精品解析：吉林长春市第五十六中学校等校2025-2026学年度九年级下学期5月阶段学情自测数学试题

2025-2026学年度下学期5月份月考九年级数学试题 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图，在数轴上表示的点A到原点的距离是（ ） A. -1.5 B. 1.5 C. D. 2. 如图，以直角三角形的斜边所在的直线为轴，将图形旋转一周，所形成的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. （ =; B. （=（; C. D. .+= 4. 如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段的中点，N是线段的中点，若想求出的长度，则只需条件（ ）． A. B. C. D. 5. 在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 方程的解是 C. 当时， D. 不等式的解集是 6. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方面．如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，坐标原点为矩形的对称中心，顶点的坐标为，轴，矩形与矩形是位似图形，点为位似中心，点，分别是点，的对应点，．已知关于，的二元一次方程，是实数）无解，在以，为坐标（记为的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形的边上，则的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 已知 ，则 y x 的值为_____． 11. 已知两边长分别为和的两个全等三角形，第三边的长都是不等式的正整数解，则这样的全等三角形有________对． 12. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 13. 把抛物线向下平移3个单位，得到抛物线_________． 14. 如图，直线，的平分线交直线b于点C，若，，则的度数是___________． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值： ，其中． 16. 如图，在课外体育锻炼中，甲、乙、丙三人做传球的游戏．开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球等可能传给其余两人中的一人． （1）求事件“传球两次，球传回到甲的手中”的概率； （2）事件“传球三次，球传回到甲的手中”是否可能发生？若可能，求该事件的概率；若不可能，说明理由． 17. 图1是一座风力发电机，图2是使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 18. 如图，在中，，点D在BC边上，分别取AD，AB的中点E，F，连接CE，CF，EF．求证：． 19. 毕业之际，九年级（3）班的家委会决定给同学们准备钢笔或笔记本留作纪念，已知每支钢笔的价格是每本笔记本价格的1.5倍，而且购买3本笔记本和2支钢笔共需48元． （1）求钢笔和笔记本的单价； （2）若家委会计划购买钢笔和笔记本共70份，设购买的钢笔数量为，购买笔记本和钢笔的总费用为元，求关于的函数表达式； （3）在（2）的条件下，商店对钢笔进行9折优惠，笔记本价格不变，且购买的总费用不超过620元，那么最多可以购买多少支钢笔？ 20. 为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时，为了了解学生参加户外活动的情况，学校对部分学生参加户外活动的时间进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查中共调查了多少名学生？ （2）本次调查中户外活动时间为1.5小时的人数为______人，请补全条形统计图； （3）本次调查中户外活动时间的众数是______小时，中位数是______小时． 21. 对于实数x，表示不小于x的最小整数，例如：，，点为第一象限中的点，将点P分别向上，向下平移个单位得到点，；将点P分别向左，向右平移个单位得到点，，我们称菱形叫做点P的伴随菱形．例如：点的伴随菱形是以点，，，构成的菱形． （1）在图中画出点的伴随菱形，该菱形的面积为___________； （2）若点的伴随菱形与点的伴随菱形恰有3个公共点，求满足条件的t的最小值； （3）若点与点所对应的伴随菱形面积相同，且点在函数的图象上，直接写出k的取值范围． 22. 《教材呈现》如图①在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连接，， 请补充证明过程 《应用拓展》 （1）如图②，在中，为钝角，、是的两条高，点为的中点，连接、，若，则的度数是______． （2）如图③，在中，，，，点为的中点，点为上一点，连接，作交于点，则长的取值范围是______． 23. 如图，内接于⊙为⊙O的直径，AD交BC于点E，且． （1）如图1，求证：AD平分； （2）如图2，点P为弧CD上一点，连接AP交BC于点F，过点P作⊙O的切线，交BC的延长线于点G，点H是PF的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DF，且，点R在CG上，连接交CH于点N，，求DE的长． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过、．已知点在抛物线上，横坐标为，将向右平移两个单位得到点，点坐标为，作点关于点对称点为点，点关于点对称点为点，当点、、不在同一条直线上，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求证：； （3）若线段被轴分成两部分，求的值； （4）点坐标为，连结、，当，直接写出的取值范围．（这里、、均是大于且小于的角） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期5月份月考九年级数学试题 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图，在数轴上表示的点A到原点的距离是（ ） A. -1.5 B. 1.5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上表示一个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值解答． 【详解】∵OA=， ∴数轴上表示的点A到原点的距离是． 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的定义及算法是解决此类问题的关键． 2. 如图，以直角三角形的斜边所在的直线为轴，将图形旋转一周，所形成的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是几何图形的旋转和三视图，要熟记把一个直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得的几何体是一个圆锥，则一个直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，旋转后的几何体应该是两个圆锥，而且还是底面对着底面的圆锥，所以它的俯视图是一个圆，且有圆心． 【详解】解：以直角三角形的斜边所在的直线为轴，将图形旋转一周，所形成的几何体，如图所示： ∴俯视图是 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. （ =; B. （=（; C. D. .+= 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的加法和乘法法则，幂的乘方，进行计算即可. 【详解】A. （ =，故错误; B. （=-a6,（=a6,故错误； C. ，正确； D．+=2×=29，故错误； 故选C. 【点睛】此题考查同底数幂的加法和乘法法则，幂的乘方，解题关键在于掌握运算法则. 4. 如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段的中点，N是线段的中点，若想求出的长度，则只需条件（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是线段中点的定义、两点间的距离等知识点，明确线段中点的定义是解题的关键． 根据点M、N分别是、的中点，，进而得到，即只需知道的长度即可求得的长度． 【详解】解：∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴， ∴，即只需知道的长度即可求得的长度， ∴符合题意． 故选：B． 5. 在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 方程的解是 C. 当时， D. 不等式的解集是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据函数的图象直接进行解答即可判断求解，利用数形结合求解是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图象与轴，轴的交点为，， 当时，，故错误，不符合题意； 方程的解是，故正确，符合题意； 当时，，故错误，不符合题意； 不等式的解集是，故错误，不符合题意； 故选：． 6. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方面．如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为，可得四边形为矩形，即得，再分别解和，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为，则， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点距地面的高度为， 故选：． 7. 如图，在菱形中，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质与相似三角形的判定与性质是解题的关键，分别延长，交于点G， 由菱形的性质可得，，从而可证明，即得到，设菱形的边长为，可得， 再利用折叠的性质得到，因为是的中点，，从而得到，可推出，由于，得到，即可得，进而得到． 【详解】解：分别延长，交于点G，如图： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， 折叠， ∴， , ∴， ∴， 设菱形的边长为， ∴， 将沿折叠得到， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：D． 8. 如图，坐标原点为矩形的对称中心，顶点的坐标为，轴，矩形与矩形是位似图形，点为位似中心，点，分别是点，的对应点，．已知关于，的二元一次方程，是实数）无解，在以，为坐标（记为的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形的边上，则的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出点的坐标为，再根据关于，的二元一次方程，是实数）无解，可得，且；然后根据以，为坐标（记为的所有的点中，有且只有一个点落在矩形的边上，可得反比例函数的图象只经过点或；最后判断出反比例函数的图象经过点，则点的坐标是，所以，据此解答即可． 【详解】解：矩形与矩形是位似图形，，顶点的坐标为， 点的坐标为， 矩形与矩形是位似图形，点是位似中心， 矩形也关于点成中心对称， 关于，的二元一次方程，是实数）无解， ，且，即， 矩形关于点成中心对称， 反比例函数的图象关于点成中心对称， 以，为坐标（记为的所有的点中，有且只有一个点落在矩形的边上， 反比例函数的图象经过点， 点的坐标是， ． 故本题选：D． 【点睛】本题主要考查了位似变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，此题还考查了二元一次方程组的求解方法，以及坐标与图形的性质，要熟练掌握． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先算零指数幂和负整数指数幂，即可求解． 【详解】原式= = =， 故答案是： 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂，是解题的关键． 10. 已知 ，则 y x 的值为_____． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列不等式组解得x值，将x代入原式解得y值，即可求解． 【详解】要使有意义，则： ，解得：x=1，代入原式中， 得：y=﹣4， ∴yx=（-4）1=-4， 故答案为：-4． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组、幂的乘方，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解答的关键． 11. 已知两边长分别为和的两个全等三角形，第三边的长都是不等式的正整数解，则这样的全等三角形有________对． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系得到第三边的取值范围，再解一元一次不等式得，即可得到，从而得到正整数解即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的正整数解为：三个， ∴这样的全等三角形有对， 故答案为： ． 12. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案． 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为， 由题意可知，， ； 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ， 故答案为：． 13. 把抛物线向下平移3个单位，得到抛物线_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位所得直线解析式为：-3； 即：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握函数图象平移的法则是解题的关键． 14. 如图，直线，的平分线交直线b于点C，若，，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作直线a的平行线，利用平行线的性质及角平分线的性质可得，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解． 【详解】解：过点P作直线a的平行线，如图所示： 则：， ，， 又是的角平分线， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及三角形外角定理，熟练掌握其基本知识，找准辅助线位置是解题的关键． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图，在课外体育锻炼中，甲、乙、丙三人做传球的游戏．开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球等可能传给其余两人中的一人． （1）求事件“传球两次，球传回到甲的手中”的概率； （2）事件“传球三次，球传回到甲的手中”是否可能发生？若可能，求该事件的概率；若不可能，说明理由． 【答案】（1） （2）该事件可能发生， 【解析】 【分析】（1）根据题意画出树状图，求出所有等可能结果数、符合题意的结果数，利用概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，求出所有等可能结果数、符合题意的结果数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：传球两次后的结果画树状图如下： 共4种等可能结果，其中传回给甲的有2种， 因此，“传球两次，球传回到甲的手中”的概率为； 【小问2详解】 解：该事件可能发生， 画树状图如下： 传球三次，共有8种等可能的结果，其中传回给甲的有2种， 因此，“传球三次，球传回到甲的手中”的概率为． 17. 图1是一座风力发电机，图2是使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】先判断四边形是矩形，可得，，然后在中，求出，即可求解的高度． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴,， 在中， ， ∴， 答：这座风电塔筒的高度为． 18. 如图，在中，，点D在BC边上，分别取AD，AB的中点E，F，连接CE，CF，EF．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一性质，求出线段和的关系以及线段和的关系，再结合三角形中位线的性质得出和的关系，最后得出和相似，根据“相似三角形对应角相等”，即可求证两角相等． 【详解】证明：，分别为的中点， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的性质，解题关键是熟练运用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一核心性质，推导证明结论． 19. 毕业之际，九年级（3）班的家委会决定给同学们准备钢笔或笔记本留作纪念，已知每支钢笔的价格是每本笔记本价格的1.5倍，而且购买3本笔记本和2支钢笔共需48元． （1）求钢笔和笔记本的单价； （2）若家委会计划购买钢笔和笔记本共70份，设购买的钢笔数量为，购买笔记本和钢笔的总费用为元，求关于的函数表达式； （3）在（2）的条件下，商店对钢笔进行9折优惠，笔记本价格不变，且购买的总费用不超过620元，那么最多可以购买多少支钢笔？ 【答案】（1）每支钢笔12元，每本笔记本8元 （2） （3）21支 【解析】 【分析】（1）设每支钢笔元，每本笔记本元．根据“每支钢笔的价格是每本笔记本价格的1.5倍，购买3本笔记本和2支钢笔共需48元”列出方程组求解即可； （2）设购买的钢笔数量为，则可得笔记本的人数为，根据“总费用=购买钢笔的费用+购买笔记本的费用”列式即可； （3）根据“钢笔进行9折优惠，笔记本价格不变，且购买的总费用不超过620元”列出不等式求解即可 【小问1详解】 设每支钢笔元，每本笔记本元．根据题意得： 解得， 答：每支钢笔12元，每本笔记本8元． 【小问2详解】 ∵购买的钢笔数量为，则可得笔记本的人数为， ∴． 【小问3详解】 根据题意得，， 解得． 因为为整数， 所以的最大值为21． 答：最多可以购买21支钢笔． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组和不等式． 20. 为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时，为了了解学生参加户外活动的情况，学校对部分学生参加户外活动的时间进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查中共调查了多少名学生？ （2）本次调查中户外活动时间为1.5小时的人数为______人，请补全条形统计图； （3）本次调查中户外活动时间的众数是______小时，中位数是______小时． 【答案】（1）100名；（2）30；图形见解析；（3）1，1． 【解析】 【分析】（1）用0.5小时的人数除以其所占百分比可得调查的总人数； （2）用总人数减去各时间段人数，进而得出户外活动时间为1.5小时的人数； （3）利用条形统计图以及众数与中位数定义得出答案． 【详解】解：（1）调查的总人数是：（人， 答：本次调查中共调查了100名学生； （2）本次调查中户外活动时间为1.5小时的人数为：（人， 如图所示： ， 故答案为：30； （3）由条形统计图得出参加户外活动1小时的人数最多， 本次调查中户外活动时间的众数是1小时， 按大小排列后100个数据的中间是第50和第51个数据的平均数， 而第50和第51个数据都是1小时， 中位数是1小时． 故答案为：1，1． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息，同时要知道条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 对于实数x，表示不小于x的最小整数，例如：，，点为第一象限中的点，将点P分别向上，向下平移个单位得到点，；将点P分别向左，向右平移个单位得到点，，我们称菱形叫做点P的伴随菱形．例如：点的伴随菱形是以点，，，构成的菱形． （1）在图中画出点的伴随菱形，该菱形的面积为___________； （2）若点的伴随菱形与点的伴随菱形恰有3个公共点，求满足条件的t的最小值； （3）若点与点所对应的伴随菱形面积相同，且点在函数的图象上，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）4 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据伴随菱形的定义，画出图形，利用菱形的面积公式计算面积即可． （2）如图中，当时，点的伴随菱形与点A的伴随菱形有3个公共点，由此即可判断． （3）根据题意求得点C的伴随菱形的面积，求得，推出满足条件的点在第一象限，即可判断k的取值范围． 【小问1详解】 如图，菱形是点的伴随菱形，面积． 故答案为：4． 【小问2详解】 如图中，当时，点的伴随菱形与点A的伴随菱形有3个公共点． ∴t的最小值为． 【小问3详解】 ∵点的伴随菱形面积， ∴点的伴随菱形面积， ∴， ∴， ∴满足条件的点在第一象限， ∵点D在上， ∴， ①当，时， 由，可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当，时， 同法可得，，， ∴，解得； ③当，时， 同法可得，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，满足条件的k的值为：或或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，菱形的性质，点P的“伴随菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 《教材呈现》如图①在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连接，， 请补充证明过程 《应用拓展》 （1）如图②，在中，为钝角，、是的两条高，点为的中点，连接、，若，则的度数是______． （2）如图③，在中，，，，点为的中点，点为上一点，连接，作交于点，则长的取值范围是______． 【答案】（1）《教材呈现》证明见解析； （2） 【解析】 【分析】《教材呈现》证明是矩形，根据矩形的性质即可得证； （1）根据三角形外角的性质得出，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等腰三角形的性质以及四边形内角和，即可求解； （2）根据题意得出，当点与重合时，当点与点重合时，分别求得的长，即可求解． 【小问1详解】 《教材呈现》证明：延长到，使，连接，， 则， 是斜边上的中线， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形， ， ； 《应用拓展》 ∵在中，为钝角，、是的两条高，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：在中，，，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 当点与重合时，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 即； 当点与点重合时，如图所示，过点作于点， 在中，， 设，则 ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， 解得： ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，内接于⊙为⊙O的直径，AD交BC于点E，且． （1）如图1，求证：AD平分； （2）如图2，点P为弧CD上一点，连接AP交BC于点F，过点P作⊙O的切线，交BC的延长线于点G，点H是PF的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DF，且，点R在CG上，连接交CH于点N，，求DE的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得出，则垂直平分，进而得到，根据等腰三角形的性质求解即可； （2）连接，是圆O的切线得出，根据垂径定理得出，根据直角三角形的性质、对顶角相等得出，根据等腰三角形的性质得出，进而得出，根据等腰三角形的判定与性质即可得解； （3）连接，延长交于点M，交于点T，根据题意推出点M是的中点，根据三角形中位线性质推出，根据勾股定理得到，根据平行线的性质推出，，根据等腰三角形的性质及相似三角形的性质、勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接，， ∵为⊙的直径，交于点E，且， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴平分； 【小问2详解】 证明：连接， ∵是圆O的切线， ∴， ∴， 即， ∵为⊙的直径，交于点E，且， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴； 【小问3详解】 解：连接，延长交于点M，交于点T， ∵，为⊙的直径， ∴， ∴ ， ∵点H是的中点， ∴点M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合题，等角的余角相等，解直角三角形，切线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过、．已知点在抛物线上，横坐标为，将向右平移两个单位得到点，点坐标为，作点关于点对称点为点，点关于点对称点为点，当点、、不在同一条直线上，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求证：； （3）若线段被轴分成两部分，求的值； （4）点坐标为，连结、，当，直接写出的取值范围．（这里、、均是大于且小于的角） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求解即可； （2）由平移可知，，由中心对称的性质可得，结合平行四边形的性质可得； （3）设线段与轴的交点为点，根据题意可得点，点，分两类讨论，当时，作轴于点，作轴于点，容易证明，则，从而得到，解方程可得（同侧舍去）；当时，同理可得，解得； （4）连接，将向右平移至处，由平移的性质可得，，，则，结合可得，因此射线在内部，即点、在直线的同一侧，且点、在直线的同一侧．根据题意可得点，，，，使用待定系数法求出直线的函数解析式为，分别将和代入解析式求出和．根据点、在直线的同一侧可得，，整理得，解得或．同理，求出直线的解析式，根据点、在直线的同一侧．可得或，选取公共部分即为的取值范围． 【小问1详解】 解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 证明：∵点由点向右平移两个单位得到， ∴， ∵点与点关于点对称，点与点关于点对称， ∴线段与线段关于点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； 【小问3详解】 解：设线段与轴的交点为点， ①当时，如图，作轴于点，作轴于点， ∵点在抛物线上，横坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于点对称， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得或， ∵点与点在轴两侧， ∴， ∴或， ∴； ②当时，如图，作轴于点，作轴于点， 同理①可得，， ∴， ∴， 解得或， ∵或， ∴， 综上所述，或； 【小问4详解】 解：如图，连接，将向右平移至处， 由平移的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴射线在内部， ∴点、在直线的同一侧，且点、在直线的同一侧， 由（2）可得，点，点， ∵点由点向右平移两个单位得到， ∴点， ∵点与点关于点对称， ∴点， ∴轴， ∵，且， 又∵点， ∴点， 当或时，、、三点共线，与题意不符；当时，、、三点共线，与题意不符， ∴，，， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得； 将代入，得； ∵点、在直线的同一侧， ∴ 整理，得， 两边同乘以，得， 当时，，，， ∴，符合题意； 当时，，，， ∴，不符合题意； 当时，，，， ∴，符合题意； 当时，，，， ∴，不符合题意； 综上，或， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得； 将代入，得； ∵点、在直线的同一侧， ∴ 整理，得， 解得或， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $