精品解析：2026年山东省德州市武城县四女寺镇明智中学中考模拟数学试题

2026年山东省学业水平考试 数 学 模 拟 试 题 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图所示的几何体，其主视图是（    ）． A. B. C. D. 2. 2025年我国外贸进出口总额达亿元，其中出口总额亿元，增长了，进口总额亿元，增长了．2025年我国贸易顺差（顺差出口总额进口总额）用科学记数法表示为（ ） A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 3. 实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ） A. B. C. D. 4. 刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则代数式的值是（ ） A. B. C. 2 D. 6. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》方程章的一道题目：今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，横适平．并雀，燕重一斤．问雀，燕一枚各重几何？大意是：五雀比六燕重，各交换一只后一样重，即4雀加上1燕与5燕加上1雀的重量相等．所有的燕雀共重一斤，问各重几两？（古题中，1斤等于16两），设每只雀两，每只燕两，下列方程组不满足题意的是（ ） A. B. C. D. 8. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（    ）． A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 13. 如图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为______（结果保留）． 14. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为_____． 15. 如图，，点M是线段的中点，线段绕点A旋转得到线段，连接，以为斜边在的上方作，使，连接，则的最大值_____． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 17. 如图，在中，点E是的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线交于点D，交于点F，连接，，，． （1）求的长； （2）若，，判断的形状并说明理由． 18. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 19. 某年级共有300名学生，为了解该年级学生学习A，B两门课程的情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析，部分信息如下： ：课程成绩的频数直方图如图． (数据分成组，，，，，，) ：A课程成绩在这一组的数据如下： ，，，，，，，，，，，，， ：A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 请结合以上信息完成下列问题： （1）A课程成绩在的人数是_______，并补全频数直方图； （2）表中的值为________； （3）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是_______(填A或B)，理由是_______； （4）假设该年级都参加此次考试，请你估计课程80分及以上的学生人数． 20. 已知：如图，为的直径，D是延长线上的点，与相切于点C，连接，点E是的中点，连接，过点B作，垂足为F． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 21. 如图，某小区入口处安装“曲臂杆”，，，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，没有车辆通过时，O、C、D共线，，当车辆通过时，曲臂杆升起，部分始终与平行，当曲臂杆绕点O旋转升高到时，， E到的距离是，当曲臂杆升高到最高位置时，．求点F到地面的距离．（结果精确到米）（参考数据： ） 22. 抛物线：过点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）如图，连接，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得 ？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得抛物线，若时，直线与图象有唯一公共点，求的取值范围． 23. 在锐角中，，，射线与交于点，在上任取一点，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接． （1）如图1，若，线段与重合，点在线段延长线上时，请直接写出＝ °，与的数量关系是 ； （2）如图2，若点M在线段上，（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，时，试探究当为多少时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省学业水平考试 数 学 模 拟 试 题 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图所示的几何体，其主视图是（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：从正面看该几何体呈现左高右低的L形，故只有A符合题意． 2. 2025年我国外贸进出口总额达亿元，其中出口总额亿元，增长了，进口总额亿元，增长了．2025年我国贸易顺差（顺差出口总额进口总额）用科学记数法表示为（ ） A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的应用，先根据公式计算顺差，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：亿元． 3. 实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置． 【详解】解：因为a＞b且ac＜bc， 所以c＜0． 选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A． 选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D． 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断c的正负． 4. 刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 5. 若，则代数式的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用分式通分和完全平方公式化简原式后，将已知代入即可求出结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 6. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的情况有4种， ∴， 故选B． 7. 《九章算术》方程章的一道题目：今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，横适平．并雀，燕重一斤．问雀，燕一枚各重几何？大意是：五雀比六燕重，各交换一只后一样重，即4雀加上1燕与5燕加上1雀的重量相等．所有的燕雀共重一斤，问各重几两？（古题中，1斤等于16两），设每只雀两，每只燕两，下列方程组不满足题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设每只雀两，每只燕两，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】解：设每只雀两，每只燕两， 根据题意，五雀六燕总重16两，即：， 交换一只后平衡，即4雀+1燕与5燕+1雀重量相等，得：，化简为， A：第二个方程为，与总重量方程不符，错误． B：由交换后两边各重8两（总重16两），得和，正确． C：直接列出正确方程和，正确． D：由和联立，解得、满足总重量，正确． 综上，A的第二个方程不符合题意， 故选：A． 8. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键． 9. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（    ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据“直径所对的圆周角是直角”得，再根据圆周角定理得，最后利用网格求直角三角形正切值． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵ 为直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在中， ∵ ， ∴ ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，选A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 13. 如图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为______（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得这两个扇形可组合成一个大扇形，且这两个扇形的圆心角的和为90°，再根据扇形的面积公式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：两个扇形的半径相等均为1， ∴这两个扇形可组合成一个大扇形， ∵这两个扇形的圆心角正好是直角三角形的两个锐角， ∴这两个扇形的圆心角的和为90°， ∴这两个小扇形的面积之和为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了学生的观察能力及计算能力．理解求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求是解题的关键． 14. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为_____． 【答案】﹣32 【解析】 【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可． 【详解】解：∵A（﹣3，4）， ∴OC==5， ∴CB=OC=5， 则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8， 故B的坐标为：（﹣8，4）， 将点B的坐标代入y=得，4=， 解得：k=﹣32． 故答案为：﹣32． 15. 如图，，点M是线段的中点，线段绕点A旋转得到线段，连接，以为斜边在的上方作，使，连接，则的最大值_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先以为斜边，作直角三角形，且，再说明，可求出，然后根据勾股定理求出，接下来根据三角形三边关系可得当时，取最大值，则此题可解． 【详解】解；如图所示，以为斜边，作直角三角形，且， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵点M是线段的中点，， ∴， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理，得． 点E在以为直径的圆上，根据三角形三边关系可得， 所以当时，取最大值，即． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）7 （2），整数解为1，2 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， ∴整数解为1，2． 17. 如图，在中，点E是的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线交于点D，交于点F，连接，，，． （1）求的长； （2）若，，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）为直角三角形，理由如下， ∵，且， ∴在中，， ∵为线段的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）首先根据尺规作图的过程，判断出是的垂直平分线，所以D是的中点，且，再结合是的中位线，根据中位线定理即可建立和的数量关系，从而求解 （2）根据条件，再结合，求出的长度，进而得到、的长度，结合由（1）得的的长度，利用勾股定理的逆定理判断的形状． 【小问1详解】 解：由作图知，为线段的中垂线， ∴D为的中点， ∵E为的中点， ∴． 【小问2详解】 略 18. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①②③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 19. 某年级共有300名学生，为了解该年级学生学习A，B两门课程的情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析，部分信息如下： ：课程成绩的频数直方图如图． (数据分成组，，，，，，) ：A课程成绩在这一组的数据如下： ，，，，，，，，，，，，， ：A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 请结合以上信息完成下列问题： （1）A课程成绩在的人数是_______，并补全频数直方图； （2）表中的值为________； （3）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是_______(填A或B)，理由是_______； （4）假设该年级都参加此次考试，请你估计课程80分及以上的学生人数． 【答案】（1），补全图形如下： （2） （3）B；该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求得，，的个数，即可求解； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）根据成绩和中位数的关系即可知道排名更靠前的课程； （4）用总人数300乘以抽取的学生中80分及以上的比例即可． 【小问1详解】 解：根据统计图可得的数据有个，的数据为个， 由信息，可得A课程成绩在这一组的数据有个， ∴A课程成绩在的人数是， 补全频数直方图略； 【小问2详解】 解：∵课程总人数为， 中位数为第、个数据的平均数，而第、个数据均在这一组， 中位数在这一组， 这一组的是： ， ∴课程的中位数为 ，即； 【小问3详解】 解：∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数， ∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B， 【小问4详解】 解：抽取的名学生中，课程成绩80分及以上的人数为（人）． ∴(人)， 答：估计课程80分及以上的学生人数为人． 20. 已知：如图，为的直径，D是延长线上的点，与相切于点C，连接，点E是的中点，连接，过点B作，垂足为F． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆的切线的性质结合直角三角形锐角互余得到 ，再由圆周角定理证明即可； （2）连接，先根据圆周角定理得到，然后解和即可． 【小问1详解】 证明：连接 ∵与相切于点C ∴ ∴ ∵ ∴ ∵所对的圆周角为，圆心角为 ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵E为的中点 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵为直径 ∴ 在中， ∴． 21. 如图，某小区入口处安装“曲臂杆”，，，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，没有车辆通过时，O、C、D共线，，当车辆通过时，曲臂杆升起，部分始终与平行，当曲臂杆绕点O旋转升高到时，， E到的距离是，当曲臂杆升高到最高位置时，．求点F到地面的距离．（结果精确到米）（参考数据： ） 【答案】 【解析】 【分析】过点E作交于H，于M，过点F作交于G，于N ， 先推导出，，，，得到四边形是矩形，，求出，，得到，则，继而 推导出，得到 ，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点E作交于H，于M，过点F作交于G，于N ， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴四边形是矩形，， ∴ ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴点F到地面的距离为． 22. 抛物线：过点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）如图，连接，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得 ？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得抛物线，若时，直线与图象有唯一公共点，求的取值范围． 【答案】（1），的坐标 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，求得解析式，再化为顶点式，即可求解； （2）根据 ，得出，设点坐标为，则，，进而得出，即可求解． （3）设将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得抛物线：，根据直线与抛物线有唯一公共点，联立直线与抛物线得出，根据得出的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：过点，点， ∴ 解得 ∵ ∴对称轴为直线 的坐标 【小问2详解】 过点作轴的垂线与过点平行轴的直线交于点 当时，， ∴， 点， ∴ 点， ∴ 轴 设点坐标为，则， 解得或舍 【小问3详解】 设将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得抛物线： 点， 设直线的关系式为： ∴ 解得： 直线的关系式为 由抛物线与直线相交得 整理得 直线与抛物线有唯一公共点 23. 在锐角中，，，射线与交于点，在上任取一点，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接． （1）如图1，若，线段与重合，点在线段延长线上时，请直接写出＝ °，与的数量关系是 ； （2）如图2，若点M在线段上，（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，时，试探究当为多少时，是等腰三角形． 【答案】（1）； （2）仍然成立． 理由：如图1，在中， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转，， ， ， 即， ， ， ． （3）当时，是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）先证，可得，由 可得． （2）可由，得到，即可求得． （3）分三种情况讨论等腰三角形：①②③，借助，再结合，结合锐角三角形的条件，即可得解． 【小问1详解】 解：， 与的数量关系：． 理由如下： 线段绕点逆时针旋转 30 ° 得到， ， ，又， 得到， ．  ， ， ． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：时，是等腰三角形． 如图2，延长到点，使得，连接， ， ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当， 是等边三角形， ， ， 即是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $