时）之间的函数图象如图．请结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的行驶速度是______，在图中括号内填入正确的数值； （2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式？写出取值范围． （3）两车出发后几小时相距的路程为120千米？请直接写出答案． 20. 如图，在中，，，动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以、为邻边作平行四边形．设平行四边形的面积为，点运动的时间为秒（）． （1）的长为________； （2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 21. 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．已知中，，点，，，分别在的边，，，上． 【操作判断】（1）如图1，若点，分别是，边的中点，分别沿和折叠，使点与点重合，点与点重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）； ②若四边形是矩形，求的度数． 【迁移思考】（2）如图2，沿折叠，点恰好与点重合，求证：四边形是菱形． 【拓展探索】（3）如图3，若点为边的中点，沿折叠，点的对应点为点，延长与射线交于点．若，，请直接写出线段的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，顶点为，点是该抛物线上的动点，其横坐标为，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，以、为邻边作平行四边形． （1）求该抛物线对应的函数解析式及点的坐标； （2）当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求的值； （3）当平行四边形的面积被轴平分时，求的值； （4）当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小，求解即可； 【详解】解：∵ 根据有理数大小比较规则，正数大于0，0大于负数， B，C不符合要求； 又∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数更小，且，， 故； 2. 科学研究表明人脑的神经元数量约为万个，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，只需按要求确定和即可． 【详解】解：∵将8600000改写为符合要求的科学记数法形式时， ，小数点向左移动了6位，即， ∴， ∴选B． 3. 下图是由一个圆柱和一个圆锥组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从上往下投影得到的视图为俯视图，由此求解即可． 【详解】解：该几何体由一个圆柱和一个圆锥组成，从上面看，得到两个同心圆， 所以它的俯视图是 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A. ，故本选项运算错误，不符合题意； B. ，故本选项运算错误，不符合题意； C. ，故本选项运算错误，不符合题意； D. ，本选项运算正确，符合题意． 5. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下图代表“大雪”，此图绕着它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转对称图形，根据正六边形是旋转对称图形，绕着它的旋转中心旋转后能与其自身重合． 【详解】解：∵正六边形是旋转对称图形，绕着它的旋转中心旋转后能与其自身重合． 故选：B． 6. 如图，在正方形中，分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点为圆心，的长为半径作弧交直线于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线性质，圆的性质，正方形的性质，解答即可. 【详解】解：连接，根据基本作图，得到直线是线段的垂直平分线， 以点为圆心，的长为半径作弧交直线于点， 故，， 故， 因为四边形是正方形，且， 故 . 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根可以得到，且判别式，从而求出结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且判别式， ∴， 解得，即， 又∵， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 9. 如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则的度数为________． 【答案】36° 【解析】 【分析】根据正五边形的性质求出∠BAE=∠ABC=×(5-2)×180°=108°，根据菱形的性质求出∠BAF，即可求解． 【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE=∠ABC=×(5-2)×180°=108°， ∵四边形ABCF是菱形， ∴∠ABC+∠BAF=180°， ∴∠BAF=72°， ∴∠EAF=108°-72°=36°， 故答案为：36°． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，利用正五边形的性质得出内角度数是解题关键． 10. 某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，再把代入求出对应速度即可解答． 【详解】解：由函数图像可知：点在行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）的函数关系式上， 则：，即， ∴反比例函数解析式， 当时，． 11. 如图，在等边中，，是边的中点，以点为圆心，的长为半径作圆，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积为________（结果保留根号和）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据阴影面积等于求解即可． 【详解】解：连接， 因为在等边中，，是边的中点， 所以，，，， 所以， 阴影部分的面积为： ． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；24． 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，再去括号，合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当时， 原式 =24． 【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，熟知完全平方公式和平方差公式，正确进行化简是解题关键． 13. 某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”、“环卫小卫士”、“图书管理小卫士”、“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验，甲、乙两名同学都参加了此项活动，求这两名同学恰好在同一岗位体验的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图求概率．通过列表法或画树状图求出所有情况和符合要求的情况，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：设“安全小卫士”、“环卫小卫士”“图书管理小卫士”、“宿舍管理小卫士”分别用A、B、C、D表示， 树状图如下图所示， 由上可得，共有16种等可能的情况，其中甲乙两名同学恰好在同一岗位体验的情况共有4种， ∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为． 14. 某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原来多15辆，组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等．求升级后每小时组装多少辆汽车？ 【答案】升级后每小时组装45辆汽车． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设升级后每小时组装x辆汽车，则升级前每小时组装辆汽车，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设升级后每小时组装x辆汽车，则升级前每小时组装辆汽车， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：升级后每小时组装45辆汽车． 15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，点、、均在格点上．分别按下列要求画图，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，画一个面积是13的正方形； （2）在图②中，画一个钝角三角形，且； （3）在图③中，在线段上找到一点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）面积是13的正方形，得到边长为，根据直角边长为3，2，构造正方形即可； （2）构造一个正方形的一条对角线，得到，再构造钝角三角形即可； （3）构造“8”字型三角形相似，使得两条水平边的比为即可． 【小问1详解】 解：如图①， 则正方形为所求． 【小问2详解】 解：如图②， 则三角形为所求． 【小问3详解】 解：如图③， 则点为所求． 16. 在四边形中，，点在上，． （1）求证：． （2）已知，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可得证； （2）根据得到，，根据勾股定理求出，证明，根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为．请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） 【答案】建筑物、的高度分别为， 【解析】 【分析】如图：过作交延长线于E，则四边形是矩形，即，；分别在、解直角三角形可得、，进而完成解答． 【详解】解：如图：过作交延长线于E，则四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴，即建筑物的高度为． 在中，，， ∴， ∴建筑物的高度为． 18. 某校开展了关于“厨艺，电工，木工，园艺，编织”五大劳动课程知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在B组的数据为：83，84，85，86，86，88，89 八年级20名学生的竞赛成绩为：62，65，68，72，74，75，78，80，82，85，87，88，90，92，94，95，98，100，100，100 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 99 八年级 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校七年级有学生1500人，八年级有学生1300人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】（1）85.5；100；30 （2）八年级学生的知识竞赛成绩较好，理由见解析 （3）970人 【解析】 【分析】（1）求出七年级学生竞赛成绩在A组的百分比，可求出m的值，再根据中位数的定义可得a的值，根据众数的定义求出b的值，即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：，即， ∴七年级学生竞赛成绩在A组的数据为， ∴把这20个数据从大到小排列，位于第10位和第11位的分别为86，85， ∴； ∵八年级20名学生的竞赛成绩中100分出现的次数最多， ∴； 【小问2详解】 解：八年级学生的知识竞赛成绩较好，理由如下： ∵两个年级成绩的平均数一样，但七年级成绩的中位数，众数均低于八年级， ∴八年级学生的知识竞赛成绩较好； 【小问3详解】 解：人， 即此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有970人． 19. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留1小时，然后以原速继续向A地行驶，到达A地后停止行驶，原地休息：甲车到达B地后，立即按原路原速返回A地（甲车掉头的时间忽略不计），甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（时）之间的函数图象如图．请结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的行驶速度是______，在图中括号内填入正确的数值； （2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式？写出取值范围． （3）两车出发后几小时相距的路程为120千米？请直接写出答案． 【答案】（1），300 （2）， （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到乙车行驶的路程及时间即可得到速度，再计算的路程即可； （2）利用待定系数法求解析式即可； （3）分当两车第一次相遇前相距120千米的路程；当两车第一次相遇后，甲车到达地前，相距120千米的路程；当甲车到达地后返回A地，两车第二次相遇后，甲车到A地距离共有120千米，所以两车不可能再相距120千米；分别求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知从A，B两地相距千米，乙车共用，途中休息， 则乙车的行驶速度为， ，故图中括号内正确的数值为； 【小问2详解】 甲车返回时y与x之间的函数关系式为， 又由图可知甲共用，则返回时的函数关系式过点和， ，解得, 则； 【小问3详解】 解：甲车共用时， 则甲车的行驶速度为， 则第一次甲乙两车相遇的时间为， 第一次相遇前，甲乙相距120千米： （小时）， 第一次相遇后且甲未到地时，甲乙相距120千米： （小时）， 甲到达地后立即返回A地且未与乙相遇时，甲乙相距120千米： （小时）， 第二次相遇后，当甲停止行驶时，此时乙所在的位置距离为： （千米），，所以此情况不存在 综上，两车出发后2小时或小时或小时相距120千米的路程． 20. 如图，在中，，，动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以、为邻边作平行四边形．设平行四边形的面积为，点运动的时间为秒（）． （1）的长为________； （2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】（1）8 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）延长交于点N，证明，根据三线合一性质，余弦函数的定义求解即可； （2）利用三角形相似，三角函数，平行四边形的面积，分类思想解答即可； （3）当四边形是轴对称图形时，此时四边形是菱形，分类求解即可． 【小问1详解】 解：延长交于点N， 因为四边形是平行四边形， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 故； 【小问2详解】 解：因为，动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动， 所以动点P在上运动时，此时，且， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以； 所以动点P在上运动时，此时，且，， 因为，， 所以， 所以，， 所以 ， 因为四边形是平行四边形， 所以 ； 综上所述，； 【小问3详解】 解：当时，四边形是菱形时是轴对称图形， 此时只需满足， 故， 解得， 符合要求； 当时，四边形是菱形时是轴对称图形， 此时只需满足， 故， 解得， 符合要求； 综上所述，四边形是轴对称图形时，或； 21. 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．已知中，，点，，，分别在的边，，，上． 【操作判断】（1）如图1，若点，分别是，边的中点，分别沿和折叠，使点与点重合，点与点重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）； ②若四边形是矩形，求的度数． 【迁移思考】（2）如图2，沿折叠，点恰好与点重合，求证：四边形是菱形． 【拓展探索】（3）如图3，若点为边的中点，沿折叠，点的对应点为点，延长与射线交于点．若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①是；②；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得，，根据折叠的性质可得，进而根据三角形内角和定理，得出，再证明，即可判断四边形是平行四边形； ②根据矩形的性质可得，根据折叠可得，进而求得； （2）根据折叠得出，根据平行线的性质和等角对等边得出，即可得证； （3）连接，分两种情况，点在线段上以及线段的延长线上，根据折叠的性质，等边对等角证明，结合图形，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，， 根据折叠可得， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②∵四边形是矩形， ∴ 根据折叠可得 ∴； （2）∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，连接，如图： 同理可得 ∴， 综上所述，或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，顶点为，点是该抛物线上的动点，其横坐标为，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，以、为邻边作平行四边形． （1）求该抛物线对应的函数解析式及点的坐标； （2）当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求的值； （3）当平行四边形的面积被轴平分时，求的值； （4）当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为， （2）的值为或 （3）， （4）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，求解即可； （2）设，当时，最高点为，最低点为，当时，最高点为，最低点为，列方程求解即可； （3）当平行四边形的面积被轴平分时，根据题意，得，根据平行四边形的性质，列式解答即可； （4）延长，交抛物线与点G，设，根据抛物线的性质，分类求解即可． 【小问1详解】 解：因为抛物线与轴交于点，顶点为， 所以， 解得， 故抛物线的解析式为， 令时，得， 故； 【小问2详解】 解：设， 根据题意，得， 因为该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5，顶点为，， ∴或， 当时，最高点为，最低点为， ，解得（舍），； 当时，最高点为，最低点为， ， 解得（舍），． 综上，的值为或． 【小问3详解】 解：当平行四边形的面积被轴平分时，根据题意，得， 因为，，必须为正数， 故， 解得，． 【小问4详解】 解：延长，交抛物线与点G，设， 根据题意，得， 解得， 故， 当时，点P在对称轴的右侧， 当点P与点G重合时，四边形不存在， 当点P在点G的上方时，如图所示，抛物线在平行四边形内部的部分都在对称直线的左侧， 因为抛物线开口向上， 所以对称轴左侧随的增大而减小，符合要求， 故； 当点P在点G的下方时，如图所示，抛物线在平行四边形内部的部分都在对称直线的左侧， 因为抛物线开口向上， 所以对称轴左侧随的增大而减小，符合要求， 当点P与点A重合时，四边形不存在， 故； 当时，点P在对称轴的作出，如图，抛物线不能落在平行四边形内部，不符合要求； 综上所述，符合要求的m的范围是：或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $