精品解析：湖南长沙市雅礼中学2026届高三考前模拟自测数学试题

高三模拟卷（三） 数 学 命题人：刘晖 审题人：张鎏 童继稀 周芳芳 张博 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解集合B中的不等式，再利用交集的定义求解. 【详解】由得， 又，所以. 故选：C. 2. 已知，则的虚部为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，将化成的形式，即可得到其虚部. 【详解】因为，所以. 所以的虚部为. 3. 设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（ ） A. 7 B. 7或5 C. 10 D. 10或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆中，，的关系求解即可. 【详解】因为焦距为2，所以. 当焦点在轴上，此时，且，解得； 当焦点在轴上，此时，且，解得. 综上，的值为7或5. 故选：B 4. 某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由运动路程与时间的关系为，可得， 当时， ，即质点在时的瞬时速度为. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别判断每个数与0、1的大小关系，最后根据三个数的范围比较大小. 【详解】，对数函数是增函数，且，因此：，即； ，对数函数是减函数，且，因此：，即； ，指数函数是增函数，因此：，即； 综上，大小关系为. 6. 若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（﹣1，2），半径为2， 设圆心到直线ax﹣by+2=0的距离等于d，则由弦长公式得， 解得d=0，即 直线ax﹣by+2=0经过圆心， ∴﹣a﹣2b+2=0， ∴a+b=1， ∴（）（a+b）=+1++≥+2=+，当且仅当a=b时等号成立， 故式子的最小值为+. 故选C． 7. 当时，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】令，然后通过分析方程在给定区间内的解的个数来确定函数的零点个数. 【详解】令，即，移项可得， 对于，其周期；对于，其周期； 当时，画出两个函数图象为： 由图象可以看出，方程在给定区间内的解的个数为6， 所以函数的零点个数为6. 8. 记为数列的前n项和，若，且的值为的可能性相同，则是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推思想,设 为 为奇数的概率,根据 的取值对 奇偶性的影响建立递推关系,再通过构造等比数列求出 的通项,代入 即可得概率. 【详解】记事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为． 当为奇数时，若，则仍然为奇数. 当为偶数时，若或3，则为奇数，从而， 即，即，整理可得． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以，故是奇数的概率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（ ） A. 这组数据的众数是56 B. 这组数据的极差是4 C. 这组数据的60%分位数是55 D. 去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，即可得众数与极差，对于C，由百分位数计算方法即可求解，对于D，先求出这组数据的平均数为54，且第5年的数据为54，由方差的计算公式可知，去掉第5年的数据后方差变大，故D错误. 【详解】将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，众数是52和56，A错误；极差是，B正确； 对于C，，所以60%分位数是从小到大排列的第5个数，即为55，C正确； 对于D，该组数据的平均数为，第5年的数据为54，设原始数据的方差为，去掉第5年的数据后的方差为，则 ， ， 即，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 有4个极值点 C. 在上有零点 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，代入计算即可；对于B，求原函数的极值点即求导函数的变号零点即可；对于C，求函数在某区间是否有零点，利用零点存在性定理判断即可；对于D，判断函数在某区间的单调性即求其导函数在该区间的正负情况即可. 【详解】对于A选项，由，所以选项A正确； 对于B选项，令函数， 则， 所以为偶函数，， 令函数，则， 令函数，则， 当时，，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 则在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减， 则在上单调递增，即在上单调递增， 在上单调递减，因为， ，， 所以在上有1个极值点，在上有1个极值点， 所以只有2个极值点，所以选项B错误； 对于C选项，由，， 由零点的存在性定理可知在上有零点，所以选项C正确； 对于D选项，， 当时，，， 因为，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，所以选项D正确. 11. 已知抛物线C:的焦点为F，点为抛物线C上任意不同的三点，则下列结论正确的有（ ） A. 焦点F为，且到准线的距离为 B. 点P到直线距离的最小值为 C. 不存在点P，使得为等边三角形（O为坐标原点） D. 若为等边三角形，且直线的斜率为2，则的边长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线的性质得出焦点坐标及焦点到准线距离判断选项A；设抛物线上点，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质求距离最小值，判断选项B；利用等边三角形的性质，结合抛物线方程求出点坐标，结合两点间距离公式求出，判断边长情况进而判断选项C；设直线方程为：，联立抛物线方程，利用韦达定理表示，结合等边三角形的性质求出的斜率，联立抛物线得出方程①，利用两点间距离公式得出方程②，联立①②求出，进而求出，判断选项D． 【详解】抛物线方程，标准形式为，得， 解得，焦点，准线， 焦点而非，焦点到准线的距离，故A错误； 设抛物线上点，点到直线的距离， 二次函数对称轴为，最小值为， 故，故B正确； 而在轴上，长度为，若为等边三角形，则在中垂线上， 代入抛物线得，记点，则， 故边长不相等，不存在这样的点，故C正确； 设直线方程为：，联立抛物线得， 由韦达定理，中点， 由弦长公式得， 在等边三角形中，，直线斜率为， 直线，联立抛物线得 ①， 由等边三角形的性质知，设，则 ， 由两点间距离公式得， ，即②， 联立①②得，展开整理得 ， 解得（对应点，舍去）或， 则，故，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】，，所以. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 【答案】99 【解析】 【分析】先利用函数的对称性找到等式关系，再用赋值法得到，从而求出 . 【详解】因为 关于点 对称，所以 , 即， 因为 关于点 对称，所以, 因为 ，所以 即 ， 因为，所以 ， 所以 ，所以， 因为，所以 ， 因此 ， 在 ，令，得， 因此 . 14. 已知菱形，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，设点是的中点．记的面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱锥的性质求出，建立空间直角坐标系，结合外接球的性质求出，再利用基本不等式求出的最小值． 【详解】已知菱形，则均为边长为2的等边三角形， 连接，则，且， 设二面角的平面角为，则平面， 为的中点，在等腰中，， 由平面，得， ， ， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 是中点， ， 设三棱锥的外接球球心为，则，解得， ， ， 设外接球半径为，则 ， ， ， 令，则， 当且仅当时取最小值， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且. （1）求的值； （2）若的外接圆半径为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等差数列的性质得到的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余弦定理求值； （2）先根据正弦定理求出，再结合（1）中的的关系求出，最后根据三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 由成等差数列知，又得， 于是，设，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 由得，所以， 所以的面积. 16. 如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，. （1）证明：平面； （2）求四面体体积的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，利用得到平面，从而证得，又，可证得结论；（2）设，利用四面体体积公式将体积表示成关于的函数，利用均值不等式得到最值. 【详解】（1）四边形是正方形， 又， 平面 又 平面 则有 又， 平面 （2）设，则 四面体的体积 （当且仅当即时取等号） 四面体的体积最大值为 【点睛】本题考查线面垂直的证明、锥体体积最值问题，处理最值问题时，关键在于能够将体积表示为某变量的函数关系式，然后利用基本不等式或函数值域的求解方法求解出最值. 17. 某中学高三年级各班人数相同．一次模拟考试后，（1）班有学生的数学成绩低于135分，（2）班有学生的数学成绩低于135分． （1）从（1）班、（2）班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为（1）班学生的概率． （2）在数学成绩高于145分的学生中，（1）班有3名，（2）班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自（2）班的人数为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由互斥事件的和事件概率公式及条件概率计算公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得相应概率即可求解. 【小问1详解】 在（1）班、（2）班中随机抽取一人，设事件“该学生来自（1）班”，事件“该学生的数学成绩低于135分”， 则由题意得． ， 该学生为（1）班学生的概率． 【小问2详解】 由题意，的所有可能取值为， 则， ， ． 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）设 ，设对于每个正整数，方程 的正数根为. ①证明： ②证明：. 【答案】（1）的单调递减区间 ，单调递增区间 ； （2）①因为 ，所以和的单调性一致，所以在 上单调递增， 构造函数 ，则 ， 当时， ，因为 ，所以单调递增， 所以 ，故 ，则在 上单调递增， 故 ，即 ， ，则 , 又因 在 上单调递增，故得 ， 即 得证； ②由①知，对 ， ，故 ，因此， 先证明不等式 ， 设 ，则 当 时， ， 在 上单调递增， 即当 时，，即 ，即 令 ，得 ，因此, 而 , 所以，所以， 故得证. 【解析】 【分析】(1)利用导数求解函数的单调性； (2) ①构造 得到 ，结合 且 在 单调递增，得 ；②通过证明，，从而得证. 【小问1详解】 因为函数，所以 当 时 ，单调递减； 时 ，单调递增， 故的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； 【小问2详解】 略. 19. 已知双曲线，离心率为，左、右顶点分别为A，B，，渐近线为，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点（点M在点N上方），直线l与交于点P. （1）求双曲线C的标准方程； （2）求与面积之和的最小值，并求出此时直线l的方程； （3）在（2）的条件下，过点M，N分别作渐近线的平行线，两平行线交于点，过点作直线l的平行线与双曲线C交于点（点在点上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，求证：为定值，. 【答案】（1） （2） （3）设斜率为，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中， 联立方程，消去可得， 该方程有两个正根，则，解得， 直线的方程为，而，即， 直线的方程为，而，即， 联立方程，解得， 即，，又， 则， ， 所以，设，则直线方程为， 即，则，， 而， ， 所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题设求出，进而求解即可； （2）由（1）得渐近线为，设直线l的方程为，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得的中点即为的中点，进而得到，即，再表示出，进而求解即可； （3）设斜率为，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，与双曲线方程联立得交点坐标关系，从而可得直线与直线的方程，联立两直线可得，设，直线方程为，进而利用两点之间的距离公式求证即可. 【小问1详解】 由题意，得，且， 则，即， 则双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 渐近线为， 显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，， 联立，得，则， 且，则， 所以， 联立，解得， 设直线l与交于点， 联立，解得， 则，即， 而， 因此，，则的中点即为的中点， 所以，则， 而， 点到直线l的距离为， 则 ， 则，即时，与面积之和取得最小值， 此时直线l的方程为，即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三模拟卷（三） 数 学 命题人：刘晖 审题人：张鎏 童继稀 周芳芳 张博 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（   ） A. B. C. D. 3. 设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（ ） A. 7 B. 7或5 C. 10 D. 10或2 4. 某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为 A. B. C. D. 7. 当时，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 记为数列的前n项和，若，且的值为的可能性相同，则是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（ ） A. 这组数据的众数是56 B. 这组数据的极差是4 C. 这组数据的60%分位数是55 D. 去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 10. 已知函数，则（ ） A. B. 有4个极值点 C. 在上有零点 D. 在上单调递增 11. 已知抛物线C:的焦点为F，点为抛物线C上任意不同的三点，则下列结论正确的有（ ） A. 焦点F为，且到准线的距离为 B. 点P到直线距离的最小值为 C. 不存在点P，使得为等边三角形（O为坐标原点） D. 若为等边三角形，且直线的斜率为2，则的边长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，，则的取值范围为______. 13. 已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 14. 已知菱形，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，设点是的中点．记的面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且. （1）求的值； （2）若的外接圆半径为，求的面积. 16. 如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，. （1）证明：平面； （2）求四面体体积的最大值. 17. 某中学高三年级各班人数相同．一次模拟考试后，（1）班有学生的数学成绩低于135分，（2）班有学生的数学成绩低于135分． （1）从（1）班、（2）班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为（1）班学生的概率． （2）在数学成绩高于145分的学生中，（1）班有3名，（2）班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自（2）班的人数为，求． 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）设 ，设对于每个正整数，方程 的正数根为. ①证明： ②证明：. 19. 已知双曲线，离心率为，左、右顶点分别为A，B，，渐近线为，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点（点M在点N上方），直线l与交于点P. （1）求双曲线C的标准方程； （2）求与面积之和的最小值，并求出此时直线l的方程； （3）在（2）的条件下，过点M，N分别作渐近线的平行线，两平行线交于点，过点作直线l的平行线与双曲线C交于点（点在点上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，求证：为定值，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $